उच्च डिग्री बहुपद के लिए यादृच्छिक पहचान-परीक्षण?

Question

चलो एक होना -variate बहुपद आकार पाली के अंकगणित सर्किट के रूप में दिया , और एक प्रमुख हो।$f$$n$$(n)$$p = 2^{\Omega(n)}$

क्या आप परीक्षण कर सकते हैं कि यदि , समय-समय पर और त्रुटि प्रायिकता साथ शून्य है , भले ही डिग्री न हो, एक प्राथमिकता बंधी? क्या होगा अगर univariate है?$f$$\mathbb{Z}_p$$\mbox{poly}(n)$$\leq 1-1/\mbox{poly}(n)$$f$

ध्यान दें कि आप कुशलतापूर्वक परीक्षण करता है, तो कर सकते हैं हूबहू शून्य एक के रूप में है औपचारिक अभिव्यक्ति , आकार के एक क्षेत्र से अधिक श्वार्ट्ज-Zippel लगाने से कहते हैं कि , क्योंकि की अधिकतम डिग्री है ।$f$ $2^{2|f|}$$f$$2^{|f|}$

Comments

यदि आपके पास डिग्री पर कोई सीमा नहीं है, तो क्या कोई बहुपद नहीं है जो किसी विशिष्ट कार्य का एहसास करता है?

— पीटर शोर

@PeterShor: $\:$ओपी करता है एक डिग्री पर बाध्य है, यह गेट्स की संख्या में 2 से अधिक नहीं हो सकता है$\hspace{.04 in}f\hspace{.02 in}$]। $\;\;\;\;$

मुझे लगता है कि इस प्रश्न का महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि फील्ड GF (p) न तो काफी बड़ा है और न ही Schwartz-Zippel लेम्मा का उपयोग एक मानक तरीके से रैंडमाइज्ड पॉलीनोमियल-टाइम एल्गोरिथ्म का निर्माण करने के लिए किया गया है, न ही काफी छोटा (जैसे GF) ) मानक तरीके से SAT से कमी का निर्माण करने के लिए अंकगणित का उपयोग करना।

— त्सुयोशी इटो

एकतरफा मामले में, सवाल पूछता है कि क्या $x^p-1$ विभाजित $f$, जो एक बड़े क्षेत्र में जाँच की जा सकती है अगर वह मदद करता है। यकीन नहीं होता है कि अगर बहुभिन्नरूपी को सामान्यीकृत करता है।

— जेफ्री इरविंग

@GeoffreyIrving धन्यवाद! क्या कुशलतापूर्वक जाँच करना आसान है$(x^p - 1) | f$ कब $f$सर्किट के रूप में दिया जाता है

— user94741

Answer 1

यह मेरे लिए बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि समस्या का इनपुट क्या है और आप प्रतिबंध को कैसे लागू करते हैं $p=2^{\Omega(n)}$हालांकि, किसी भी उचित फॉर्म्युलेशन के तहत उत्तर बहुवार्षिक बहुपद के लिए नहीं है जब तक कि एनपी = आरपी, नीचे की कमी के कारण नहीं है।

एक प्रमुख शक्ति दी $q$ बाइनरी और एक बूलियन सर्किट में $C$ (केवल का उपयोग कर wlog $\land$ तथा $\neg$ गेट्स), हम बहुपद समय में एक अंकगणित सर्किट का निर्माण कर सकते हैं $C_q$ ऐसा है कि $C$ असंतोषजनक iff है $C_q$ एक समान रूप से शून्य बहुपद पर गणना करता है $\mathbb F_q$ निम्नानुसार: अनुवाद $a\land b$ साथ में $ab$, $\neg a$ साथ में $1-a$, और एक चर $x_i$ साथ में $x_i^{q-1}$ (जिसे आकार के सर्किट द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $O(\log q)$ दोहराया स्क्वेरिंग का उपयोग करना)।

अगर $q=p$ प्रधान है (जो मुझे नहीं लगता कि वास्तव में मायने रखता है) और पर्याप्त रूप से बड़े, हम भी कमी को कम कर सकते हैं: परिभाषा को संशोधित करें $C_p$ ताकि $x_i$ बहुपद के साथ अनुवादित है

$$f_i(x)=((x+i)^{(p-1)/2}+1)^{p-1}.$$ एक हाथ में, $f_i(a)\in\{0,1\}$ हर एक के लिए $a\in\mathbb F_p$, इसलिए यदि $C$ असंतोषजनक है, फिर $C_p(a)=0$ हर एक के लिए $a$। दूसरी ओर, मान लीजिए$C$ संतोषजनक है, कहते हैं $C(b_1,\dots,b_n)=1$, कहाँ पे $b_i\in\{0,1\}$। नोटिस जो $$f_i(a)=\begin{cases}1&\text{if $a+i$ is a quadratic residue (including $0$),}\\ 0&\text{if $a+i$ is a quadratic nonresidue.}\end{cases}$$ इस प्रकार, हमारे पास है $C_p(a)=1$ अगर $a\in\mathbb F_p$ इस प्रकार कि $$a+i\text{ is a quadratic residue }\iff b_i=1$$ हर एक के लिए $i=1,\dots,n$। Peralta में Corollary 5 का अर्थ है कि ऐसा$a$ हमेशा के लिए मौजूद है $p\ge(1+o(1))2^{2n}n^2$।

Comments

यूनीवेरिएट कमी वास्तव में गैर-लाभ के लिए काम करती है $q$ साथ ही, जब तक यह विषम है (और कोई संभवतः शक्तियों को संभाल सकता है $2$एक अन्य तरीके से)। स्थिरांक के बजाय$1,\dots,n$, कोई भी निश्चित अनुक्रम ले सकता है $n$क्षेत्र के अलग-अलग तत्व; आव श्यक$a$ फिर से मौजूद है अगर $q\ge2^{2n}n^2$पेराल्टा के कागज में वास्तविक तर्क के रूप में एक ही तर्क है (असली काम चरित्र के योग पर बाध्य है, जो सभी परिमित क्षेत्रों के लिए है)।

— एमिल जेकाबेक

आह, हाँ: अगर $q=2^k\ge2^n$, हम ठीक कर सकते हैं $\mathbb F_2$-रैखिक रूप से स्वतंत्र $\{a_i:i=1,\dots,n\}\subseteq\mathbb F_q$, और अनुवाद $x_i$ साथ में $T(a_ix)$, कहाँ पे $T(x)=\sum_{j<k}x^{2^j}$ का निशान है $\mathbb F_q/\mathbb F_2$।

— एमिल जेकाबेक