विलयन की संख्या पर बाध्य अर्ध-बहुपद के साथ अपूर्ण समस्या

Question

FewP की श्रेणी है- बहुवचन के साथ बहुपद के विलयनों की संख्या पर (इनपुट आकार में)। में समस्या का कोई पता नहीं है । मुझे इस बात में दिलचस्पी है कि हम इस अवलोकन को कितना आगे बढ़ा सकते हैं।एन पी एफ ई डब्ल्यू $NP$$NP$$fewP$

क्या कोई प्राकृतिक अधूरा समस्या है जिसमें समाधान (गवाहों) की संख्या पर अर्ध-बहुपद ऊपरी सीमा है? क्या व्यापक रूप से स्वीकृत अनुमान है जो इस तरह की संभावना को खारिज करेगा?$NP$

प्राकृतिक का अर्थ है कि समस्या सवाल (या इसी तरह) का जवाब देने के लिए कृत्रिम रूप से बनाई गई समस्या नहीं है और लोग स्वतंत्र रूप से समस्या में रुचि रखते हैं (जैसा कि केव द्वारा परिभाषित किया गया है)।

EDIT: इस तरह की प्राकृतिक $NP$ -complete समस्या या इस तरह की समस्याओं के अस्तित्व को खारिज करने वाले एक उचित तर्क (व्यापक रूप से स्वीकार किए गए जटिलता-सिद्धांत संबंधी अनुमानों का उपयोग करके) को पुरस्कृत किया जाएगा ।

प्रेरणा: मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि $NP$ -completeness सुपर-पोलिनोमियल (या यहां तक ​​कि घातीय) गवाहों की संख्या पर कम लगाता है।

Comments

वादा समस्या UniqueSAT में है (नहीं के रूप में ही यू पी ) है, जो के एक सबसेट है पी आर ओ मीटर मैं रों ई एफ ई डब्ल्यू पी (नहीं एक ही रूप में एफ ई डब्ल्यू पी ) । $\mathsf{PromiseUP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PromiseFewP}$$\mathsf{FewP}$

— जोशुआ ग्रोको 17

क्या SAT की गद्दी आपके प्रश्न का उत्तर देगी?

— Kaveh

वह पूरा बिंदु है - यह नहीं है; इनपुट आकार इनपुट में बिट्स की संख्या है, और (विरल) 3-सतत् उदाहरणों का आकार । चर की संख्या इनपुट का सिर्फ एक पहलू (पैरामीटर) है, इसलिए अन्य समस्याओं के लिए (ग्राफ़ समस्याओं के अनुसार) किसी को यह निर्दिष्ट करना होगा कि कोई व्यक्ति किस संदर्भ में गवाहों की संख्या को माप रहा है। अधिकतम कटौती के लिए उदाहरण के लिए इनपुट ग्राफ में n 2 किनारे हो सकते हैं , और फिर से केवल 2 n गवाह होते हैं (जो इनपुट आकार में उप-प्रकार है )। लेकिन हम वास्तव में n के संदर्भ में मापना चाहते हैं । हालाँकि यह स्पष्ट नहीं है कि यह # सही माप है। $m \log n$$n^2$$2^n$$n$

— डेनियलो

@ केवी हाँ, इसलिए आपको यह मान लेना चाहिए कि मोहम्मद ने अपने प्रश्न में जो कुछ भी सोचा था, वह सोचा। इसके अलावा, जैसा कि आप देख सकते हैं, जटिलता चिड़ियाघर मेरी परिभाषा से सहमत है। सामान्य तौर पर, किसी भी दिलचस्प जटिलता वर्ग में परिभाषा को बदलना नहीं चाहिए यदि आप एक बहुपद द्वारा इनपुट को पैड करते हैं।

— डोमोटर

@downvoters आखिर क्यों लोग इस सवाल को नकार रहे हैं? मेरा मतलब है कि कम से कम कोई इसके लिए एक कारण दे सकता है ...

— डोमोटरप

Answer 1

यह एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है।

सबसे पहले, एक स्पष्ट टिप्पणी। ध्यान दें कि "गवाहों की संख्या पर ऊपरी बाध्य" प्रति से कम्प्यूटेशनल समस्या की संपत्ति नहीं है, लेकिन एक विशेष सत्यापनकर्ता एक समस्या का फैसला करने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे कि "राज्यों की संख्या पर ऊपरी बाध्य" एक नहीं होगा एक समस्या की संपत्ति लेकिन इसे तय करने वाली एक ट्यूरिंग मशीन की। इसलिए " एन पी समस्या को समाधान की संख्या पर ऊपरी बाध्य के साथ" काफी सटीक नहीं है, और यदि पी = एन पी तो हर एन पी समस्या में वांछित समाधानों की संख्या के साथ एक सत्यापनकर्ता है (शून्य सहित, और सभी संभावित तारों सहित) ।$NP$$NP$$P = NP$$NP$

तो हमें एक परिभाषा बनानी होगी, आपके प्रश्न का समाधान करने के लिए। के लिए , चलो का कहना है कि एक एन पी समस्या एल "है अधिक से अधिक रों ( एन ) समाधान" अगर कुछ निरंतर के लिए सी एक है हे ( एन सी ) सत्यापनकर्ता समय वी ऐसी है कि, हर इनपुट लंबाई के लिए एन और के लिए हर एक्स ∈ एल लंबाई के एन , देखते हैं अलग y 1 , ... , y रों ( $s : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$$NP$$L$$s(n)$$c$$O(n^c)$$V$$n$$x \in L$$n$ लंबाई के एन सी ऐसी है किवी(एक्स, वाई मैं )सभी के लिए स्वीकार करता हैमैं, औरवी(एक्स,वाई)अन्य सभी को खारिज कर दियाyलंबाई के एन सी ।$y_1,\ldots,y_{s(n)}$$n^c$$V(x,y_i)$$i$$V(x,y)$$y$$n^c$

मुझे लगता है कि मैं इस समय कह सकता हूं:

1. हर -complete समस्या जिसे मैं जानता हूं (कुछ प्राकृतिक सत्यापनकर्ता द्वारा परिभाषित) का एक स्पष्ट संगत # P -complete गिनती संस्करण (एक ही सत्यापनकर्ता के साथ) है।$NP$$\#P$
2. किसी भी अपूर्ण समस्या के लिए परिभाषित किया गया है जिसमें अधिकांश पी ओ एल वाई ( एन ) समाधान (या यहां तक ​​कि 2 एन ओ ( 1 ) समाधान) हैं जो संबंधित गिनती संस्करण शायद # पी- पूर्ण नहीं है।$NP$$poly(n)$$2^{n^{o(1)}}$$\#P$

अधिक विवरण: मान लीजिए कि , N P -complete है, जिसमें एक सत्यापनकर्ता V है , जिसमें अधिकांश O ( n c ) समाधान हैं। फिर एल की प्राकृतिक गिनती "निर्णय" संस्करण , जिसे हम इस रूप में परिभाषित करते हैं$L$$NP$$V$$O(n^c)$$L$

$Count_L(x) := \text{the number of $y$ such that $V(x,y)$ accepts}$

में शुमार कर सका है , यह है कि, के साथ एक polytime समारोह हे ( लॉग एन ) के लिए क्वेरी एन पी । ऐसा इसलिए है क्योंकि निर्णय लेने के समाधान की संख्या है कि क्या है एक्स ज्यादा से ज्यादा है कश्मीर में है एन पी : गवाह, यदि वह मौजूद है, बस की संख्या है y मैं के बनाने वी स्वीकार करते हैं, जो हम जानते हैं कि ज्यादा से ज्यादा होने की हे ( n ग$FP^{NP[O(\log n)]}$$O(\log n)$$NP$$x$$k$$NP$$y_i$$V$$O(n^c)$। तब हम L की सटीक संख्या की गणना करने के लिए इस समस्या का उपयोग करके बाइनरी खोज कर सकते हैं ।$NP$$L$

इसलिए, एक इस तरह के -Complete समस्या एक करने के लिए बढ़ाया नहीं जा सका # पी , हमेशा की तरह -Complete समस्या जब तक # पी ⊆ एफ पी एन पी [ हे ( लॉग एन ) ] । यह संभावना नहीं लग रहा है; पूरे बहुपद समय पदानुक्रम मूल रूप से P N P [ O ( log n ) ] तक गिर जाएगा ।$NP$$\#P$$\#P \subseteq FP^{NP[O(\log n)]}$$P^{NP[O(\log n)]}$

यदि आप ऊपर में मान लेते हैं , तो भी आपको एक अप्रत्याशित परिणाम नहीं मिलेगा। आप बताएंगे कि # P की गणना 2 n o ( 1 ) समय में N P oracle के साथ की जा सकती है। यही कारण है कि उदाहरण के लिए साबित करने के लिए, की तुलना में अधिक काफी है, कि ई एक्स पी एन पी ≠ पी पी और बाद में ई एक्स पी एन पी ⊄ पी / पी ओ एल $s(n) = 2^{n^{o(1)}}$$\#P$$2^{n^{o(1)}}$$NP$$EXP^{NP} \neq PP$$EXP^{NP} \not\subset P/poly$. Not that those separations are unlikely, but it seems unlikely they'd be proved by giving a subexp time $NP$-oracle algorithm for the Permanent.

By the way, I have said nothing too insightful here. There is almost certainly an argument like this in the literature.

Comments

Indeed it is insightful answer.

— Mohammad Al-Turkistany