क्लासिक पैक्सोस और फास्ट पैक्सोस की शुद्धता प्रमाण

मैं लेस्ली लामपोर्ट द्वारा "फास्ट पैक्सोस" पेपर पढ़ रहा हूं और क्लासिक पैक्सोस और फास्ट पैक्सोस दोनों के शुद्धता प्रमाण के साथ फंस गया हूं ।

स्थिरता के लिए, चरण में समन्वयक द्वारा उठाए गए मूल्य , जिसे संतुष्ट करना चाहिए $v$ $2a$ $i$

$CP(v,i):$ किसी भी गोल , अलावा कोई भी मूल्य अभी तक गोल में चुना गया है या हो सकता है । $j < i$ $v$ $j$

क्लासिक पैक्सो के लिए , प्रमाण (पृष्ठ 8) को तीन मामलों में विभाजित किया गया है: , , और , जहां सबसे बड़ा गोल संख्या है जिसमें कुछ स्वीकर्ता ने चरण संदेश द्वारा समन्वयक को सूचित किया है । मैं तीसरे मामले के तर्क को समझने में विफल रहा: $k < j < i$ $j = k$ $j < k$ $k$ $1b$

केस । जब को राउंड में लिए वोट किया जाता है, तो हम उस संपत्ति को शामिल कर सकते हैं । इसका तात्पर्य यह है कि अलावा कोई भी मूल्य अभी तक गोल में चुना नहीं गया है या हो सकता है । $j < k$ $CP$ $a_0$ $v$ $k$ $v$ $j$

मेरा सवाल यह है कि:

हम क्यों मान सकते हैं कि संपत्ति स्वीकार किया गया जब राउंडर ने राउंड में लिए मतदान किया ? $CP$ $a_0$ $v$ $k$

ऐसा लगता है कि हम गणितीय प्रेरण का उपयोग कर रहे हैं, इसलिए, आधार, आगमनात्मक परिकल्पना और आगमनात्मक कदम क्या हैं?

फास्ट पैक्सोस के लिए , एक ही तर्क (पृष्ठ 18) चलता है। इसे कहते हैं,

केस । किसी भी के लिए में , कोई अन्य की तुलना में मूल्य गया है या अभी तक दौर में चुना जा सकता है है । $j < k$ $v$ $V$ $v$ $j$

मेरा सवाल यह है कि:

यह कैसे प्राप्त किया जाता है? विशेष रूप से, यहाँ " में किसी भी लिए" क्यों है ? $v$ $V$

मेरी राय में, के और के मामलों पर भरोसा (पुनरावर्ती) है । $j < k$ $k < j < i$ $j = k$

इसलिए, हम पहले से ही पूरी तरह से साबित किए बिना को कैसे समाप्त कर सकते हैं (अर्थात्, का उप भाग गायब है जहाँ में एक से अधिक मान हैं)? $j < k$ $j = k$ $j = k$ $V$

ds.algorithms dc.distributed-comp proofs

— Hengxin
स्रोत

जब हम स्वीकार कर सकते हैं कि संपत्ति सीपी ने स्वीकार की a0 को गोल k में v के लिए मतदान क्यों किया? ऐसा लगता है कि हम गणितीय प्रेरण का उपयोग कर रहे हैं, इसलिए, आधार, आगमनात्मक परिकल्पना और आगमनात्मक कदम क्या हैं?

आप मजबूत प्रेरण की एक आवृत्ति देख रहे हैं । सरल प्रेरण में आप मानते हैं कि संपत्ति और यह लिए रखती है । मजबूत प्रेरण में आप मानते हैं कि संपत्ति और यह लिए रखती है । $n=m$ $n=m+1$ $\forall n: n<m$ $n=m+1$

बेसिस (मेरा मानना है): । यही है, शून्य दौर (चूंकि राउंड 1 से शुरू होता है)। यह तुच्छ रूप से सच है, जो शायद इसलिए स्पष्ट रूप से नहीं कहा गया था। $j = 0$

आगमनात्मक कदम : मान लें कि ; सिद्ध करें जहाँ । $\forall n, n \le j : CP(v; n)$ $CP(v; j+1)$ $j < i$

मानो या न मानो, यह केवल एक सबूत स्केच है । असली सबूत पार्ट टाइम पार्लियामेंट के पेपर में है। (कुछ कागज़ की गूढ़ विवेचना करते हैं, तो कुछ इसे हास्यप्रद मानते हैं।)

यह कैसे प्राप्त किया जाता है?

मेरी राय में, के और के मामलों पर भरोसा (पुनरावर्ती) है । $j<k$ $k<j<i$ $j=k$

इसलिए, हम पहले से ही पूरी तरह से साबित किए बिना के मामले को कैसे समाप्त कर सकते हैं (अर्थात्, के उप भाग को याद करते हैं जहां में एक से अधिक मूल्य हैं)? $j<k$ $j=k$ $j=k$ $V$

यह फिर से मजबूत प्रेरण है, इसलिए केस और के मामलों पर निर्भर करता है , लेकिन इंडक्शन परिकल्पना के माध्यम से , अर्थात् पिछले पैक्सोस दौर से। $j<k$ $k<j$ $j=k$

लामपोर्ट के प्रमाण के लिए सामान्य सुझाव।

लामपोर्ट पदानुक्रमित प्रमाणों की एक तकनीक का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, 7-8 पृष्ठों पर प्रमाण की संरचना कुछ इस तरह दिखती है:

मान लें कि ; सिद्ध करें जहाँ । सी पी ( v ; j + 1 ) j < मैं
1. अवलोकन १
2. अवलोकन २
3. अवलोकन ३
4. $k = argmax (...)$
5. केस के = 0
6. मामला k> 0
  - मामला k <j
  - केस के = जे
  - मामला j <k

लैमपोर्ट एक और प्रकार के पदानुक्रम का उपयोग करता है। वह एक सरल एल्गोरिथ्म साबित करेगा, और फिर यह साबित करेगा कि एक अधिक जटिल एल्गोरिथ्म सरल एल्गोरिथ्म पर (या "फैली" ) मैप करता है। ऐसा लगता नहीं है कि पृष्ठ 18 पर हो रहा है, लेकिन यह देखने के लिए कुछ है। (पेज 18 पर मौजूद सबूत पेज 7-8 के सबूत का संशोधन प्रतीत होता है ; इसका विस्तार नहीं ।)

लैमपोर्ट मजबूत प्रेरण पर बहुत निर्भर करता है ; वह संख्या के बजाय सेट के संदर्भ में भी सोचना चाहता है । तो आपको ऐसे खाली सेट मिल सकते हैं जहाँ दूसरों के पास शून्य या नल होंगे; या यूनियनों को सेट करें जहां दूसरों के पास होगा।

अतुल्यकालिक संदेश-गुजर प्रणालियों की सहीता साबित करने के लिए समय के साथ प्रणाली के एक सर्वज्ञ दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है । उदाहरण के लिए, जब राउंड में क्रियाओं पर विचार कर रहा , तो ध्यान रखें कि कुछ राउंड लिए कार्रवाई अस्थायी रूप से नहीं हुई होगी! । और फिर भी लैम्पपोर्ट भविष्य की इन घटनाओं को पिछले तनाव में बताता है। $i$ $j < i$

लैम्पपोर्ट सिस्टम और प्रूफ में एक वैरिएबल या वैरिएबल का सेट होता है जिसे केवल एक दिशा में जाने की अनुमति होती है; केवल वेतन वृद्धि संख्या और केवल सेट में जोड़ना। यह उनके प्रमाणों में बड़े पैमाने पर प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, पेज 8 पर लैमपोर्ट से पता चलता है कि कैसे उन्होंने भविष्य में और वोट डालने की क्षमता को कम दिया: $a$

... चूंकि यह एक संदेश भेजने के लिए से सेट करता है, इसलिए बाद में किसी भी दौर में वोट नहीं डाल सकता था , कि कम था । $rnd[a]$ $i$ $a$ $i$

इस प्रकार की प्रणालियों को साबित करने के लिए यह निश्चित रूप से एक मस्तिष्क-स्ट्रेचर है।

(अपडेट) : इन्वेंटरी को सूचीबद्ध करें; लामपोर्ट विकसित होने पर और उसके प्रमाणों के दौरान बहुत सारे आक्रमणकारियों का उपयोग करता है। वे कभी-कभी पूरे प्रमाणों में बिखर जाते हैं; कभी-कभी वे केवल मशीन-चेक किए गए सबूत में मौजूद होते हैं। प्रत्येक अपरिवर्तनीय के बारे में कारण; ऐसा क्यों है? यह अन्य आक्रमणकारियों के साथ कैसे बातचीत करता है? सिस्टम का प्रत्येक चरण इस अपरिवर्तनीय को कैसे रखता है?

पूर्ण प्रकटीकरण : मैंने फास्ट पैक्सोस तब तक नहीं पढ़ा था जब तक मुझे इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए नहीं कहा गया था; और केवल उद्धृत पृष्ठों को देखा। मैं एक इंजीनियर हूं और गणितज्ञ नहीं हूं; लामपोर्ट के काम के साथ मेरा ब्रश शुद्ध रूप से बड़े पैमाने पर वितरित प्रणालियों को सही ढंग से आविष्कार करने और बनाए रखने की आवश्यकता पर आधारित है।

मेरा जवाब लामपोर्ट के काम के साथ मेरे अनुभव पर बहुत निर्भर करता है। मैंने लैमपोर्ट के कई प्रोटोकॉल और प्रमाण पढ़े हैं; मैं पेशेवर रूप से एक पैक्सोस-आधारित प्रणाली को बनाए रखता हूं; मैंने एक उच्च-थ्रूपुट सर्वसम्मति प्रोटोकॉल को लिखा है और साबित किया है, और फिर पेशेवर रूप से इसके आधार पर एक प्रणाली बनाए रखता है (मैं अपनी कंपनी को मुझे एक पेपर प्रकाशित करने की अनुमति देने के लिए कोशिश कर रहा हूं)। मैं है लैंपॉर्ट के साथ एक तुच्छ कागज, जिसमें मैं उसे तीन बार के साथ मुलाकात पर सहयोग (कागज अभी भी समकक्ष समीक्षा लंबित है।)

— माइकल डियरडफ
स्रोत

अपने समय के लिए धन्यवाद, जवाब, और Lamport के साक्ष्यों पर उत्कृष्ट टिप्पणी! पाक्सोस के लिए: अब, मैं लैम्पपोर्ट के सबूत के मूल विचार को पकड़ सकता हूं। हालांकि, मेरे दिमाग में समय का प्रवाह वापस चला जाता है : हम दौर में हैं और । को सिद्ध करने के लिए , हम और के मामलों की जांच करते हैं , और पुन: प्रमाणित करते हैं । अर्थात्, में एक और , और के मामले और । यह पुनरावर्तन पर समाप्त होता है

i

$i$

k = m a x ()

$k=max()$

C P (v, i)

$CP(v,i)$

k < j < i

$k<j<i$

j = k

$j=k$

C P (v, k)

$CP(v,k)$

C P (v, k)

$CP(v,k)$

k^{'} = m a x ()

$k'=max()$

k^{'} < j^{'} < k

$k'<j'< k$

j^{'} = k^{'}

$j'=k'$

C P (v, k^{'})

$CP(v,k')$

k^{n^{'}} = 0

$k^{n'}=0$ । इस तरह, रिकार्शन s पर है। मुझे समय को आगे बढ़ाने के साथ मजबूत इंडक्शन में अनुवाद करने में कठिनाई होती है ।

k

$k$

— hengxin

@ ज़ेंक्सिन जब मेरे सिस्टम / प्रमाण के बारे में तर्क देता है; मैंने समय के आगे बढ़ने के बारे में सोचा। मैं से शुरू करता हूं और सुनिश्चित करता कि सभी आक्रमणकारियों से मुलाकात हो; मैं तब साथ जाता और सुनिश्चित करता कि सभी आक्रमणकारियों से मुलाकात हो; और इसी तरह। यह मुझे कुछ और लमपोर्ट पॉइंटर्स जोड़ने की याद दिलाता है।

i = 0

$i=0$

i = 1

$i=1$

— माइकल डियरडफ

फास्ट पैक्सोस ( ) के लिए, आगमनात्मक परिकल्पना है कि " " ( मामला )? हालाँकि, के निचले भाग में , यह कहता है कि हमें में एक मान खोजना चाहिए जो संतुष्ट करता है । तो, क्या यह प्रेरक परिकल्पना बहुत मजबूत है?

P_{18}

$P_{18}$

\forall v \in V, C P (v, i)

$\forall v \in V, CP(v,i)$

j < k

$j < k$

P_{18}

$P_{18}$

P_{17}

$P_{17}$ $v$ $V$ $CP(v,i)$

— hengxin

अंत में, मुझे एहसास हुआ कि आक्रमणकारी क्या है और मजबूत प्रेरण कैसे काम करता है। एक बार फिर धन्यवाद। BTW, आपने उल्लेख किया है

Lamport tends to use another type of hierarchy. He'll prove a simpler algorithm, and then prove that a more complex algorithm maps onto (or "extends") the simpler algorithm

, इसलिए, क्या आप कृपया एक उदाहरण दिखा सकते हैं या संबंधित पेपर का हवाला दे सकते हैं? इसके अलावा, क्या आपके पत्रों में पहले से मुद्रित (व्यावसायिक रूप से) अवर्गीकृत संस्करण हैं?

— hengxin

लैमपोर्ट अपने पेपर में पहले प्रकार के पदानुक्रम की व्याख्या करते हैं कि कैसे एक प्रमाण लिखना है और शोधन द्वारा पैक्सोस को बायज़ैंटाइजिंग में दूसरे का उदाहरण दिया गया है । दूसरे प्रकार की पदानुक्रम को आम तौर पर एक शोधन , या मानचित्रण कहा जाता है ।

— माइकल डियरडफ