वैक्टर के डॉट उत्पाद के विचरण के यूनिट वैक्टर के सभी वितरणों पर न्यूनतम क्या है?

Question

मैं यादृच्छिक वैक्टर पर एक वितरण खोजने की कोशिश कर रहा हूं , -dimensional इकाई क्षेत्र (जहां ) पर ) को कम से कम बाधा \ mathbb {E} [x_i ^ Tx_j] = 0 के अधीन है ।$n$$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

मैंने कुछ वितरणों की कोशिश की और लगभग सभी में 1 / k विचरण किया $1/k$। उदाहरण के लिए, दोनों वितरण जिसमें प्रत्येक $x_i$ का प्रत्येक समन्वय स्वतंत्र रूप से और समान रूप से $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$ और वितरण जिसमें प्रत्येक x - i * k -dimensional इकाई क्षेत्र $x_i$पर एक स्वतंत्र वर्दी वेक्टर है जिसका विचरण 1 / k है ।$k$$1/k$

है $1/k$ सभी वितरण के बीच कम से कम विचरण?

Comments

एक कसौटी पर कसने से आप कैसे रूचि लेते हैं? यह है कि, 1 / 100k की निचली सीमा केवल n> 100k के लिए काम करती है दिलचस्प होगी या नहीं?

— डेनियलो

@ डैनियलो, क्या आपका मतलब n> ck के लिए 1 / ck से कम है जहां c कुछ स्थिर है? यह कैसे साबित करें?

— पेंग

कुछ ऐसा जो मुझे इस प्रश्न में समझ में नहीं आता है: शुरुआत में आप यूनिट वैक्टर पर वितरण कहते हैं , लेकिन आपके द्वारा कहे गए सभी वितरणों में आपने यूनिट वैक्टर उत्पन्न करने की कोशिश नहीं की है ... क्या आपका मतलब है कि सभी , ? $x_i$$E[|x_i|] = 1$

— डेनिएलो

@deniello, मैंने सभी वैक्टर को "यूनिट" बनाने का इरादा किया था। क्षमा करें, मैं "गौसियन" वेक्टर पर सामान्यीकरण करना भूल गया, सामान्य होने के बाद, यह समान वेक्टर के समान होगा। इस गलती को इंगित करने के लिए धन्यवाद।

— पेंग

Answer 1

मैं समस्या के समतुल्य लेकिन सरल दिखने वाले सूत्रीकरण को प्रस्तुत करूंगा, और ( n / k - 1) / ( n (1) की निचली सीमा को दिखाऊंगा । मैं क्वांटम जानकारी में एक खुली समस्या के लिए एक संबंध भी दिखाता हूं। [संशोधन 3 में संपादित करें: पहले के संशोधनों में, मैंने दावा किया था कि जिन मामलों में नीचे दिखाया गया है, उनका सटीक लक्षण वर्णन मुश्किल है, क्योंकि यह मुश्किल है क्योंकि जटिल मामले में एक अनुरूप प्रश्न में SIC-POVS के बारे में एक खुली समस्या शामिल है। क्वांटम जानकारी। हालाँकि, SIC-POVMs का यह कनेक्शन गलत था। विवरण के लिए, "क्वांटम जानकारी में SIC-POVM से गलत कनेक्शन" अनुभाग देखें।

समतुल्य सूत्रीकरण

सबसे पहले, जैसा कि डैनियलो के उत्तर में पहले ही बताया गया था, ध्यान दें कि वर ( x _i ^T x _j ) = E [( x _i ^T x _j ) ² ] - E [ x _i ^T x _j ] ² = E [( x _i ^T) x _j ) ^२ ]। तो जवाब के बाकी हिस्सों में, हम विचरण के बारे में भूल जाते हैं और बजाय कम से कम अधिकतम _{मैं ≠ जे} ई [( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ]।

इसके बाद, एक बार हम अपने लक्ष्य तय अधिकतम कम करने के लिए है _{मैं ≠ जे} ई [( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ] बाधा, हम अनदेखा कर सकते हैं कि ई [ एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ] = 0. ऐसा इसलिए क्योंकि हम यादृच्छिक अगर इकाई वैक्टर x ₁ , ..., x _n , तो हम उनमें से प्रत्येक स्वतंत्र रूप से संभावना 1/2 के साथ पूरा करने के लिए ई नकारना सकता है [ एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ] = 0 उद्देश्य समारोह अधिकतम मूल्य बदले बिना _{मैं ≠ जे} ई [( x _i ^T x _j) ² ]।

इसके अलावा, से उद्देश्य समारोह को बदलने अधिकतम _{मैं ≠ जे} ई [( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ] को (1 / ( एन ( एन -1))) Σ _{मैं ≠ जे} ई [( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ] इष्टतम मूल्य नहीं बदलता है। उत्तरार्द्ध सबसे अधिक पूर्व में है क्योंकि औसत अधिकतम अधिकतम पर है। हालांकि, हम हमेशा ई के मूल्यों कर सकते हैं [( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ] की (विभिन्न विकल्पों के लिए मैं , जे ) ( मैं ≠j ) समान रूप से n vectors x ₁ ,…, x _{n को} यादृच्छिक रूप से अनुमति देकर ।

तो किसी भी n और k के लिए , प्रश्न में समस्या का इष्टतम मान न्यूनतम (1 / ( n ( n ∑1)) के बराबर है ) _{≠ i} E _j E [( x _i ^T x _j ) ² ] जहां x ₁ ,…, x _n यादृच्छिक चर हैं जो मान के रूप में ctors ^k में यूनिट वैक्टर लेते हैं।

हालांकि, उम्मीद की linearity से, इस उद्देश्य को समारोह की उम्मीद मूल्य ई के बराबर है [(1 / ( एन ( एन -1))) Σ _{मैं ≠ j} ( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ]। क्योंकि न्यूनतम सबसे अधिक औसत पर है, अब संभावना वितरण पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, उपरोक्त समस्या का इष्टतम मूल्य निम्नलिखित के इष्टतम मूल्य के बराबर है:

इकाई वैक्टर चुनें एक्स ₁ , ..., एक्स _एन ∈ ℝ ^{कश्मीर} को कम करने (1 / ( एन ( एन -1))) Σ _{मैं ≠ j} ( एक्स _मैं ^टी एक्स _जे ) ² ।

निम्न परिबंध

इस समकक्ष सूत्रीकरण का उपयोग करते हुए, हम यह साबित करेंगे कि इष्टतम मान कम से कम ( n / k - 1) / ( n ( 1) है।

1≤ के लिए मैं ≤ n , चलो एक्स _मैं = एक्स _मैं एक्स _मैं ^टी होना रैंक -1 प्रोजेक्टर इकाई वेक्टर के लिए इसी x _मैं । फिर, यह माना जाता है कि ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j )।

चलो Y = ∑ _i X _i । फिर, यह माना जाता है कि _{≠ i} Tr _j Tr ( X _i X _j ) = _{, i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n ।

कॉची-Schwarz असमानता का तात्पर्य है कि Tr ( वाई ² ) ≥ (Tr Y ) ² / k = n ² / कश्मीर , और इसलिए Σ _{मैं ≠ जे} Tr ( एक्स _मैं एक्स _जे ) = Tr ( वाई ² ) - एन ≥ एन ² / के - एन । N ( n )1) से विभाजित करके , हम प्राप्त करते हैं कि उद्देश्य मान कम से कम ( n / k - 1) / ( n ( 1) है।

विशेष रूप से, जब n = k +1, daniello का उत्तर इष्टतम मान से 2 के कारक के भीतर है।

यह निचली सीमा कब प्राप्य है?

इस निचली सीमा ( n / k - 1) / ( n is1) को बनाए रखना Y = ( n / k ) I बनाने के बराबर है । जब यह प्राप्य होता है, तो मुझे सटीक लक्षण वर्णन नहीं पता होता है, लेकिन निम्नलिखित पर्याप्त परिस्थितियां मौजूद हैं:

• जब एन = कश्मीर +1, यह विचार करके प्राप्य है कश्मीर +1 इकाई वैक्टर जो एक नियमित रूप से फार्म कश्मीर -simplex मूल पर केन्द्रित, 2 / (से सुधार लाने कश्मीर ( कश्मीर इष्टतम 1 / करने के लिए daniello के जवाब में +1)) कश्मीर ^२ ।
• जब n , k का एक गुणक होता है, तो वह स्पष्ट रूप से and ^k का एक orthonormal आधार तय करके और प्रत्येक आधार वैक्टर n / k के v ₁ ,…, v _n को निर्दिष्ट करके प्राप्य होता है ।
• आमतौर पर अंतिम बुलेट बिंदु से अधिक, यदि यह कश्मीर के कुछ विकल्प के साथ प्राप्य है और दोनों n = n ₁ और n = n _{2 है} , तो यह उसी k और n = n ₁ + n _{2 के} लिए भी प्राप्य है । विशेष रूप से, यह प्राप्य है यदि n = a k + b जहां a और b पूर्णांक हैं, जो ≥ b ≥0 को संतुष्ट करता है ।

हालांकि मैंने विवरणों की जांच नहीं की है, ऐसा लगता है कि कोई भी गोलाकार 2-डिज़ाइन इस निचले बाउंड को प्राप्त करने का एक समाधान देता है।

क्वांटम सूचना में SIC-POVM से गलत संबंध

पहले के संशोधनों में, मैंने कहा:

मुझे संदेह है कि इसका पूरी तरह से उत्तर देना एक कठिन प्रश्न है। कारण यह है कि यदि हम इसके बजाय जटिल वेक्टर अंतरिक्ष this ^k पर विचार करते हैं , तो यह प्रश्न क्वांटम जानकारी में एक खुली समस्या से संबंधित है।

लेकिन यह रिश्ता गलत था। मैं समझाऊंगा क्यों।

अधिक सटीक रूप से, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

चुनें इकाई वैक्टर एक्स ₁ , ..., एक्स _एन ∈ ℂ ^{कश्मीर} को कम करने (1 / ( एन ( एन -1))) Σ _{मैं ≠ जे} | x _i ^* x _j | ^२ ।

ऊपर का निचला भाग समान रूप से इस जटिल संस्करण में है। उस मामले पर विचार करें जहां जटिल संस्करण में n = k ² है। फिर निचला बाउंड 1 / ( k +1) के बराबर है ।

अब तक, यह सही था।

K ² यूनिट वैक्टर x ₁ का एक सेट ,…, x _{k ²} ℂ taining ^k निचली सीमा को प्राप्त करने को आयाम k में SIC- POVM कहा जाता है ।

यह हिस्सा गलत था। एक SIC-POVM k ² यूनिट वैक्टर x ₁ का एक सेट है ,…, x _n which which ^k जिसके लिए | x _i ^* x _j | ² = 1 / ( कश्मीर +1) सभी के लिए मैं ≠ जे । ध्यान दें कि यहां आवश्यकता सभी जोड़े के लिए होने चाहिए जिसे मैं ≠ j , सभी जोड़ों से अधिक सिर्फ औसत नहीं मैं ≠ जे । "समतुल्य सूत्रीकरण" खंड में, हमने अधिकतम को न्यूनतम करने और औसत को कम करने के बीच समानता दिखाई, लेकिन यह संभव था: x ₁,…, X _n यादृच्छिक वैरिएबल थे जो वहां यूनिट वैक्टर ले रहे थे। यहाँ x ₁ ,…, x _n सिर्फ यूनिट वैक्टर हैं, इसलिए हम एक ही ट्रिक का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

Answer 2

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2] = \frac{1}{k+1 \choose 2}$$

$x_i$