पूर्णांकों के छोटे सेटों को खोजना जिसमें प्रत्येक तत्व दो अन्य का योग है

Question

यह करने के लिए एक अनुवर्ती है इस सवाल का math.stackexchange पर।

हमें का कहना है कि एक गैर खाली सेट S ⊆ ℤ है चलो स्वावलंबी अगर हर के लिए एक  ∈ एस, वहाँ मौजूद विशिष्ट तत्वों बी, सी  ∈ इस तरह है कि S एक  =  ख  + स। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए , सरल उदाहरणों में आदर्श S =  n ,, या ( n > 3 के लिए) पूर्णांक अंतराल [- n ,  n ] शामिल हैं।

हम कहूँगा एस है कि दृढ़ता से स्वावलंबी अगर एस एस से संबंध तोड़ना है: यह है कि, अगर एक  ∈ एस, तो - एक  ∉ एस उपरोक्त उदाहरणों में से न तो दृढ़ता से स्वावलंबी कर रहे हैं, क्योंकि वे वास्तव में बंद कर दिया गया उपेक्षा के तहत। ऐसे परिमित सेट मौजूद हैं, जो दृढ़ता से स्वावलंबी हैं: उदाहरण के लिए, सेट {,22, −20, −18, −16, which14, which12, which10, which2, 1, 3, 7, 8, 15 , 23} और {−10, −8, ,6, ,2, 1, 3, 4, 5}।

प्रश्न 1। एक सकारात्मक पूर्णांक N > 0 के लिए, क्या कोई पॉली ( N ) -टाइम [या पॉलीग्लो ( N ) -टाइम ] एल्गोरिथ्म या तो मौजूद है (i)  एक दृढ़ता से स्वावलंबी सेट का उत्पादन करता है जिसका अधिकतम निरपेक्ष मान N , या है (ii) )  निर्धारित करें कि ऐसा कोई सेट मौजूद नहीं है? [ संपादित करें : जैसा कि सबसे पुराने उत्तर में बताया गया है + इस पर मेरी टिप्पणी, हमेशा N  ] 10. के लिए ऐसा सेट मौजूद है ।]

प्रश्न 2। के लिए एन > 0, आप दृढ़ता से स्वावलंबी अधिकतम निरपेक्ष मूल्य के साथ सेट का निर्माण कर सकते एन , और जो सबसे कम संभव तत्व है?

Comments

प्रवासित उत्तर दिए गए प्रश्न सामान्य अभ्यास नहीं है और प्रश्न यहाँ ठीक दिखता है। लेकिन अगर तुम चाहो तो मैं इसे स्थानांतरित कर दूंगा।

— 22

मुझे भी यकीन नहीं है कि यह एक उत्तर दिए गए प्रश्न को स्थानांतरित करने के लिए समझ में आता है।

— सुरेश वेंकट

जैसी आपकी इच्छा, तब। तथ्य यह है कि यह सवाल यहां बना हुआ है कि कुछ समय से मुझे परेशान किया गया है क्योंकि साइट सैद्धांतिक विषयों पर प्रश्नोत्तर के लिए एक परिपक्व मंच बन गई है। मुझे लगा कि टोन (गैर-अनुसंधान स्तर) cs.SE के लिए अनुकूल हो सकता है; लेकिन अगर आपको नहीं लगता कि कोई महत्वपूर्ण स्थिरता मुद्दा है, तो मैं इसके बारे में झल्लाहट बंद कर दूंगा।

— नील डी ब्यूड्रैप

Answer 1

मुझे लगता है कि प्रश्न # 1 के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म संभव होना चाहिए (और यदि आप एक अलग प्रतिनिधित्व, एक हे (1) समय एल्गोरिथ्म से निपटने के लिए तैयार हैं)

किसी भी एन> = 23 को देखते हुए, हम एक मजबूत स्व-समर्थन सेट का निर्माण करते हैं जिसमें 1 और एन होता है।

हम आसानी से कर सकते हैं यदि हम एन -1 के लिए समान निर्माण करते हैं, और फिर परिणामी सेट में एन जोड़ते हैं।

23 के आधार मामले के लिए, हम आपके उदाहरण सेट से शुरू कर सकते हैं।

आकार को नीचे लाने के लिए, हमें एक समान दृष्टिकोण का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए:

निर्माण सेट जिसमें शामिल हैं 1, N and N-1.

हम इन विवश सेटों का उपयोग करते हैं और इस निर्माण को पुन: निम्न आकार में O (logN) में लाने के लिए करते हैं:

• यदि N समान है, तो 1, N और N-1 वाले सेट का निर्माण करने के लिए, पुन: 1, N / 2 और N / 2-1 वाले सेट का निर्माण करें (यानी N / 2 के अनुरूप सेट करें) और N और N-1 जोड़ें जिसके परिणामस्वरूप सेट। चूंकि एन -1 = एन / 2 + एन / 2-1 और एन = 1 + एन -1, यह एक वैध सेट है।

• यदि N विषम है तो N-1 और N के लिए एक सेट का निर्माण करें।

आधार मामलों के लिए, हम {base22, ,20, −18, ,16, −14, we14, −12, ,10, −2, 1, 3, 7, 8, 15, 23,24} से शुरू कर सकते हैं। = 24। 24 <एन <= 47 के लिए, हम उपरोक्त रैखिक समय एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं और एन = 24 के लिए सेट पर निर्माण कर सकते हैं। एन> = 48 के लिए हम आधे से कम करने के लिए स्विच करते हैं।

वास्तव में, मिश्रित एन के लिए, हम आकार को एक छोटे प्राइम में से एक के लिए आवश्यक आकार में और नीचे ला सकते हैं जो एन को विभाजित करता है: छोटे प्राइम के लिए एक सेट का पता लगाएं, और बस एक उपयुक्त कारक द्वारा सभी संख्याओं को गुणा करें।

जिस मामले में N अभाज्य है, उसमें कुछ निचली सीमाओं को सिद्ध करना दिलचस्प हो सकता है।

Comments

+1। मुझे बहुत सुस्त कमरे के साथ एक प्रश्न प्रस्तुत करने के लिए सही काम करता है, मुझे लगता है। आप निश्चित रूप से एन> 10 के लिए भी ऐसा कर सकते हैं। जो हमें निर्माण सेटों के सवाल के साथ छोड़ देता है जो इस से छोटे होते हैं (संभवतः आकार में कम से कम, जैसा कि # 2 में है)।

— निएल डी ब्यूड्रैप

आकार को नीचे लाने के लिए आपके संशोधित उत्तर के लिए: मैं अनुसरण नहीं करता। मैं इकट्ठा करता हूं कि आप 1 + (एन -1) के रूप में एन "समर्थित" (अलग-अलग तत्वों की राशि के रूप में व्यक्त) करना चाहते हैं। लेकिन आप "एन -1" का समर्थन कैसे करते हैं, फिर? --- यह भी: मैं आकार में अधिक रुचि रखता हूं, यानी सेट की कार्डिनैलिटी, हालांकि इसके प्रतिनिधित्व पर दिलचस्प सीमाएं भी दिलचस्प हो सकती हैं।

— नील डी ब्यूड्रैप

@ नील: मैं टिप्पणी करने वाला था: मेरे संपादन को देखें :-)

— आर्यभट्ट

एन = 46 के मामले पर विचार करें। फिर एन / 2 = 23; हम स्व-सहायक सेट के रूप में प्रश्न में दिए गए उदाहरण को लेते हैं, और इसमें एन -1 = 45 और एन = 46 शामिल हैं। फिर हम "N-1 = 45" का समर्थन कैसे करते हैं?

— नील डी ब्यूड्रैप

(आप अपने उपनाम को बदलने पर विचार करना चाह सकते हैं। आप वास्तव में कौन हैं इसका विज्ञापन क्यों नहीं देते? यह मुझे बिना किसी अपमान के आपको देख कर यह पता लगाने की अनुमति देता है कि क्या आपको अंततः बाद में अपना उपनाम बदलने का विकल्प चुनना चाहिए।)

— निएल डे बेउड्रैप

Answer 2

एन supporting 10 के लिए, कोई व्यक्ति अधिकतम ग्यारह में आकार के एक जोरदार स्व-सहायक सेट का निर्माण कर सकता है:

{−N, −N + 2, 4N + 4, 12, 1, 3, 4, 5, N, 7, N, 6, N} 5}।

मूल प्रश्न में प्रस्तुत छोटा उदाहरण केस N = 10. से मेल खाता है। यह इष्टतम होने के करीब है, क्योंकि किसी भी दृढ़ता से स्व-सहायक सेट में कम से कम आठ होना चाहिए ।

इस प्रकार, समस्या ओ (लॉग (एन)) के समय में हल हो जाती है [एन पर सांसारिक अंकगणितीय संचालन में लिया गया], आठ और ग्यारह के बीच कार्डिनिटी का एक सेट उपज।

इस उत्तर के लिए निर्माण को पहले math.stackoverflow प्रश्न के लिए प्रस्तुत किया गया था , जो निर्माण के लिए अंतर्ज्ञान भी देता है। क्या हम अभी भी छोटे निर्माण प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए हर एन> 9 के लिए आठ की निचली सीमा का मिलान? N cases {8,9} के मामलों के बारे में क्या?