"बड़े" गवाहों के साथ प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्याएं

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Cstheory पर सवाल " क्या एनपी रैखिक आकार के गवाहों के लिए प्रतिबंधित है? " वर्ग एनपी रैखिक आकार $O(n)$ गवाहों के लिए प्रतिबंधित के बारे में पूछता है , लेकिन

देखते हैं प्राकृतिक एन पी-सम्पूर्ण समस्याओं जिसमें (हाँ) आकार के उदाहरण $n$ से आकार अधिक से अधिक के गवाह की आवश्यकता होती है $n$ ?

स्पष्ट रूप से हम कृत्रिम समस्याओं का निर्माण कर सकते हैं जैसे:

$L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
$L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

G & J पर त्वरित नज़र डालने के बाद, प्रत्येक प्राकृतिक NPC समस्या को गवाह (कड़ाई से) से छोटा लगता है $n$ ।

क्या इसके लिए "कारण / स्पष्टीकरण" है?

cc.complexity-theory np proof-complexity

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

1

कई समस्याओं के साक्षी आकार

, जैसे ग्राफ समरूपतावाद और हैमिल्टन मार्ग। क्या आप बहुभुज कारकों को बाहर करना चाहते हैं, या यह एक उत्तर के रूप में गिना जाता है?

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

— जोशुआ ग्रोको

12

दरअसल, ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म और हैमिल्टनियन पाथ के लिए साक्षी आकार को इनपुट में सबलाइनर के रूप में देखा जा सकता है (यह देखते हुए कि इनपुट ग्राफ के

आसन्न मैट्रिक्स है)।

n \times n

$n \times n$

— रयान विलियम्स

1

ओह, ठीक है ... डीओ।

— जोशुआ ग्रोको

1

@MarzioDeBiasi मुझे लगता है कि प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्या को परिभाषित करने के लिए छोटे गवाहों के आपके अवलोकन का उपयोग किया जाना चाहिए ।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

1

@MarzioDeBiasi - मैं मानता हूं कि संतोषजनक कार्य की एक सूची पर्याप्त है, लेकिन क्या आप यह साबित कर सकते हैं कि समस्या के लिए कोई छोटा गवाह नहीं है? (शायद आवश्यक कार्य का प्रतिनिधित्व करने का एक संक्षिप्त तरीका)।

— आरबी

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घने ग्राफ (उर्फ क्रोमैटिक इंडेक्स ) में किनारे के रंग की संख्या के बारे में कैसे ? आपको वर्टेक्स ग्राफ ( बिट इनपुट) के आसन्न मैट्रिक्स दिया जाता है , लेकिन रंग का वर्णन करने वाले प्राकृतिक गवाह का आकार । बेशक, वाइसिंग प्रमेय में कक्षा 1 ग्राफ के लिए छोटे प्रमाण हो सकते हैं । $n$ $n^2$ $n^2\log n$

संभवतः यह संबंधित प्रश्न भी देखें

— एंड्रियास ब्योर्क्लकुंड
स्रोत

2

यह एक अच्छा उदाहरण लगता है! बस एक ध्यान दें: क्यूब ग्राफ के लिए भी समस्या एनपी-पूर्ण है; उस मामले में हम आकार के एक गवाह है कि है

बिट्स पर्याप्त है (हर किनारे के लिए दो बिट्स) जो

से कम है यदि हम आसन्न मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं और मुझे संदेह है कि यह उदाहरण के आकार से कम है जो हम क्यूब ग्राफ के लिए उचित उपयोग करते हैं।

2 | E |

$2|E|$

n^{2}

$n^2$

— मार्जियो डी बियासी

8

मैं कुछ काफी प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्याओं के साथ आया था जो प्रतीत होता है कि लंबे गवाहों की आवश्यकता होती है। पूर्णांक और द्वारा मापी गई समस्याएं निम्नानुसार हैं: $C$ $D$

इनपुट: वन-टेप टीएम प्रश्न: वहाँ कुछ है , ऐसी है कि की तुलना में अधिक बनाता लंबाई में से कुछ इनपुट पर चरणों ? $M$
$n\in\mathbb{N}$ $M$ $Cn+D$ $n$

: कभी-कभी समस्या के पूरक राज्य आसान है किसी दिए गए एक टेप टीएम करता समय में रन , यानी। यह आकार सभी इनपुट पर अधिकांश चरणों में बनाता है , सभी ? $M$ $Cn+D$ $Cn+D$ $n$ $n$

पूरा परिणाम यहां प्रस्तुत है । मूल रूप से, यह दिखाया गया है कि यदि हम यह सत्यापित करना चाहते हैं कि क्या एक टेप टीएम समय में चलता है , तो हमें केवल द्वारा लंबाई के इनपुट पर इसे सत्यापित करना होगा , जहाँ राज्यों की संख्या है इनपुट TM की। तो साक्षी लंबाई का इनपुट होगा , जिसके लिए समयबद्ध उल्लंघन किया जाता है। यह भी संदर्भ में दिखाया गया है कि इन समस्याओं सभी के लिए एन पी-सम्पूर्ण हैं और । $Cn+D$ $q^{O(C)}$ $q$ $q^{O(C)}$ $C\geq 2$ $D\geq 1$

अब अगर गवाह एक इनपुट कि चलने का समय का उल्लंघन करता है, यह लंबाई की हो गया है सामान्य रूप में। और इनपुट लंबाई । $q^{\Omega(C)}$ $O(q^2)$

— डेविड जी
स्रोत

3

धन्यवाद! "एक सूत्र को देखते हुए: लेकिन, ईमानदारी से, मैं और अधिक" प्राकृतिक "(मैं जानता हूँ कि यह एक औपचारिक अवधारणा नहीं है) समस्या का पता लगाने

में निर्णय लें कि यह कम से कम है

:-) संतोषजनक कार्य"

φ

$\varphi$

| φ |^{2}

$|\varphi|^2$

— Marzio डी BIASI

मै समझता हुँ :)। दूसरी ओर,

बारे में समस्या के सवाल में गवाह की लंबाई है, जबकि टीएम के बारे में समस्या के सबूत में गवाह की लंबाई मिलती है। क्या अधिक है, गवाह की लंबाई जानबूझकर समस्या में शामिल नहीं है।

φ

$\varphi$

— डेविड जी

7

यहाँ एक उदाहरण है, जो एक प्राकृतिक समस्या प्रतीत होती है।

उदाहरण: धनात्मक पूर्णांक, और , सभी से ऊपर से । $d_1,\ldots,d_n$ $k$ $n$

प्रश्न: क्या डिग्री अनुक्रम साथ एक -colorable ग्राफ मौजूद है ? $k$ $d_1,\ldots,d_n$

यहाँ इनपुट के साथ वर्णित किया जा सकता बिट्स, लेकिन गवाह की आवश्यकता हो सकती बिट्स। $O(n\log n)$ $\Omega(n^2)$

टिप्पणी: मेरे पास एक संदर्भ नहीं है कि यह विशेष समस्या वास्तव में एनपी-पूर्ण है। लेकिन -colorability की आवश्यकता को किसी अन्य एनपी-पूर्ण स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है; यह समस्या किसी स्थिति के लिए एनपी-पूर्ण होने की संभावना है, यदि यह इसके लिए नहीं है। $k$

— आंद्रा फरगो
स्रोत

मेरे लिए, इस समस्या के पास एनपी-पूर्ण होने की गलत तरह की संरचना है, जब तक कि पी = एनपी नहीं। प्रत्येक डिग्री अनुक्रम द्वारा परिभाषित ग्राफ़ की कक्षाएं बहुत बड़ी हो सकती हैं, और उनमें से कई में एक तुच्छ कारण के लिए

कोलोरबल तत्व हो सकते हैं ।

n

$n$

— आंद्र सलामॉन

@ AndrásSalamon वास्तव में, मुझे नहीं पता कि इस समस्या की जटिलता क्या है, या क्या यह

-colorability के बजाय एक उपयुक्त स्थिति चुनकर NP-complete किया जा सकता है । दूसरी ओर, मुझे आश्चर्य होगा कि यदि प्रत्येक बहुविकल्पीय जाँच योग्य संपत्ति

लिए निम्न समस्या P में होगी : क्या किसी दिए गए डिग्री अनुक्रम के साथ एक ग्राफ मौजूद है, जैसे कि इसमें संपत्ति

भी है ?

k

$k$

Q

$Q$

Q

$Q$

— एंड्रास फरगो

मैं मानता हूं कि ऐसा लगता है कि डिग्री अनुक्रम + संपत्ति हमेशा पी में है, लेकिन शायद इनमें से कुछ एनपी-मध्यवर्ती स्थिति के उम्मीदवार हैं?

— आंद्र सलामोन

@ AndrásSalamon हां, मैं बहुत अच्छी तरह से कल्पना कर सकता हूं कि उनमें से कुछ को एनपीआई का दर्जा प्राप्त है।

— एंड्रास फरगाओ

6

शायद यह एक मूर्खतापूर्ण "कारण / स्पष्टीकरण" है, लेकिन कई एनपी-पूर्ण समस्याओं के लिए, एक समाधान इनपुट का एक सबसेट है (नैकपैक, वर्टेक्स कवर, क्लिक, सेट पर हावी, स्वतंत्र सेट, अधिकतम कटौती, सबसेट योग, ... ) या इनपुट (हैमिल्टनियन पथ, ट्रैवलिंग सेल्समैन, सैट, ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म, ग्राफ कलरिंग, ...) के उपसमुच्चय या असाइनमेंट का एक क्रम।

हम इससे अधिक पढ़ने की कोशिश कर सकते हैं, या अधिक काल्पनिक कारण के साथ आ सकते हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि कुछ गहरा चल रहा है या नहीं।

— usul
स्रोत

मुझे लगता है कि यह वास्तव में एक अच्छा "पहला विचार" है। कभी-कभी समस्याओं को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, SAT एक सबसेट समस्या भी हो सकती है ("सच्चे वेरिएबल्स का सबसेट चुनें")। या HAMCYCLE कोने पर एक क्रमचय समस्या है, या किनारों पर एक सबसेट समस्या है? (BTW, शायद "असाइनमेंट की समस्याएं" वास्तव में "विभाजन की समस्याएं" हो सकती हैं, 3-रंग कहना)।

— जुहो २ Oct'१४ को .:

3

आपके पहले प्रश्न के रूप में, Allender राज्यों ( सेल्फ रिड्यूसबिलिटी के माध्यम से निचली सीमाएं प्रवर्धित करते हुए ) कि NTIME (n) के बाहर कोई भी प्राकृतिक NP- पूर्ण समस्या ज्ञात नहीं है। इसका मतलब यह है कि सभी ज्ञात प्राकृतिक एनपी-पूर्ण सेट में रैखिक आकार के गवाह हैं।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

1

ध्यान दें कि nondeterministic ट्यूरिंग मशीन में सबसे लंबे समय तक स्वीकार पथ की लंबाई साक्षी के आकार से मेल खाती है।

— मोहम्मद अल-तुर्कतानी

1

MAXCLIQUE समस्या के निम्नलिखित प्रकार पर विचार करें ।

उदाहरण: एक सर्किट $C$ के साथ इनपुट बिट्स, और में polynomially घिरे आकार के । यह सर्किट स्पष्ट रूप से कोने पर एक ग्राफ को निर्धारित करता है , जैसे कि प्रत्येक शीर्ष को -बिट स्ट्रिंग के साथ पहचाना जाता है , और दो कोने एक किनारे से जुड़े होते हैं यदि -बिट स्ट्रिंग को दो वर्जन आईडी को समाहित करके प्राप्त किया जाता है, द्वारा स्वीकार किए जाते हैं । चलो इस ग्राफ को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि यह घातीय रूप से में कई कोने है , लेकिन अभी भी के बहुपद आकार के विवरण से निर्धारित होता । $2n$ $n$ $2^n$ $n$ $2n$ $C$ $G(C)$ $n$ $C$

प्रश्न: क्या में आकार , जहां एक स्थिर स्थिरांक है? $G(C)$ $n^k$ $k$

टिप्पणियाँ:

समस्या एनपी-पूर्ण है। में रोकथाम स्पष्ट है। पूर्णता यह देखते हुए साबित की जा सकती है कि यदि सर्किट केवल वर्टेक्स जोड़े को स्वीकार करता है जिसमें प्रत्येक आईडी अधिकतम $NP$ $N=2n^k$ , तो एक मनमाना -vertex ग्राफ और कई अलग-अलग वर्टिकल हो सकते हैं । (इस तरह के किसी भी -vertex ग्राफ को में एन्कोड किया जा सकता , क्योंकि को में बहुपद का आकार प्राप्त करने की अनुमति है , और इसलिए में भी ।) तो सवाल यह बन जाता है: क्या कोई $G(C)$ $N$ $N$ $C$ $C$ $n$ $N$ एक में आकार के गुट $N/2$ $N$ -वरटेक्स ग्राफ? यह सामान्य लिए एनपी-पूर्ण होने के लिए जाना जाता है । यह समस्या कि मनमाना नहीं है, यह तक सीमित है , उपयुक्त पैडिंग द्वारा इसे समाप्त किया जा सकता है। $N$ $N$ $N=2n^k$
मूल समस्या के लिए प्राकृतिक गवाह है आकार के गुट, एक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो $n^k$ लंबी स्ट्रिंग (एक से प्रत्येक के लिए -बिट स्ट्रिंग कोने)। ध्यान दें कि एक बहुत बड़ा स्थिरांक हो सकता है, इसलिए गवाह रैखिक की तुलना में अधिक लंबा हो सकता है। (भले ही इनपुट का आकार बजाय का विवरण हो, यह गवाह अभी भी बहुत लंबा हो सकता है, क्योंकि स्वतंत्र रूप से का हो सकता ।) $O(n^{k+1})$ $n$ $n^k$ $k$ $C$ $n$ $k$ $C$
समस्या को प्राकृतिक रूप से देखा जा सकता है, क्योंकि यह MAXCLIQUE का एक प्रकार है ।
जब ऑलेंडर ने लिखा, "कोई प्राकृतिक एनपी-पूर्ण समस्या बाहर झूठ बोलने के लिए नहीं जानी जाती है ," ( सेल्फ रिड्यूसबिलिटी , सेक्शन 7 के माध्यम से निचली सीमाएं बढ़ाते हुए देखें ), उनकी एक संकीर्ण अवधारणा हो सकती थी। मन में स्वाभाविकता। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक को उस चीज से संकुचित किया जा सकता है जिसे लोग वास्तव में स्वतंत्र, व्यावहारिक प्रेरणाओं के आधार पर हल करना चाहते हैं। यदि विकर्ण के माध्यम से समस्या का निर्माण नहीं किया जाता है तो यह पर्याप्त नहीं है। $NTIME(n)$

— आंद्रा फरगो
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि मैं एनपी में पूर्णता स्थापित करने के लिए, इस समस्या को आधा-क्लिक की अपनी कमी का पालन करता हूं। हाफ-क्लिक्स के

नेटटेक्स उदाहरण को देखते हुए , यह किस सर्किट को मैप करता है?

n

$n$

— आंद्र सलामोन

@ एंड्रसस्लैमन लेट

होना एक

-vertex ग्राफ, आधा गुट के इनपुट ग्राफ के रूप में सेवारत। फिर

वह सर्किट है जो किसी भी नोड जोड़ी

स्वीकार करता है, अगर

G^{'}

$G'$

N = 2 n^{k}

$N=2n^k$

C

$C$

(u, v)

$(u,v)$

(द्विआधारी संख्या के रूप में), और

, अन्यथा

अस्वीकार करता है। (यह

। एक बहुपद आकार सर्किट के रूप में लागू किया जा सकता) फिर

में शामिल होंगे

पहली पर

नोड्स, प्लस

अतिरिक्त पृथक नोड्स। ग्राफ

आकार का एक गुट है

ठीक जब

u \leq N, v \leq N

$u\leq N, \; v\leq N$

(u, v) \in E (G^{'})

$(u,v)\in E(G')$

C

$C$

C

$C$

G (C)

$G(C)$

G^{'}

$G'$

N

$N$

2^{n} - N

$2^n-N$

G (C)

$G(C)$

n^{k}

$n^k$

G^{'}

$G'$ एक आधा समूह है।

— एंड्रास फरोगो