सेक्रेटरी हायरिंग गेम

Question

यह शास्त्रीय सचिव समस्या का विस्तार है ।

हायरिंग गेम में आपके पास उम्मीदवारों का एक सेट होता है $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$, और प्रत्येक श्रमिक कितना कुशल है, इस पर आदेश।

Wlog, हम मानते हैं कि सबसे कुशल है, इसके बाद , आदि।$c_1$$c_2$

जिस क्रम में उम्मीदवारों का साक्षात्कार समान रूप से यादृच्छिक रूप से उठाया जाता है और यह नियोक्ताओं के लिए अज्ञात है (जाहिर है)।

अब मान लीजिए कि आपके पास 2 संभावित नियोक्ताओं के साथ एक बाजार है। हर दौर में, दोनों कंपनियों के लिए एक नया उम्मीदवार साक्षात्कार होता है (उन्हें कहते हैं )। साक्षात्कार के दौरान, और दोनों वर्तमान साक्षात्कारकर्ता सहित पिछले सभी उम्मीदवारों के आंशिक आदेश का पालन करते हैं। फ़र्म तब (स्वतंत्र रूप से) तय करते हैं कि आज के आवेदक को काम पर रखना है या नहीं।$A,B$$A$$B$

दुर्भाग्य से , यह के प्रस्ताव के साथ वित्तीय रूप से प्रतिस्पर्धा नहीं कर सकता है , इसलिए यदि दोनों एक कार्यकर्ता के लिए एक प्रस्ताव का विस्तार करते हैं, तो को वरीयता मिलती है।$B$$A$$A$

इसके अलावा, एक बार सचिव के संकेत के बाद, कंपनी किसी भी आगे के उम्मीदवारों का साक्षात्कार नहीं ले सकती है और प्रतियोगी को हस्ताक्षर करने की जानकारी हो जाती है ।

प्रत्येक कंपनी का लक्ष्य बेहतर कुशल उम्मीदवार को नियुक्त करना है (क्लासिक समस्या के विपरीत, जहां एक एकल कंपनी सबसे अच्छा सचिव ढूंढना चाहती है), क्योंकि यह ज्ञात है कि बेहतर सचिव वाली कंपनी को संभालने में सक्षम होना चाहिए बाजार।

बड़ी फर्म ( रूप में इष्टतम रणनीति क्या है$A$ ) के ?

छोटी कंपनी के बारे में क्या ($B$)?

यदि दोनों कंपनियां अपनी संतुलन की रणनीतियों को निभाती हैं, तो संभावना क्या है $B$ बेहतर कार्यकर्ता हो जाता है

---

एक में संबंधित काम , कलाई एट अल। इस समस्या के सममित संस्करण पर चर्चा करता है, जहां दोनों कंपनियों को उम्मीदवारों को आकर्षित करने की समान शक्ति है।

इस सेटिंग में, सरल (सममित) संतुलन यह है कि आप एक सचिव को नियुक्त करते हैं यदि वह शेष उम्मीदवारों की तुलना में बेहतर होने की संभावना कम से कम 50% है।

यह परिणाम हमारी सेटिंग में कैसे बदलता है?

Answer 1

साथ के लिए $A$/ फर्म / विशाल निगम / "बड़ी फार्मा" / "द मैन", रणनीति सममित संस्करण से नहीं बदलती है:

एक दौर पर विचार करें, जहां उसके बाद केवल कम उम्मीदवारों को देखने की संभावना है $> .5$। अगर कंपनी$A$ उम्मीदवार रखता है, तो उसके पास जीतने का मौका है $> .5$। अगर$A$ उम्मीदवार नहीं रखता, फिर कंपनी $B$ उम्मीदवार और कंपनी को काम पर रख सकते हैं $A$ जीतने का मौका है $< .5$। तो, जाहिर है, कंपनी$A$ किराया और (और कंपनी) $B$ इस स्थिति में किराया) का प्रयास करेगा।

बिल्कुल जीतने वाले उम्मीदवार के लिए $.5$, $A$ हो सकता है या नहीं किराया करने के लिए चुन सकते हैं, लेकिन $B$ किराए पर लेना पसंद करेंगे क्योंकि $B$ इससे अच्छा अंतर कभी नहीं हो सकता $.5$।

अगर कंपनी $A$ इससे पहले कि यह जीतने का मौका के साथ एक उम्मीदवार को देखा किराए पर लिया $>= .5$, तो एक बेहतर भविष्य के उम्मीदवार की संभावनाएं मौजूदा (और इसलिए) $B$ जीतना) होगा $> .5$। इसलिए$A$ जब तक यह जीतने वाले उम्मीदवार के उम्मीदवार को नहीं देखता है, तब तक किराया नहीं देगा $>= .5$।

इसलिए, $A$की रणनीति सममित मामले के समान है: पहले उम्मीदवार को जीतते हैं जो जीत की संभावना रखते हैं $> .5$।

$B$की रणनीति तब बनाई जाती है $A$मन में रणनीति। जाहिर है, अगर$A$ पहले (या) हायर करता है $B$, फिर $B$की रणनीति अगले उम्मीदवार को नियुक्त करना है जो इससे बेहतर है $A$यदि कोई है। इसके अलावा, यदि कोई उम्मीदवार विजयी बाधाओं के साथ आता है$> .5$, $B$ भले ही किराया करने की कोशिश करनी चाहिए $A$ भी (और बल के लिए किराया करने की कोशिश करेंगे $B$ देखते रहना)।

एकमात्र प्रश्न बचा है: क्या यह कभी के लिए फायदेमंद है $B$ जीतने की संभावना है जब किराया करने के लिए $<= .5$। इसका जवाब है हाँ।

सहज रूप से कहें, एक ऐसा दौर है जहां उम्मीदवार के साथ जीतने की संभावना है $.5 - \epsilon$। इसके अलावा, जीतने की संभावना के साथ भविष्य के उम्मीदवार के लिए "बाद में होने की संभावना" है (समझाया गया है)$> .5 + \epsilon$। तब फायदा होता$B$ पहले के उम्मीदवार को चुनने के लिए।

चलो $d_r$ राउंड में साक्षात्कार देने वाले उम्मीदवार हो $r$ सबके लिए $1 <= r <= N$।

आधिकारिक तौर पर, $B$की रणनीति है: "किराया $d_r$ यदि ऐसा करने से जीत की तुलना में बेहतर परिणाम मिलते हैं तो "नहीं। निम्नलिखित है कि हम इस तरह के निर्णय की गणना कैसे करते हैं।

चलो $p_{r,i}$ साक्षात्कार और काम पर रखने के बाद जीतने की संभावना हो $d_r$ दिया हुआ $d_r$ है $i$वें सर्वश्रेष्ठ साक्षात्कार वाले उम्मीदवार। फिर:

$p_{r,i} =$ संभावना है कि $d_s < d_r$ के लिये $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

विशेष रूप से, $p_{r,i}$ निरंतर सटीकता के लिए आसानी से कम्प्यूटेशनल है।

चलो $P_{B,r}$ संभावना है कि हो $B$ ऐसी जीतें जो न तो कंपनी के दौर में काम पर रखी गईं $1$ के माध्यम से $r-1$।

फिर $B$ भाड़े पर देगा $d_r$ अगर काम पर रखने के बाद जीतने की संभावना है $d_r$ से बेहतर है $P_{B,r+1}$।

ध्यान दें कि $P_{B,N} = 0$, क्योंकि अगर यह अंतिम दौर है, तो $A$ किराया और करने की गारंटी है $B$ किसी को भी काम पर नहीं रखेंगे और ढीले नहीं होंगे।

फिर, दौर में $N-1$, $B$ गारंटी है कि जब तक काम पर रखने की कोशिश करें और सफल होंगे $A$साथ ही किराए पर देता है। इसलिए:

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

जो पुनरावर्ती कार्य की ओर जाता है:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

यह बहुत स्पष्ट है कि $P_{B,r}$बहुपद समय में निरंतर सटीकता की गणना की जा सकती है। अंतिम प्रश्न है: "क्या संभावना है$B$ जीत? ”जवाब है $P_{B,1}$ और के साथ बदलता रहता है $N$।

के सवाल के रूप में कितनी बार करता है $B$जीत? मैंने बिल्कुल गणना नहीं की है, लेकिन देख रहा हूं$N$ 1 से 100 तक, ऐसा प्रतीत होता है कि के रूप में $N$ बढ़ता है, वह $B$जीतने की दर दृष्टिकोण .4 या तो। यह परिणाम बंद हो सकता है क्योंकि मैंने अभी-अभी जांच करने के लिए एक त्वरित अजगर स्क्रिप्ट किया था और फ्लोटिंग नंबरों के साथ गोलाई त्रुटियों पर ध्यान नहीं दिया था। यह बहुत अच्छी तरह से समाप्त हो सकता है कि वास्तविक कठिन सीमा है ।5।