लंबे समय तक चलने वाले अनुमान बाद में एक निहितार्थ द्वारा तुच्छ साबित हुए

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मैं जानना चाहता हूं कि क्या ऐसे अनुमान हैं जो लंबे समय से टीसीएस में अप्रमाणित हैं, जो बाद में एक अन्य प्रमेय से निहितार्थ द्वारा सिद्ध किए गए थे, जो कि साबित करना आसान हो सकता है।

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— रयान
स्रोत

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Erdös और POSA साबित कर दिया कि किसी भी पूर्णांक के लिए और किसी भी ग्राफ या तो है शिथिल चक्रों या वहाँ ज्यादा से ज्यादा आकार का एक सेट है $k$ $G$ $G$ $k$ $f(k)$ कोने ऐसा है कि एक जंगल है। (उनके प्रमाण में )। $S\in G$ $G\setminus S$ $f(k) \in O(k \cdot \log k)$

Erdös और Pósa एक निश्चित ग्राफ की संपत्ति जिसे निम्नलिखित के रूप में जाना जाता है (औपचारिक परिभाषा नहीं): $H$

रेखांकन के वर्ग Erdös-POSA संपत्ति मानते हैं, अगर वहाँ एक समारोह है इस तरह के हर ग्राफ के लिए है कि और किसी भी के लिए और किसी भी ग्राफ के लिए या तो देखते हैं संबंध तोड़ना isomorphic प्रतिलिपि (wrt मामूली या उपखंड) की में या वहाँ कोने का एक सेट है , ऐसा है कि और की की कोई कॉपी नहीं है । $\mathcal{C}$ $f$ $H\in \mathcal{C}$ $k \in \mathbb{Z}$ $G$ $k$ $H$ $G$ $S\in G$ $|S|\le f(k)$ $G\setminus S$ $H$

Erdös और Pósa के परिणाम के बाद से साइकिल का एक वर्ग जो इस संपत्ति को स्वीकार कर रहा है, एक उचित वर्ग खोजने के लिए यह एक खुला प्रश्न था । में ग्राफ नाबालिग वी साबित कर दिया कि हर प्लानर ग्राफ या तो एक घिरे पेड़ चौड़ाई है या, एक छोटी सी के रूप में एक बड़ा ग्रिड शामिल हाथ में ग्रिड प्रमेय होने से वे पता चला है कि Erdös और POSA संपत्ति (लघु के लिए) यदि और केवल यदि रखती एक है प्लैनर ग्राफ्स की कक्षा। समस्या अभी भी उपखंड के लिए खुली है, हालांकि। लेकिन प्रमेय wrt नाबालिग का प्रमाण किसी भी तरह से सरल है और मेरी जानकारी के अनुसार ग्रिड प्रमेय का उपयोग किए बिना कोई भी प्रमाण नहीं है। $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$

डिग्राफ के हाल के परिणाम, डिग्राफ के लिए समान क्षेत्र में लंबे समय तक खुले प्रश्नों के उत्तर प्रदान करता है। जैसे एक बहुत ही बुनियादी सवाल है कि वहाँ एक समारोह है था इस तरह के किसी भी ग्राफ के लिए है कि और पूर्णांक , हम या तो एक सेट प्राप्त कर सकते हैं के सबसे पर कोने ऐसी है कि की लंबाई का कोई चक्र कम से कम या में कम से कम की लंबाई का चक्रवात चक्र है $f$ $G$ $k,l$ $S\subseteq V(G)$ $f(k+l)$ $G-S$ $l$ $k$ $l$ $G$ । यह केवल एक विशेष मामला है लेकिन इसे एक युवा के अनुमान के रूप में जाना जाता था। इससे पहले कि यंगर का अनुमान रीड एट अल द्वारा काफी जटिल दृष्टिकोण से सिद्ध किया गया था। $l=2$

यह उल्लेख के लायक है कि अभी भी डिग्राफ में कुछ काफी गैर-तुच्छ मामले हैं। उदाहरण के लिए उपरोक्त कागज में थ्योरम 5.6 कमजोर कमजोर डिग्राफ्स के एक छोटे वर्ग के लिए युवा अनुमान का एक सकारात्मक विस्तार है, लेकिन हमारे पास जो ज्ञान और गणितीय उपकरण हैं, उनके साथ यह तुच्छ नहीं है (या शायद हम इसके बारे में एक सरल तर्क नहीं जानते हैं। )। शायद उन रेखांकन के लिए एक बेहतर लक्षण वर्णन प्रदान करके, इसे साबित करने का एक आसान तरीका होगा।

— सईद
स्रोत

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प्रश्न का शीर्षक "तुच्छ निहितार्थ" को संदर्भित करता है, लेकिन सामग्री वास्तव में उस मानदंड को निर्दिष्ट नहीं करती है, इसलिए यह एक मिश्रित संदेश का एक सा है। सामान्य विषय के करीब आने वाला एक सेमीफ़ॉर्मस आइटम / उदाहरण इस बात का प्रमाण है (तब ~ ४ दशक पुराना) स्ट्रांग परफेक्ट कंसीलर2002 में मारिया चुडनोव्स्की, नील रॉबर्टसन, पॉल सेमोर और रॉबिन थॉमस द्वारा। परफेक्ट ग्राफ की मान्यता की एल्गोरिथम जटिलता की समस्या को मजबूत परफेक्ट ग्राफ अनुमान के प्रमाण यांत्रिकी से निकटता से / कसकर बांधा गया है, हालांकि यह अनुमान के प्रमाण से पहले ठीक से समझा या जाना नहीं गया था। दूसरे शब्दों में एक अनौपचारिक खुला अनुमान था कि "सही ग्राफ मान्यता पी में है (या" कम जटिलता "आदि) अपेक्षाकृत सही ग्राफ प्रमेय के विश्लेषण / गुणों / यांत्रिकी पर निर्माण करके अपेक्षाकृत जल्दी हल किया जाता है।

सही रेखांकन के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म गेरार्ड कोर्नुजोल, शिनमिंग लियू, क्रिस्टीना वुचुकोविक 2003

— vzn
स्रोत

धन्यवाद, मेरा मतलब "तुच्छ" था इसका मतलब यह है कि निहितार्थ को आसानी से पहली समस्या का प्रमाण दिया गया है (जिसका अर्थ है दूसरी, "कठिन" समस्या)।

— रयान