रैंडम ओरेकल आर के लिए, बीपीपी पी ^ आर में कम्प्यूटेशनल भाषाओं के सेट के बराबर है?

Question

खैर, शीर्षक बहुत यह सब कहते हैं। उपरोक्त दिलचस्प सवाल मेरे ब्लॉग पर टिप्पणीकर्ता जे द्वारा पूछा गया था ( यहां और यहां देखें )। मैं दोनों का अनुमान लगा रहा हूं कि इसका उत्तर हां है और यह एक अपेक्षाकृत सरल प्रमाण है, लेकिन मैं इसे बंद नहीं देख सकता। (बहुत मोटे तौर पर, हालांकि, कोई यह दिखाने की कोशिश कर सकता है कि, यदि में कोई भाषा B P $P^R$ में नहीं थी , तो उसके पास साथ अनंत एल्गोरिथम की पारस्परिक जानकारी होनी चाहिए , जिस स्थिति में यह गणना योग्य नहीं होगी। इसके अलावा, ध्यान दें। यह एक दिशा तुच्छ है: में कम्प्यूटेशनल भाषाओं में निश्चित रूप से ।)$BPP$$R$$P^R$ $BPP$

ध्यान दें कि मैं कक्षा लगभग PP के बारे में नहीं पूछ रहा हूं , जिसमें लगभग हर लिए में शामिल होने वाली भाषाएं हैं (और बराबर B P P के लिए जाना जाता है )। इस सवाल में, हम पहले आर को ठीक करते हैं , फिर पी आर में गणना योग्य भाषाओं के सेट को देखते हैं । दूसरी ओर, कोई यह दिखाने की कोशिश कर सकता है कि, यदि P R में कोई भाषा कम्प्यूटेशनल है, यहाँ तक कि एक निश्चित रैंडम ओरेकल , तो वास्तव में वह भाषा पी पी में होनी चाहिए ।$P^R$$R$$BPP$$R$$P^R$$P^R$$R$$AlmostP$

एक निकट-संबंधी प्रश्न यह है कि क्या, यादृच्छिक यादृच्छिक पर 1 संभावना के साथ , हमारे पास है$R$

$AM = NP^R \cap Computable.$

यदि ऐसा है, तो हमें निम्नलिखित दिलचस्प परिणाम मिलते हैं: यदि , तो प्रायिकता 1 के साथ एक यादृच्छिक oracle , एकमात्र भाषाएँ जो oracle जुदाई का गवाह हैं, वे असंगत हैं।$P=NP$$R$$P^R \ne NP^R$

Comments

एरिक एलेन्डर और उनके साथियों द्वारा कुछ संबंधित कागजात हैं: रैंडम स्ट्रिंग्स की कम्प्यूटेशनल पावर पर सीमाएं , रैंडम स्ट्रिंग्स के सेट पर कटौती: संसाधन-बाध्य मामला

— केवह

Answer 1

हाँ।

पहले, चूंकि मुझे यह पता लगाने में एक मिनट का समय लगा, इसलिए मुझे आपके प्रश्न और बीच के अंतर को औपचारिक रूप देना चाहिए ; यह क्वांटिफायर का क्रम है। एक एल मीटर ओ एस टी पी : = { एल : पी आर आर ( एल ∈ पी आर ) = 1 } है, और परिणाम आप का उल्लेख करने के है ∀ $\mathsf{AlmostP}$$\mathsf{AlmostP} := \{L : Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1\}$ । मैं सही ढंग से समझ लिया है, तो आप अगर पूछ रहे हैं पी आर आर ( ∀ $\forall L\, L \in \mathsf{BPP} \iff Pr_R(L \in \mathsf{P}^R) = 1$ ।$Pr_R(\forall L\, L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \iff L \in \mathsf{BPP}) = Pr_R(\mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = 1$

विचार करें

।$p := 1-Pr_R(\mathsf{P}^R\cap \mathsf{COMP} = \mathsf{BPP}) = Pr_R(\exists L \in \mathsf{P}^R \cap \mathsf{COMP} \backslash \mathsf{BPP})$

द्वारा संघ बाध्य, द्वारा ऊपरी घिरा है Σ एल ∈ सी ओ एम पी पी आर आर ( एल ∈ पी आर ∖ बी पी पी ) । (ध्यान दें कि बाद की राशि गणना योग्य है।) अब, 0-1 कानून द्वारा - जो सभी प्रासंगिक कथनों के लागू होने के बाद से लागू नहीं होती है यदि हम R को बहुत अधिक बदल देते हैं - इस राशि में प्रत्येक व्यक्ति की संभावना या तो 0 या 1. है। आपके सवाल का जवाब नहीं है, तो पी = 1 , इसलिए कुछ होना चाहिए एल ∈ सी ओ एम पी ऐसी है कि$p$$\sum_{L \in \mathsf{COMP}} Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP})$$R$$p=1$$L \in \mathsf{COMP}$ । लेकिन इस के विपरीत तथ्य यह है कि एक एल मीटर ओ एस टी पी = बी पी पी ।$Pr_R(L \in \mathsf{P}^R \backslash \mathsf{BPP}) = 1$$\mathsf{AlmostP} = \mathsf{BPP}$

अद्यतन अक्टू 10, 2014 : जैसा कि एमिल जेराबेक द्वारा टिप्पणी में बताया, वही तर्क पर लागू होता है बनाम एन पी आर , के बाद से हम भी जानते हैं कि एक एल मीटर ओ एस टी एन पी = एक एम ।$\mathsf{AM}$$\mathsf{NP}^R$$\mathsf{AlmostNP} = \mathsf{AM}$

वह यह भी बताते हैं कि हमने बारे में कुछ भी उपयोग नहीं किया है क्योंकि यह एक गणनीय वर्ग है जिसमें B P P (सम्मान।, A M ) शामिल है। तो OQ में "दिलचस्प निष्कर्ष" वास्तव में C के किसी भी गणनीय वर्ग पर लागू होता है जिसमें A M होता है : यदि P = N P , "ओनली" भाषाएँ जो गवाहों के पृथक्करण P R ≠ N P R से C से बाहर हैं।$\mathsf{COMP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{AM}$$\mathcal{C}$$\mathsf{AM}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P}^R \neq \mathsf{NP}^R$$\mathcal{C}$। लेकिन बाद के बयान पर कुछ हद तक मेरे लिए भ्रामक लगता है (यह बनाता है यह, की तरह ध्वनि किसी के लिए हम विचार कर सकते हैं सी = एक एम ∪ { एल 0 } , और इस तरह "शो" है कि कोई एल 0 का एहसास एन पी आर ≠ पी आर , प्रसिद्ध प्रमेय के विपरीत)। बल्कि, इसे प्रतीकात्मक रूप से लिखते हुए, हमने दिखाया है:$L_0$$\mathcal{C} = \mathsf{AM} \cup \{L_0\}$ $L_0$$\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R$

अगर , फिर ∀ गणनीय  सी ⊇ एक $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ ।$\forall \text{countable } \mathcal{C} \supseteq \mathsf{AM}\, Pr_R(\mathsf{NP}^R \neq \mathsf{P}^R \text{ and } \mathsf{NP}^R \cap \mathcal{C} = \mathsf{P}^R \cap \mathcal{C}) = 1$

ध्यान दें कि, महत्वपूर्ण, संभावना 1 के रूप में एक ही बात नहीं है सब , और जो पूर्ण उपाय के सेट आर संतुष्ट करने के लिए तर्क पी आर आर पर निर्भर कर सकता सी । इसलिए यदि हम C को C we { L 0 } में बदलने का प्रयास करते हैं , तो यह R के 0 सेट को अधिकतम मापता है जो इस कथन को संतुष्ट करता है।$R$$R$$Pr_R$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C} \cup \{L_0\}$$R$

Comments

यही तर्क AM बनाम NP ^ R पर लागू होता है। इसके अलावा, कम्प्यूटेबिलिटी वास्तव में मायने नहीं रखती है, केवल प्रूफ में उपयोग की जाने वाली कम्प्यूटेशनल भाषाओं की एकमात्र संपत्ति यह है कि बहुत सारे हैं।

— एमिल जेकाबेक

Answer 2

जबकि आप जो पूछ रहे हैं और लगभग पी में अंतर के बीच क्वांटिफायर का क्रम अलग है, यह दिखाना बहुत मुश्किल नहीं है कि वे समकक्ष हैं। पहले, किसी निश्चित L के लिए, P ^ O में L \ _ का प्रश्न O के किसी भी प्रारंभिक प्रारंभिक खंड पर निर्भर नहीं करता है। यह निम्नानुसार है कि P ^ R में L \ या तो प्रायिकता 0 से या 1 से है। पी परिणाम, प्रत्येक कम्प्यूटेशनल एल के लिए बीपीपी में नहीं, जवाब 0 है, जबकि अगर बीपीपी में एल \ _, संभावना 1 है। चूंकि कई गणना योग्य एल हैं, हम एक संघ बाध्य कर सकते हैं; संभाव्यता के एक गणनीय संघण में 0 सेट की संभाव्यता होती है। इस प्रकार, संभावना है कि कोई कंप्युटेबल L है जो BPP में नहीं है, लेकिन P ^ R में 0 है, जैसा कि प्रायिकता है कि BPP में P में नहीं है। आर,