क्या TQBF की यह भिन्नता अभी भी PSPACE-complete है?

Question

यदि यह निर्धारित किया जाए कि मात्रात्मक बूलियन फॉर्मूला क्या है

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

हमेशा सच का मूल्यांकन एक शास्त्रीय PSPACE- पूर्ण समस्या है। इसे वैकल्पिक चाल के साथ दो खिलाड़ियों के बीच खेल के रूप में देखा जा सकता है। पहला खिलाड़ी विषम संख्या वाले चर का सत्य मान और दूसरा खिलाड़ी सम संख्या वाले चर का सत्य मूल्य तय करता है। पहला खिलाड़ी झूठा बनाने की कोशिश करता है और दूसरा खिलाड़ी उसे सच करने की कोशिश करता है। निर्णय लेने की रणनीति किसके पास है, यह PSPACE-complete है।$\varphi$

मैं दो खिलाड़ियों के साथ एक समान समस्या पर विचार कर रहा हूं, एक बूलियन फॉर्मूला सच करने की कोशिश कर रहा है और दूसरा इसे गलत बनाने की कोशिश कर रहा है। अंतर यह है कि एक चाल पर, एक खिलाड़ी एक चर और इसके लिए एक सत्य मान चुन सकता है (उदाहरण के लिए, बहुत पहले कदम के रूप में, एक खिलाड़ी को सही पर सेट करने का फैसला कर सकता है और फिर अगले कदम में, खिलाड़ी दो का फैसला कर सकता है सेट करने के लिए को गलत)। इसका मतलब यह है कि खिलाड़ी यह तय कर सकते हैं कि उनमें से कौन से चर (जिन्हें अभी तक सत्य मान नहीं सौंपा गया है) वे में गेम खेलने के बजाय एक सत्य मान देना चाहते हैं ।$\varphi$$x_8$$x_3$$x_1 , \ldots , x_n$

समस्या यह है कि खिलाड़ी एक (इसे गलत बनाने की कोशिश कर रहा है) या खिलाड़ी दो (इसे सच करने की कोशिश कर रहा है) की रणनीति तय करने के लिए वेरिएबल्स पर एक बूलियन फॉर्मूला दिया जाता है । यह समस्या अभी भी PSPACE में स्पष्ट रूप से है, क्योंकि गेम ट्री में रैखिक गहराई है।$\varphi$$n$

क्या यह PSPACE पूरा रहता है?

Answer 1

यह एक अनियंत्रित बाधा संतुष्टि खेल है और यह PSPACE- पूर्ण है और यह केवल हाल ही में PSPACE- पूर्ण साबित हुआ है ; एक प्रमाण में पाया जा सकता है:

लॉरी अहलरोथ और पक्का ऑरपोनन, अनऑर्डिनेटेड कांस्ट्रेक्ट संतुष्टि गेम्स । कंप्यूटर साइंस वॉल्यूम में व्याख्यान नोट्स 7464, 2012, पीपी 64-75।

सार:हम बूलियन बाधाओं के सिस्टम पर दो-खिलाड़ियों की बाधा संतुष्टि के खेल पर विचार करते हैं, जिसमें खिलाड़ी उपलब्ध चर में से किसी एक को चुनने और इसे सही या गलत करने के लिए सेट करते हैं, अधिकतम (खिलाड़ी I) के लिए या खिलाड़ी को कम करने के लक्ष्य के साथ। II) संतुष्ट बाधाओं की संख्या। मानक QBF- प्रकार चर असाइनमेंट गेम्स के विपरीत, हम कोई आदेश नहीं देते हैं जिसमें चर खेले जाने हैं। यह गेम सेटअप को अधिक प्राकृतिक बनाता है, लेकिन नियंत्रण के लिए अधिक चुनौतीपूर्ण भी है। हम खिलाड़ी I के लिए बहुपद-समय, निरंतर-कारक सन्निकटन रणनीतियाँ प्रदान करते हैं जब बाधा समता कार्य या थ्रेशोल्ड फ़ंक्शंस के साथ कार्य होते हैं जो बाधाओं की समता की तुलना में छोटा होता है। इसके अलावा, हम यह साबित करते हैं कि अगर मैं सभी बाधाओं को पूरा कर सकता हूं, तो यह निर्धारित करने की समस्या PSP- पूरी होती है, यहां तक ​​कि इस अनियंत्रित सेटिंग में भी

सामग्री से:

...
एक अनियंत्रित बाधा संतुष्टि खेल का हमारा सामान्य उदाहरण बुलियन फॉर्मूले ( GBF ) पर गेम है । इस गेम का एक उदाहरण m नॉन- बुलियन फॉर्मूले एक सेट द्वारा दिया गया है जो n वैरिएबल एक सामान्य सेट पर है। । हम में सूत्रों के अनुसार खंड के रूप में भले ही हम सामान्य रूप से उन्हें विघटन की आवश्यकता नहीं है। ... पर एक गेम इतना आगे बढ़ता है कि प्रत्येक खिलाड़ी को स्थानांतरित करने के लिए पहले के गैर-चयनित चर में से एक का चयन करता है और इसके लिए एक सत्य मूल्य प्रदान करता है। प्लेयर I शुरू होता है, और खेल समाप्त होता है जब सभी चर को एक मान सौंपा गया है। GBF के निर्णय संस्करण में$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$सवाल यह है कि क्या प्लेयर I के पास एक व्यापक जीत की रणनीति है, जिसके द्वारा वह प्लेयर क्लॉज़ को कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई भी व्यक्ति संतुष्ट हो सकता है। सकारात्मक मामले में हम कहते हैं कि उदाहरण GBF- संतोषजनक है। ..

... प्रमेय 4 : एक बूलियन फार्मूले की GBF- संतोषजनकता तय करने की समस्या PSPACE- पूर्ण है।

EDIT : डैनियल ग्रायर को पता चला है कि परिणाम भी 70 के दशक में शेफर द्वारा तय किया गया था, संदर्भ के लिए इस पृष्ठ पर उसका उत्तर देखें (और इसे :-)। शेफ़र ने साबित किया कि प्रत्येक सीएनजी में अधिकांश 11 चर के साथ सकारात्मक CNF फ़ार्मुलों (यानी सामान्य सामान्य रूप में कोई नकारात्मक चर नहीं होता है) में प्रतिबंधित होने पर भी खेल अभी भी PSPACE- पूर्ण है ।

Answer 2

यह भी ध्यान देने योग्य हो सकता है कि यह समस्या 70 के दशक में थॉमस शेफर द्वारा decision निर्णय संबंधी समस्याओं की जटिलता में परिमित दो-व्यक्ति परिपूर्ण-सूचना खेलों पर आधारित थी । वास्तव में, वह थोड़ा मजबूत परिणाम साबित करता है कि भाषा सकारात्मक CNF फ़ार्मुलों तक सीमित होने पर भी PSPACE-complete बनी रहती है।

Comments

दिलचस्प! (अहल्रोथ और ऑरपोटेन इसे नहीं जानते थे; बीटीडब्ल्यू वे एक अन्य शोधपत्र का हवाला देते हैं: कुछ दो-व्यक्ति परिपूर्ण-सूचना खेल (1978) की जटिलता पर जिसमें भूगोल और नोड-कायल्स के प्रसिद्ध PSPACE पूर्णता परिणाम शामिल हैं। क्या कागज की एक मुफ्त प्रति उपलब्ध है? (लिंक एक पेवॉल से परे है)।

— मार्जियो डी बियासी

दुर्भाग्य से, मुझे ऐसा नहीं लगता। मुझे याद है कि एक बार एक प्रति खोजने की कोशिश की गई थी जो थोड़ी सी सफलता के साथ कुछ समय के लिए भुगतान करने के पीछे नहीं थी।

— डैनियल ग्राइपर

बीटीडब्लू गेम्स के PSPACE-पूर्णता पर आपके अच्छे परिणाम के लिए BTW बधाई!

— मार्जियो डी बियासी

जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, 1978 का पेपर (कुछ दो-व्यक्ति की जटिलता पर ...) 1976 एसटीओसी पेपर (निर्णय समस्याओं की जटिलता ...) का जर्नल संस्करण है, जो इसका हवाला देता है।

— आंद्र सलामन

Answer 3

हमने साबित किया कि यह गेम 5-CNF के लिए PSPACE-complete है लेकिन 2-CNF के लिए रैखिक समय एल्गोरिथ्म है। पिछला सबसे अच्छा नतीजा अहलोर्थ और ऑरपोनन का 6-सीएनएफ था।

आप आईएसएएसी 2018 में सम्मेलन पत्र पा सकते हैं ।

अपडेट: नवंबर, 16, 2019

हमने साबित किया कि 3-CNF पर कुछ प्रतिबंधों के तहत खेल 3-CNF के लिए ट्रैक्टेबल है। हमने मौलिक रूप से यह अनुमान भी लगाया कि यह खेल 3-CNF पर कोई प्रतिबंध नहीं है। आप प्रारंभिक संस्करण ईसीसीसी पर पा सकते हैं ।