प्रतिवर्ती फाटकों को वर्गीकृत करना

1941 में एमिल पोस्ट द्वारा वर्णित पोस्ट की जाली , मूल रूप से बूलियन फ़ंक्शंस के सेटों का एक पूर्ण समावेश आरेख है जो रचना के तहत बंद हैं: उदाहरण के लिए, मोनोटोन फ़ंक्शंस, जीएफ पर रैखिक कार्य (2), और सभी फ़ंक्शन। (पोस्ट ने यह नहीं माना कि कॉन्स्टेंट 0 और 1 मुफ्त में उपलब्ध थे, जिसने उसके जाली को बहुत अधिक जटिल बना दिया, अन्यथा यह अन्यथा नहीं होगा।)

मेरा सवाल यह है कि क्या कभी भी किसी भी चीज़ को शास्त्रीय प्रतिवर्ती फाटकों के लिए प्रकाशित किया गया है , जैसे कि टोफोली और फ्रेडकिन द्वार। यानी, {0,1} ⁿ पर प्रतिवर्ती परिवर्तनों के किस वर्ग को प्रतिवर्ती फाटकों के कुछ संग्रह द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है? यहां नियम दिए गए हैं: आपको एक असीमित संख्या में एनीला बिट्स की अनुमति है, कुछ प्रीसेट को 0 और अन्य को प्रीसेट 1, जब तक कि आपके सभी रूपांतरण सेटिंग्स पर {0,1} ⁿ का परिवर्तन नहीं हो जाता है। ख़त्म होना। इसके अलावा, 2 बिट्स (यानी, उनके सूचकांकों की रिबलिंग) का एक स्वैप हमेशा मुफ्त में उपलब्ध होता है। इन नियमों के तहत, मेरे छात्र ल्यूक शेफ़र और मैं परिवर्तनों के निम्नलिखित दस सेटों की पहचान करने में सक्षम थे:

खाली सेट
सेट नहीं गेट द्वारा उत्पन्न
NOTNOT द्वारा उत्पन्न सेट (यानी, बिट्स के किसी भी 2 पर लागू नहीं किए गए द्वार)
CNOT द्वारा उत्पन्न सेट (यानी, नियंत्रित नहीं गेट)
CNOTNOT द्वारा उत्पन्न सेट (यानी, 1 बिट 1 है, तो 2 और 3 बिट फ्लिप करें)
CNOTNOT और NOT द्वारा उत्पन्न सेट
फ्रेडकिन (यानी, नियंत्रित-स्वैप) गेट द्वारा उत्पन्न सेट
फ्रेडकिन और CNOTNOT द्वारा उत्पन्न सेट
फ्रेडकिन, CNOTNOT, और नहीं द्वारा उत्पन्न सेट
सभी परिवर्तनों का सेट

हम किसी भी शेष परिवारों की पहचान करना चाहते हैं, और फिर साबित करते हैं कि वर्गीकरण पूरा हो गया है --- लेकिन इससे पहले कि हम इस पर ज्यादा समय बिताएं, हम यह जानना चाहेंगे कि क्या किसी ने भी इसे पहले किया है।

circuit-families

— स्कॉट आरोनसन
स्रोत

क्या आप NOTCSWAP और (CSWAP, NOTCSWAP) को गायब कर रहे हैं, जहाँ NOTCSWAP एक नियंत्रित-स्वैप की तरह है, लेकिन इसके x को y स्वैप करता है, जब इसका c तर्क 0 होता है (स्वैप करने के बजाय जब c 1 CSWAP में है)? आपको इन सभी की आवश्यकता है ताकि हम्मेटिंग वेट प्रोटेक्शन वाले सभी हेमिंग प्राप्त कर सकें: CSWAP केवल हेमिंग वेट W2 के वैक्टर की अनुमति देता है जबकि NOTCSWAP वेटिंग वैक्टर -n-2 के केवल वैक्टर की अनुमति देता है।

— डेविड एपस्टीन

इसके अलावा (पिछली टिप्पणी में कमरे से बाहर भागकर) शून्य या नॉनज़रो होने के लिए बड़ी संख्या में नियंत्रण बिट्स की आवश्यकता होती है, जिससे आपको हैमिंग वेट प्रोटेक्टिंग के और भी अधिक सीमित उपसमूह मिल सकते हैं, केवल कम से कम या सबसे अधिक मनमाने ढंग से वजन उठाने वाले वैक्टर की अनुमति देते हैं बाध्य। तो यह परिवर्तन के कई वर्ग देता है।

— डेविड एप्पस्टीन

धन्यवाद, डेविड - लेकिन मैंने माना कि 0 और 1 ancillas मुफ्त में उपलब्ध थे, ठीक इस तरह की "विकृतियों" पर शासन करने के लिए। क्या ऐसा नहीं होता है?

— स्कॉट आरोनसन

बता दें कि , हेमिंग वेट मोडुलो संरक्षित करने वाले सभी क्रमपरिवर्तन का वर्ग है । तब संतुष्ट अपनी आवश्यकताओं, और iff : के noninclusions कहीं और ने भी देखा जाता है -ary समारोह सेंट , , और लिए । विशेष रूप से, ये सभी असीम रूप से कई वर्ग विशिष्ट हैं।

C_{n}

$C_n$

n

$n$

C_{n}

$C_n$

C_{n} \subseteq C_{m}

$C_n\subseteq C_m$

m | n

$m|n$

C_{n}

$C_n$

n

$n$

f_{n}

$f_n$

f_{n} (0^{n}) = 1^{n}

$f_n(0^n)=1^n$

f_{n} (1^{n}) = 0^{n}

$f_n(1^n)=0^n$

f (x) = x

$f(x)=x$

x \neq 0^{n}, 1^{n}

$x\ne0^n,1^n$

— एमिल जेकाबेक

पेपर eccc.hpi-web.de/report/2015/066 देखें जिसमें इन विचारों को पॉलिश किया गया है, और जो नीचे एमिल के जवाब का भी संदर्भ देता है।

— एंड्रस सलामोन

$\def\N{\mathbb N}\DeclareMathOperator\sym{Sym}\def\cC{\mathcal C}\def\cD{\mathcal D}\def\cP{\mathcal P}\def\cI{\mathcal W}\def\cMI{\mathcal{MW}}\DeclareMathOperator\pol{Pol}\DeclareMathOperator\inv{Inv}\DeclareMathOperator\minv{MInv}\let\pres\parallel$ यह एक द्वैत के एक आधे की प्रस्तुति है। प्रतिवर्ती परिवर्तनों के लिए, मानक क्लोन-कोक्लोन द्वंद्व के अनुरूप (जैसे यहां )। यह सवाल का जवाब नहीं देता है, लेकिन यह दर्शाता है कि ऐसे कार्यों के सभी बंद वर्ग एक विशेष रूप के गुणों के संरक्षण द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

मानक मामले के विपरीत, मुख्य जटिलता यह है कि क्रमपरिवर्तन (वे कार्डिनैलिटी को संरक्षित कर सकते हैं) की गणना कर सकते हैं, इसलिए उनके आक्रमणकारियों को इसके लिए जिम्मेदार अंकगणित को शामिल करने की आवश्यकता है।

मुझे कुछ अस्थायी शब्दावली के साथ शुरू करते हैं। एक परिमित आधार सेट ठीक करें । (शास्त्रीय मामले में स्कॉट के बारे में पूछता है, चर्चा के कुछ हिस्सों में भी अनंत लिए काम करते हैं , लेकिन मुख्य लक्षण वर्णन नहीं।) $A$ $A=\{0,1\}$ $A$

क्रमपरिवर्तन का एक सेट (या: प्रतिवर्ती परिवर्तन) एक सबसेट , जहां क्रमपरिवर्तन के समूह को दर्शाता है । एक क्रमचय क्लोन , क्रमपरिवर्तन का एक सेट है जो ऐसा है $\cC\subseteq\cP:=\bigcup_{n\in\N}\sym(A^n)$ $\sym(X)$ $X$ $\cC$

प्रत्येक रचना के तहत बंद है। $\cC\cap\sym(A^n)$

किसी भी , क्रमचय द्वारा परिभाषित में है । $\pi\in\sym(\{1,\dots,n\})$ $\tilde\pi\in\sym(A^n)$ $\tilde\pi(x_1,\dots,x_n)=(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ $\cC$

यदि और , क्रमचय द्वारा परिभाषित में है । $f\in\cC\cap\sym(A^n)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $f\times g\in\sym(A^{n+m})$ $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$ $\mathcal C$

के बाद से परिमित है, 1 का मतलब है कि के एक उपसमूह है । ओपी केवल ट्रांसपोजिशन लिए 2 की मांग करता है , लेकिन यहां संस्करण स्पष्ट रूप से समकक्ष है। शर्त 3 जो मैंने ऊपर टिप्पणियों में डमी चर का परिचय कहा है के बराबर है। $A$ $\cC\cap\sym(A^n)$ $\sym(A^n)$ $\pi$

एक मास्टर क्लोन एनीलस के भत्ते के साथ एक क्रमपरिवर्तन क्लोन है:

चलो , , और ऐसी हो कि सभी लिए । फिर का तात्पर्य । $f\in\sym(A^{n+m})$ $g\in\sym(A^n)$ $a\in A^m$ $f(x,a)=(g(x),a)$ $x\in A^n$ $f\in\cC$ $g\in\cC$

हम कुछ अपरिवर्तनों द्वारा क्रमपरिवर्तन क्लोन और मास्टर क्लोन को चिह्नित करना चाहते हैं। मुझे पहले पर कुछ उदाहरणों द्वारा उत्तरार्द्ध को प्रेरित करने दें : $A=\{0,1\}$

हम्मेटिंग वजन (फ्रेडकिन गेट द्वारा उत्पन्न) के संरक्षण के मास्टर क्लोन। यदि में के समावेश को दर्शाता है , तो ये क्रमपरिवर्तन गुण जहां , और मैं लिखता हूं । $w$ $\{0,1\}$ $\N$
$y = f (x) ⟹ \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}),$ $y=f(x)\implies\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i),$ $f\in\sym(A^n)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$
टिप्पणियों में उल्लिखित हेमिंग वेट मोडुलो संरक्षित करने वाले क्रमपरिवर्तन का मास्टर क्लोन । यह उपरोक्त सूत्र के समान है, यदि हम को से चक्रीय समूह रूप में व्याख्या करते हैं , और वहां योग की गणना करते हैं। $m$ $w$ $\{0,1\}$ $C(m)$
मास्टर क्लोन , , (CNOT से उत्पन्न)। एक आसानी से चेक करता है (या पोस्ट केस से जानता है) कि एक एकल-आउटपुट फ़ंक्शन है यदि यह संबंध सुरक्षित रखता है । इस प्रकार, यदि हम द्वारा को परिभाषित करते हैं, तो एक iff क्लोन में है इसलिए हम मोनॉइड में रकम के साथ काम कर रहे हैं $f(x)=Mx\oplus b$ $M\in\mathrm{GL}(n,\mathbb F_2)$ $b\in\mathbb F_2^n$ $\mathbb F_2^n\to\mathbb F_2$ $x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4=0$ $w\colon\{0,1\}\to\{0,1\}$
$w (x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{4}) = x^{1} \oplus x^{2} \oplus x^{3} \oplus x^{4},$ $w(x^1,x^2,x^3,x^4)=x^1\oplus x^2\oplus x^3\oplus x^4,$ $f\in\sym(A^n)$ $y^{1} = f (x^{1}) \land \dots \land y^{4} = f (x^{4}) ⟹ {max}_{i = 1}^{n} w (x_{i}^{1}, \dots, x_{i}^{4}) = {max}_{i = 1}^{n} w (y_{i}^{1}, \dots, y_{i}^{4}),$ $y^1=f(x^1)\land\dots\land y^4=f(x^4)\implies\max_{i=1}^nw(x^1_i,\dots,x^4_i)=\max_{i=1}^nw(y^1_i,\dots,y^4_i),$ $(\{0,1\},0,\max)$ ।

सामान्य तौर पर, एक वज़न फ़ंक्शन एक मैपिंग , जहाँ , और एक कम्यूटेट मोनॉयड होता है। एक मास्टर वजन समारोह एक सब विकर्ण नक्शे है कि -tuples , , की उलटी तत्वों के लिए । आज्ञा दें सभी वजन कार्यों के वर्ग को निरूपित करते हैं, और मास्टर वजन कार्यों को करते हैं। $w\colon A^k\to M$ $k\in\N$ $M$ $k$ $(a,\dots,a)$ $a\in A$ $M$ $\cI$ $\cMI$

अगर , और एक वेट फंक्शन है, तो हम कहते हैं कि , का एक आवेश है , या (माइंडलेस रूप से शब्दावली उधार ले) कि एक बहुरूपतावाद है , और लिखें , यदि निम्न स्थिति सभी के लिए है : $f\in\sym(A^n)$ $w\colon A^k\to M$ $w$ $f$ $f$ $w$ $f\pres w$ $(x_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k},(y_i^j)_{i=1..n}^{j=1..k}\in A^{n\times k}$

यदि , तो $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$
$\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) .$ $\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).$

यहाँ, , , और इसी तरह । दूसरे शब्दों में, अगर (या इसके समानांतर विस्तार के लिए ) अपने तर्कों के -weights का योग बनाए रखता है। $x^j=(x^j_1,\dots,x^j_n)$ $x_i=(x_i^1,\dots,x_i^k)$ $y$ $f\pres w$ $f$ $(A^k)^n$ $w$

संबंध के बीच और (या ) क्रमपरिवर्तन की सेट के बीच एक गाल्वा कनेक्शन को प्रेरित करता है , और वजन कार्यों की कक्षाएं :, हमेशा की तरह और इस प्रकार क्रमपरिवर्तन के बंद सेटों के पूर्ण अक्षांशों के बीच एक दोहरी समरूपता, और क्रमशः (मास्टर) भार कार्यों के बंद वर्ग। यह देखने के लिए कि हम सही रास्ते पर हैं, हम देखते हैं कि क्रमचय के बंद सेट वास्तव में क्लोन हैं: $\pres$ $\cP$ $\cI$ $\cMI$ $\cC\subseteq\cP$ $\cD\subseteq\cI$

\begin{aligned} Pol (D) & = {f \in P : \forall w \in D (f ∥ w)}, \\ {Inv}^{*} (C) & = {w \in W : \forall f \in C (f ∥ w)}, \\ {MInv}^{*} (C) & = M W \cap {Inv}^{*} (C), \end{aligned}

$\begin{align*} \pol(\cD)&=\{f\in\cP:\forall w\in\cD\,(f\pres w)\},\\ \inv^*(\cC)&=\{w\in\cI:\forall f\in\cC\,(f\pres w)\},\\ \minv^*(\cC)&=\cMI\cap\inv^*(\cC), \end{align*}$

Lemma: यदि , तो एक क्रमपरिवर्तन क्लोन है। यदि , तो एक मास्टर क्लोन है। $\cD\subseteq\cI$ $\pol(\cD)$ $\cD\subseteq\cMI$ $\pol(\cD)$

प्रमाण: पहला जोर कमोबेश स्पष्ट है। दूसरे के लिए, , be as the condition 4, ताकि , और let की परिभाषा में हो। । Put , , और । फिर तात्पर्य हालांकि, में उलटा है क्योंकि एक मास्टर वेट फंक्शन है, इसलिए $w\in\cD$ $f,g,a$ $f\pres w$ $(x_i^j),(y_i^j)$ $g\pres w$ $\bar x^j=(x^j,a)$ $\bar y^j=(y^j,a)=f(\bar x^j)$ $u_i=w(a_i,\dots,a_i)$ $f\pres w$

\sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{x}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n + m} w ({\bar{y}}_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) + \sum_{i = 1}^{m} u_{i} .

$\sum_{i=1}^nw(x_i)+\sum_{i=1}^mu_i=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar x_i)=\sum_{i=1}^{n+m}w(\bar y_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i)+\sum_{i=1}^mu_i.$

u_{i}

$u_i$

M

$M$

w

$w$

\begin{matrix} QED & \sum_{i = 1}^{n} w (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (y_{i}) . \end{matrix}

$\sum_{i=1}^nw(x_i)=\sum_{i=1}^nw(y_i).\tag*{QED}$

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, हमें एक समस्या को ठीक करने की आवश्यकता है: मोनोइड्स विशाल हो सकते हैं , इसलिए इस रूप के आक्रमणकारियों को बेकार सार बकवास होने का संदेह हो सकता है।

सबसे पहले, एक भार फ़ंक्शन , हम मान सकते हैं कि द्वारा उत्पन्न किया गया है (और मास्टर मामले में विकर्ण तत्वों की छवियों के योजक व्युत्क्रम द्वारा), अन्य तत्वों के रूप में चित्र में प्रवेश नहीं करता है। विशेष रूप से, है परिमित उत्पन्न । दूसरा, सार्वभौमिक बीजगणित के सामान्य परिणामों से, हम को एक सब- उत्पाद जहाँ प्रत्येक उप - है, और वें उत्पाद प्रक्षेपण के माध्यम से भागफल है। $w\colon A^k\to M$ $M$ $w(A^k)$ $M$ $M$ $M$

M \subseteq \prod_{i \in I} M_{i},

$M\subseteq\prod_{i\in I}M_i,$

M_{i}

$M_i$

M_{i}

$M_i$

M

$M$

i

$i$

π_{i}

$\pi_i$ ; विशेष रूप से, यह अभी भी एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न कम्यूटेटिव मोनॉयड है। Mal'cev के परिणामस्वरूप, fg उपनिर्देशित रूप से इरेड्यूएबल कम्यूटेटिव मोनॉयड (या सेमीग्रुप) वास्तव में परिमित हैं । मैपिंग फिर से एक वेट फंक्शन है, मास्टर यदि था, और यह देखना आसान है कि इस प्रकार, हम सामान्यता के नुकसान के बिना वजन कार्यों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं , जहां परिमित है और सबअनुप्रयोगी रूप से irreducible है। Let इस तरह के वजन कार्यों का वर्ग हो, और

w_{i} = π_{i} \circ w : A^{k} \to M_{i}

$w_i=\pi_i\circ w\colon A^k\to M_i$

w

$w$

Pol (w) = ⋂_{i \in I} Pol (w_{i}) .

$\pol(w)=\bigcap_{i\in I}\pol(w_i).$

w : A^{k} \to M

$w\colon A^k\to M$

M

$M$

F W

$\mathcal{FW}$

\begin{aligned} Inv (C) & = F W \cap {Inv}^{*} (C), \\ MInv (C) & = F W \cap {MInv}^{*} (C) . \end{aligned}

$\begin{align*} \inv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\inv^*(\cC),\\ \minv(\cC)&=\mathcal{FW}\cap\minv^*(\cC). \end{align*}$ परिमित सबअर्गेयली कम्यूटेटिव मोनॉयड के उदाहरण चक्रीय समूह , और इसके अलावा छोटे monoids । सामान्य मामला अधिक जटिल है, फिर भी कोई भी उनकी संरचना के बारे में बहुत कुछ कह सकता है: एक एक असंतुष्ट संघ के रूप में प्रत्येक को एक निश्चित तरीके से लिख सकता है , और कुछ गुणों के साथ एक परिमित निलेसमग्रुप भी। देखें Grillet जानकारी के लिए।

C (p^{d})

$C(p^d)$

({0, \dots, d}, 0, min {d, x + y})

$(\{0,\dots,d\},0,\min\{d,x+y\})$

C (p^{d})

$C(p^d)$

अब हम इस पोस्ट के मुख्य बिंदु के लिए तैयार हैं:

प्रमेय: गैलाइस कनेक्शन में अनुमेय अप्रतिष्ठित इरेड्यूसीबल (मास्टर) वजन कार्यों के लिए परिशोधन के बंद सेट वास्तव में क्रमपरिवर्तन क्लोन (मास्टर क्लोन, रिस्पांस) हैं।

है कि, अगर , तो परिवर्तन द्वारा उत्पन्न क्लोन है , और गुरु द्वारा उत्पन्न क्लोन है । $\cC\subseteq\cP$ $\cC$ $\pol(\inv(\cC))$ $\cC$ $\pol(\minv(\cC))$

प्रमाण: पूर्ववर्ती चर्चा के मद्देनजर, यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि यदि एक क्रमचय क्लोन है, और , तो एक अपरिवर्तनीय के ऐसी है कि , और एक समय लग सकता है एक मास्टर वजन समारोह होने के लिए करता है, तो एक मास्टर क्लोन है। $\cC$ $f\in\sym(A^n)\smallsetminus\cC$ $w\colon A^k\to M$ $\cC$ $f\nparallel w$ $w$ $\cC$

रखो , और को (यानी, वर्णमाला पर परिमित शब्द ) द्वारा उत्पन्न मुक्त मोनॉइड होने दो । हम एक संबंध को परिभाषित पर द्वारा (असमान लंबाई के शब्दों का संबंध कभी भी से नहीं होता है )। प्रत्येक से । एक समूह है, (एक तुल्यता संबंध है, वास्तव में, लंबाई की बातें करने के लिए अपने प्रतिबंध का सिर्फ कक्षा तुल्यता संबंध है अभिनय पर स्पष्ट तरीके से $k=|A|^n$ $F$ $A^k$ $A^k$ $\sim$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists g \in C \cap Sym (A^{m}) \forall j = 1, \dots, k g (x_{1}^{j}, \dots, x_{m}^{j}) = (y_{1}^{j}, \dots, y_{m}^{j}) .

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m\iff\hbox{$\exists g\in\cC\cap\sym(A^m)\,\forall j=1,\dots,k\,g(x^j_1,\dots,x^j_m)=(y^j_1,\dots,y^j_m).$}$

\sim

$\sim$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

\sim

$\sim$

m

$m$

C \cap Sym (A^{m})

$\cC\cap\sym(A^m)$

A^{m k}

$A^{mk}$ )। इसके अलावा, एक : यदि और गवाह है कि और , क्रमशः, तो गवाह ।

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{m})

$g\in\cC\cap\sym(A^m)$

g^{'} \in Sym (A^{m^{'}})

$g'\in\sym(A^{m'})$

x_{1} \dots x_{m} \sim y_{1} \dots y_{m}

$x_1\cdots x_m\sim y_1\cdots y_m$

x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x'_1\cdots x'_{m'}\sim y'_1\cdots y'_{m'}$

g \times g^{'} \in C \cap Sym (A^{m + m^{'}})

$g\times g'\in\cC\cap\sym(A^{m+m'})$

x_{1} \dots x_{m} x_{1}^{'} \dots x_{m^{'}}^{'} \sim y_{1} \dots y_{m} y_{1}^{'} \dots y_{m^{'}}^{'}

$x_1\cdots x_mx'_1\cdots x'_{m'}\sim y_1\cdots y_my'_1\cdots y'_{m'}$

इस प्रकार, हम भागफल को । स्वैप क्रमपरिवर्तन गवाह है कि प्रत्येक लिए ; वह यह है कि का जनरेटर इसलिए लघुकरण, विनिमेय है। भागफल मानचित्र के साथ बनाये गए में के प्राकृतिक समावेश के रूप में एक भार फ़ंक्शन $M=F/{\sim}$ $xy\sim yx$ $x,y\in A^k$ $M$ $M$ $w\colon A^k\to M$ $A^k$ $F$

यह देखना आसान है कि : वास्तव में, अगर , और , तो की परिभाषा के द्वारा (की परिभाषा में के रूप में अंकन का उपयोग )। दूसरी ओर, मान लें । चलो का एक गणन हो , , और के लिए फिर से की परिभाषा के अनुसार । फिर $\cC\subseteq\pol(w)$ $g\in\cC\cap\sym(A^m)$ $y^1=f(x^1),\dots,y^k=f(x^k)$

\sum_{i = 1}^{m} w (x_{i}) = x_{1} \dots x_{m} / \sim = y_{1} \dots y_{m} / \sim = \sum_{i = 1}^{m} w (y_{i})

$\sum_{i=1}^mw(x_i)=x_1\cdots x_m/{\sim}=y_1\cdots y_m/{\sim}=\sum_{i=1}^mw(y_i)$

\sim

$\sim$

∥

$\pres$

f ∥ w

$f\pres w$

{a^{j} : j = 1, \dots, k}

$\{a^j:j=1,\dots,k\}$

A^{n}

$A^n$

b^{j} = f (a^{j})

$b^j=f(a^j)$

a_{i}, b_{i} \in A^{k}

$a_i,b_i\in A^k$

i = 1, \dots, n

$i=1,\dots,n$

∥

$\pres$

a_{1} \dots a_{n} / \sim = \sum_{i = 1}^{n} w (a_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} w (b_{i}) = b_{1} \dots b_{n} / \sim,

$a_1\cdots a_n/{\sim}=\sum_{i=1}^nw(a_i)=\sum_{i=1}^nw(b_i)=b_1\cdots b_n/{\sim},$ इसलिए परिभाषा द्वारा of , प्रत्येक लिए जैसे कि । हालांकि, एग्जॉस्ट , इसका मतलब है , यानी, , , एक विरोधाभास। यह क्रमचय क्लोन के लिए सबूत को पूरा करता है।

\sim

$\sim$

g \in C \cap Sym (A^{n})

$g\in\cC\cap\sym(A^n)$

g (a^{j}) = b^{j} = f (a^{j})

$g(a^j)=b^j=f(a^j)$

j

$j$

a^{j}

$a^j$

A^{n}

$A^n$

g = f

$g=f$

f \in C

$f\in\cC$

यहां तक कि अगर एक मास्टर क्लोन है, की जरूरत एक मास्टर वजन समारोह नहीं हो, वास्तव में, विकर्ण तत्वों नहीं भी जरूरी में cancellative हैं , इसलिए हम इसे ठीक करने की जरूरत है। प्रत्येक के लिए , चलो , और एक नया तुल्यता संबंध को परिभाषित पर द्वारा इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि तत्व modulo का उपयोग करते हैं, यह दिखाना आसान है कि फिर से एक बधाई है, इसलिए हम monoid बना सकते हैं $\cC$ $w$ $M$ $c\in A$ $c^*=(c,\dots,c)\in A^k$ $\approx$ $F$

x_{1} \dots x_{m} \approx y_{1} \dots y_{m} ⟺ \exists c_{1}, \dots, c_{r} \in A x_{1} \dots x_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} \sim y_{1} \dots y_{m} c_{1}^{*} \dots c_{r}^{*} .

$x_1\cdots x_m\approx y_1\cdots y_m\iff\exists c_1,\dots,c_r\in A\,x_1\cdots x_mc_1^*\cdots c_r^*\sim y_1\cdots y_mc_1^*\cdots c_r^*.$

A^{k}

$A^k$

\sim

$\sim$

\approx

$\approx$

M^{'} = F / \approx

$M'=F/{\approx}$ , और एक वजन कार्य । चूँकि विस्तार , होता है, और भागफल होता है ; विशेष रूप से, । दूसरी ओर, यदि , तो की परिभाषा के साथ एक ही तर्क ऊपर , और एक जैसे कि सभी के लिए , इस प्रकार रूप में एक मास्टर क्लोन, एक विरोधाभास है।

w^{'} : A^{k} \to M^{'}

$w'\colon A^k\to M'$

\approx

$\approx$

\sim

$\sim$

M^{'}

$M'$

M

$M$

C \subseteq Pol (w^{'})

$\cC\subseteq\pol(w')$

f ∥ w^{'}

$f\pres w'$

\approx

$\approx$

g \in C \cap Sym (A^{n + r})

$g\in\cC\cap\sym(A^{n+r})$

c_{1}, \dots, c_{r} \in A

$c_1,\dots,c_r\in A$

g (x, c_{1}, \dots, c_{r}) = (f (x), c_{1}, \dots, c_{r})

$g(x,c_1,\dots,c_r)=(f(x),c_1,\dots,c_r)$

x \in A^{n}

$x\in A^n$

f \in C

$f\in\cC$

C

$\cC$

की परिभाषा सुनिश्चित है कि सभी के लिए , और । यह निम्नानुसार है कि तत्व में रद्द हैं । यह एक आसान प्रसिद्ध तथ्य है कि कोई भी कम्यूटेटिव मोनोड दूसरे में एम्बेड किया जा सकता है जहां सभी रद्द करने वाले तत्व उलटे हो जाते हैं। साथ इस तरह के एक एम्बेडिंग की संरचना तब एक मास्टर वेट फंक्शन , और , इसलिए । QED $\approx$

x c^{*} \approx y c^{*} ⟹ x \approx y

$xc^*\approx yc^*\implies x\approx y$

x, y \in F

$x,y\in F$

c \in A

$c\in A$

c^{*} / \approx = w^{'} (c^{*})

$c^*/{\approx}=w'(c^*)$

M^{'}

$M'$

w^{'}

$w'$

w^{″}

$w''$

Pol (w^{'}) = Pol (w^{″})

$\pol(w')=\pol(w'')$

w^{″} \in {MInv}^{*} (C) ∖ {MInv}^{*} (f)

$w''\in\minv^*(\cC)\setminus\minv^*(f)$

संपादित करें: ऊपर क्लोन-कोक्लोन के सामान्यीकरण को अब ऊपर लिखा गया है

[१] ई। जेआबेक, कई-आउटपुट ऑपरेशंस , प्रीप्रिंट, २०१६ के लिए गैलोज कनेक्शन , १०१२.०४.३३५३ [math.LO] ।

— एमिल जेकाबेक मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत

इस प्रयास के लिए बहुत बहुत धन्यवाद यह लिखने के लिए लिया जाना चाहिए! मुझे इसे पचाने में समय लगेगा, क्योंकि क्लोन और सार्वभौमिक बीजगणित की भाषा मेरे लिए काफी सार है (वास्तव में, जब मैं अतीत में इस साहित्य को पढ़ने की कोशिश कर रहा था, तो यह एक ठोकर थी)। लेकिन जैसे-जैसे हम क्लोनों पर काम करते हैं, यह जानना उपयोगी होता है कि वे सभी इनवेरिएंट्स की विशेषता वाले होंगे, जैसा कि वास्तव में हम जानते थे कि सभी उदाहरण हैं। (संयोग से, देखने के लिए, कहते हैं, फ्रेडकिन + के रूप में एक अपरिवर्तनीय की विशेषता नहीं है, मुझे लगता है कि हम आदानों के जोड़े को देखते हैं, और कहते हैं कि हर परिवर्तन उनकी समानता का योग बनाए रखता है?)

— स्कॉट आरोनसन

इस बीच, मेरे पास ठोस प्रश्न पर रिपोर्ट करने के लिए प्रगति है। मैं फ्रेडकिन गेट के ऊपर जाली में सभी बिंदुओं को वर्गीकृत करने में सक्षम था: एकमात्र संभावनाएं रूपांतरण हैं जो किसी भी कश्मीर के लिए हैमिंग वेट mod k को संरक्षित करते हैं, वे रूपांतरण जो या तो हेमिंग वेट mod 2 को संरक्षित या फ्लिप करते हैं (फ्रेडकिन + से उत्पन्न) नहीं), और सभी परिवर्तन। मैं CNOTNOT के ऊपर जाली में सभी बिंदुओं को भी चिह्नित कर सकता हूं: वे केवल वे हैं जिन्हें मैंने ओपी (CNOTNOT + NOT, CNOT, Fredkin + NOTNOT, Fredkin + NOT, सब कुछ) में सूचीबद्ध किया है।

— स्कॉट एरनसन

हां, फ्रेडकिन + के लिए, हम , । अपडेट के लिए धन्यवाद, यह बहुत अच्छा लगता है।

M = C (2)

$M=C(2)$

w (x, y) = x \oplus y

$w(x,y)=x\oplus y$

— एमिल जेकाबेक

आशा यह जरूर है कि आक्रमणकारी प्रूफ के मुकाबले बहुत कम होते हैं। (पोस्ट के मामले में, मेरा मानना है कि सबसे खराब जो हो सकता है वह है ) गैलोज़ कनेक्शन ठोस वर्गीकरण के साथ सीधे मदद नहीं करता है, यह एक पद्धतिगत उपकरण है। सबसे पहले, पहले से अज्ञात वर्गों को ढूंढना आसान हो सकता है यदि कोई जानता है कि किस तरह के गुणों को देखना है। दूसरा, पोस्ट के वर्गीकरण के प्रमाण में एक विशिष्ट कदम निम्नानुसार दिखता है। हमें जाली के बीच में एक वर्ग मिला , और हम इसके ऊपर की कक्षाओं का वर्णन करना चाहते हैं। ...

k \leq n + 1

$k\le n+1$

C

$C$

— एमिल जेकाबेक मोनिका से

... अपने अपरिवर्तनीय संबंधों द्वारा निर्धारित किया है । तब से किसी उचित विस्तार एक शामिल होना चाहिए कि कुछ की रक्षा नहीं करता है , और आमतौर पर एक तो हेरफेर कर सकते हैं रचना आदि द्वारा एक विशेष समारोह में चर की एक छोटी संख्या में। इस तरह, एक को एक सूची जैसे कि से ऊपर हर वर्ग में कुछ लिए द्वारा उत्पन्न वर्ग होता है , और एक उस जाली के हिस्से के लिए आगे बढ़ सकता है। । इसके लिए सामान्य पत्राचार की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विशेष वर्गों के आक्रमणकारियों को जानने के बाद एक सामना होता है।

C

$C$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\dots,R_k$

C

$C$

f

$f$

R_{i}

$R_i$

f

$f$

f_{1}, \dots, f_{c}

$f_1,\dots,f_c$

C

$C$

C \cup {f_{i}}

$C\cup\{f_i\}$

i

$i$

— एमिल जेकाबेक