यादृच्छिक स्वैप द्वारा वांछित क्रमचय उत्पन्न करने की संभावना

मुझे निम्नलिखित समस्या में दिलचस्पी है। हम एक "लक्ष्य क्रमपरिवर्तन" इनपुट के रूप में दिया जाता है , साथ ही सूचकांक के एक आदेश दिया सूची । फिर, सूची से आरंभ (यानी, पहचान क्रमपरिवर्तन), हर बार कदम पर हम स्वैप में तत्व $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ साथ तत्व, स्वतंत्र संभावना के साथ । चलो संभावना है कि हो सकता है आउटपुट के रूप में निर्मित है। $(i_t+1)^{st}$ $1/2$ $p$ $\sigma$

मैं निम्नलिखित में से कोई भी जानना चाहता हूं:

तय है एक -Complete समस्या? $p>0$ $NP$
क्या गणना बिल्कुल पूर्ण है? $p$ $\#P$
बहुसांस्कृतिक स्थिरांक के भीतर को सन्निकटन करने के बारे में हम क्या कह सकते हैं ? क्या इसके लिए कोई पीटीएएस है? $p$

वैरिएंट जहां स्वैप की आवश्यकता आसन्न तत्वों की नहीं है, वह भी ब्याज की है।

ध्यान दें कि इस समस्या को कम करने के लिए किनारे-तिरछे रास्तों को कम करना मुश्किल नहीं है (या पूर्णांक मूल्यवान बहुविकल्पी प्रवाह के लिए); मुझे नहीं पता कि दूसरी दिशा में कमी है।

$\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ $NP$

$p>0$ $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

$\#P$ $P=NP$

— स्कॉट आरोनसन
स्रोत

निश्चित नहीं कि मैं प्रश्न को समझूं। संभावना कहां से आ रही है? यह है कि आप संभावना 1/2 के साथ स्वैप करते हैं और संभावना 1 के साथ नहीं है?

— अर्नब

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

मुझे लगता है कि बहुपद समय में p> 0 का निर्णय लिया जा सकता है या नहीं।

प्रश्न में समस्या को आसानी से किनारे-असंतुष्ट पथ समस्या के रूप में डाला जा सकता है, जहां अंतर्निहित ग्राफ़ एक प्लानर ग्राफ है जिसमें m +1 परतें शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक में n शीर्ष रेखाएं हैं, साथ ही संभव आसन्न स्वैप का प्रतिनिधित्व करने के लिए m डिग्री -4 कोने हैं। ध्यान दें कि इस ग्राफ की योजना इस तथ्य से है कि हम केवल आसन्न स्वैप की अनुमति देते हैं।

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो ओकामुरा और सीमोर [OS81] द्वारा हल किए गए एज-डिस्जाइट पथ समस्या के विशेष मामले में यह गिरता है। इसके अलावा, वैगनर और वीहे [WW95] इस मामले के लिए एक रेखीय-समय एल्गोरिथ्म देते हैं।

Goemans के लेक्चर नोट्स [Goe12] को भी देखें, जो Okamura-Seymour प्रमेय और वैगनर-वेह एल्गोरिथ्म का एक अच्छा प्रदर्शन देता है।

संदर्भ

[गो १२] मिशेल एक्स। गोयमंस। लेक्चर नोट्स, 18.438 एडवांस्ड कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन, लेक्चर 23 । मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, स्प्रिंग 2012. http://math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23 .pdf

[OS81] हरुको ओकामुरा और पॉल डी। सेमोर। प्लानर रेखांकन में बहुआयामी बहुरूपता। जर्नल ऑफ़ कॉम्बिनेटरियल थ्योरी, सीरीज़ बी , 31 (1): 75-81, अगस्त 1981। http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] डोरोथिया वैगनर और कार्स्टन वेहे। एक रेखीय-समय एल्गोरिथ्म में किनारे-नापसंद पथों के लिए प्लानर रेखांकन। कॉम्बिनेटरिका , 15 (1): 135–150, मार्च 1995. http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— त्सुयोशी इतो
स्रोत