एक बहुपद द्वारा बूलियन फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना

Question

मान लें कि हमारे पास से एक बूलियन फ़ंक्शन है : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } । यह स्पष्ट है कि कोई वास्तविक मल्टीवेरिएट बहुपद पी ( एक्स ) ऐसी है कि च ( एक्स ) = पी ( एक्स ) पर एक्स ∈ { 0 , 1 } n multilinear हो सकता है। बूलियन फ़ंक्शंस के कुछ दिलचस्प वर्ग कौन से हैं जिनके लिए न्यूनतम डिग्री p ( x $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$p(x)$$f(x)=p(x)$$x\in\{0,1\}^n$$p(x)$ज्ञात है? क्या हमारे पास ठोस उदाहरण हैं?

Comments

संबंधित: cstheory.stackexchange.com/questions/25291/...

— एंड्रेज बॉयर

यदि आप इससे परिचित नहीं हैं, तो निकट से संबंधित "अनुमानित डिग्री" पर बहुत काम है, जो पूछता है, बहुपद की न्यूनतम डिग्री क्या है जो "अनुमानित" होती ? मैं विशिष्ट संदर्भ देने के लिए पर्याप्त नहीं जानता, लेकिन अन्य लोग ऐसा करेंगे। $f$

— usul

Answer 1

कोई भी फ़ंक्शन जिसमें समता के साथ गैर-शून्य सहसंबंध है, डिग्री । यही कारण है, अगर Σ x ∈ { 0 , 1 } n ( - 1 ) Σ मैं एक्स मैं च ( एक्स ) ≠ 0 तो अद्वितीय multilinear के विस्तार च शामिल एकपद एक्स 1 ⋯ एक्स एन । वास्तव में, चूंकि ( - 1 ) x i = 1 - x $n$

$$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$$ $f$$x_1\cdots x_n$ ,एफके फूरियर विस्तार(1-xiके उत्पादों के संदर्भ में व्यक्त)$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$$f$ ) शब्द शामिल होंगेΠमैं1-एक्स$\frac{1-x_i}{2}$ , और इसी एकपदΠमैंएक्समैंकिसी अन्य शब्द में प्रकट नहीं होता।$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$$\prod_i x_i$

निसान और सज़ीदी ने साबित किया कि डिग्री कार्य सबसे अधिक डी 2 डी चर पर निर्भर करते हैं । के लिए घ = 1 हम और अधिक सटीक हो सकते हैं: समारोह सबसे एक समन्वय पर निर्भर होगा।$d$$d2^d$$d = 1$

Comments

यह एक उपयोगी बिंदु है। इस विषय के लिए एक अच्छा संदर्भ क्या है?

— टी .... 1

आप रयान ओ'डॉनेल की हालिया किताब, एनालिसिस ऑफ बुलियन फंक्शंस पर एक नज़र डाल सकते हैं।

— युवल फिल्मस

Answer 2

अद्वितीय बहुभाषी प्रस्तुति के साथ बूलियन कार्यों की कक्षाएं होती हैं

1. छद्म-बूलियन वास्तविक से अधिक कार्य (प्रमेय 1.34 [1])

2. यूनिट क्यूब पर बूलियन फ़ंक्शन $[0,1]^n$

पृष्ठभूमि

"प्रत्येक बूलियन फ़ंक्शन को एक विवादास्पद सामान्य रूप और एक सामान्य सामान्य रूप से दर्शाया जा सकता है।" (प्रमेय १.४ (पृष्ठ १६ [१])

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$$\vee (\prod x \prod (1-x))$$\sum c \prod x$$F$$\mathcal B^n$$\mathcal P(N)$$\oplus$$f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

और उनके अनुप्रयोगों में शामिल हैं

• $[0,1]^n$

• $[0,1]^n$

• (सर्किट) बहु-रैखिक बहुपद कंप्यूटिंग बूलियन फ़ंक्शन की जटिलता

• (फूरियर विश्लेषण) बूलियन कार्यों की गणना करने वाले बहुपद के लिए निचले सीमा

संदर्भ

[१] बूलियन फ़ंक्शंस थ्योरी, अल्गोरिदम और एप्लिकेशन (यवेस क्रामा, पीटर एल। हैमर, २०११)

Comments

हाँ, ज़ाहिर है। अब, कैसे इस सवाल का जवाब देता है?

— एमिल जेकाब