विस्तारक रेखांकन में लंबे प्रेरित पथों का अस्तित्व

Question

चलो का कहना है कि एक ग्राफ परिवार है लंबे रास्तों प्रेरित अगर वहाँ एक निरंतर ε > 0 ऐसी है कि हर ग्राफ जी में एफ पर एक प्रेरित पथ है | वी ( जी ) | ϵ कोने। मुझे ग्राफ परिवारों के गुणों में दिलचस्पी है जो लंबे प्रेरित पथ के अस्तित्व को सुनिश्चित करते हैं। विशेष रूप से, मैं वर्तमान में सोच रहा हूं कि क्या निरंतर-डिग्री विस्तारकों के पास लंबे समय से प्रेरित मार्ग हैं। यहाँ मुझे पता है$\mathcal{F}$$\epsilon > 0$$G$$\mathcal{F}$$|V(G)|^{\epsilon}$

• निरंतर औसत डिग्री (Erd –s-Rényi मॉडल में) के साथ यादृच्छिक रेखांकन उच्च संभावना के साथ लंबे (यहां तक ​​कि रैखिक आकार) प्रेरित पथ हैं; उदाहरण के लिए देखें सूएन का लेख ।
• अद्वितीय-पड़ोसी विस्तारक ग्राफ (जैसा कि एलोन और कोपलबो द्वारा परिभाषित किया गया है ) में बड़े प्रेरित पेड़ हैं । वास्तव में, इस तरह के रेखांकन में कोई भी अधिकतम प्रेरित वृक्ष बड़ा होता है।

इन दो तथ्यों को देखते हुए मुझे उम्मीद है कि प्रतियोगी-डिग्री विस्तारकों के पास लंबे समय से प्रेरित मार्ग हैं। हालाँकि, मुझे कोई ठोस परिणाम नहीं मिला। किसी भी अंतर्दृष्टि बहुत सराहना की है।

Answer 1

उत्तर सकारात्मक होना चाहिए यदि आपके बाउंड-डिग्री ग्राफ में निरंतर विस्तार और परिधि दोनों की संपत्ति है । तर्क होगा: एक शीर्ष पर शुरू है, तो के लिए n ε चरणों टहलने जिसमें हर कदम उन है कि हमें वापस जहाँ हम पहले कदम थे करने के लिए नहीं लेते हैं, के बीच यादृच्छिक पर चुना जाता है ले लो। (इसलिए यदि ग्राफ़ d- डिरेक्ट है तो हमारे पास प्रत्येक चरण पर d - 1 यादृच्छिक विकल्प हैं।)$\Omega( \log n)$$n^\epsilon$$d$$d-1$

$i$$j$$i$$j$$i$$j$$n^{-\Omega(1)}$$\epsilon$$1-o(1)$

$|i-j|$$i$$j$$j> i+ \Omega(\log n)$$(i,j)$$n^{-\Omega(1)}$$v$$n^{\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$n^{-\Omega(1)}$$O(1)$$v$$n^{-\Omega(1)}$

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$\Omega(\log n)$