स्थानीय स्वैप का उपयोग करके एक ग्राफ पर टोकन को फेरबदल करना

चलो एक गैर-नियमित जुड़ा हुआ ग्राफ है जिसकी डिग्री बाउंड है। मान लीजिए कि प्रत्येक नोड में एक अद्वितीय टोकन होता है। $G= (V, E)$

मैं केवल स्थानीय स्वैप (यानी दो आसन्न नोड्स के बीच टोकन का आदान-प्रदान) का उपयोग करके ग्राफ के बीच टोकन को समान रूप से बदलना चाहता हूं? क्या इस समस्या के लिए एक कम बाध्यता है?

एकमात्र विचार मेरे पास यादृच्छिक चलने के परिणाम का उपयोग करना था, फिर यह देखने के लिए कि मुझे ग्राफ़ पर टोकन ले जाने वाले यादृच्छिक चलता के प्रभाव को "अनुकरण" करने के लिए कितने स्वैप की आवश्यकता है।

ds.algorithms random-walks dc.distributed-comp

— सिल्वेन पाइरोननेट
स्रोत

आप किस तरह की निचली सीमा की तलाश कर रहे हैं? स्वैप की कुल संख्या? समानांतर राउंड की संख्या (यानी, 1 चरण में आप में मिलान के सभी किनारों के साथ स्वैप कर सकते हैं )? एक समारोह के रूप में कम बाध्य

? क्या सभी नोड्स

की टोपोलॉजी को जानते हैं (और तदनुसार उनके व्यवहार को अनुकूलित कर सकते हैं), या क्या आप एक निश्चित रणनीति की तलाश कर रहे हैं जिसे आप किसी भी ग्राफ में लागू कर सकते हैं?

G

$G$

| V |

$|V|$

d i a m (G)

$diam(G)$

G

$G$

— जुल्का सुमेला

मुझे और अधिक विशिष्ट होना चाहिए था, क्षमा करें। लक्ष्य सेंसर नेटवर्क के लिए एक डेटा प्रसार विधि डिजाइन करना है जो यादृच्छिक चलता आधारित तरीकों की समस्याओं से बचने (एक ही नोड पर कई टोकन टकरा जाने के कारण जानकारी का अनिवार्य रूप से नुकसान) है। इसलिए मुझे स्वैप की कुल संख्या में दिलचस्पी है (यह नेटवर्क में घूमने वाले संदेशों की संख्या देगा) और राउंड की संख्या (अभिसरण समय का मोटा अनुमान लगाने के लिए)।

एक फंक्शन के रूप में एक LB

V

$V$ ठीक है और नोड्स टोपोलॉजी से अवगत नहीं हैं (दुर्भाग्य से)।

— सिल्वेन Peyronnet

जवाबों:

मान लीजिए आपका ग्राफ एक रास्ता था। मुझे लगता है कि यह समस्या आसन्न प्रविष्टियों की अदला-बदली करके एक सरणी में संख्याओं के यादृच्छिक अनुक्रम को क्रमबद्ध करने के बराबर हो जाती है। यहां तक कि सभी नोड्स टोपोलॉजी के बारे में जानते हैं, आपको स्वैप की संख्या पर ^ 2 कम बाउंड मिलता है (बुलबुला सॉर्ट से बेहतर नहीं हो सकता है जो कि यादृच्छिक इनपुट पर भी n ^ 2 है)।

— लेव रेइज़िन
स्रोत

एक पथ के मामले में, में संभावना 1/2 मिक्स के साथ स्वैपिंग की प्रक्रिया , यह बेंजामिनी, बर्जर और हॉफमैन द्वारा साबित किया गया है (यह डायकोनिस और राम द्वारा अनुमान लगाया गया था)। इसलिए मेरा एलबी भी एक डिग्री है जिसका मैं अनुमान लगाता हूं ...

O (n^{2})

$O(n^2)$

— सिल्वेन पायरोननेट

यह एलबी कहता है कि आप एल्गोरिथ्म में सुधार नहीं कर सकते, भले ही आप अपना स्वैप चुन सकें .... लेकिन सही है, मुझे लगता है कि समस्या आसान हो सकती है (औसत?) की डिग्री।

— लेव Reyzin

मैं कुछ सिमुलेशन शेड्यूल करूंगा कि जब डिग्री बढ़ रही है तो यह कैसे हो।

— सिल्वेन पाइरोननेट

वास्तव में ऐसा लगता है कि यह एलबी (कुछ संशोधन के साथ) तब भी आयोजित करेगा, जब पथ के दो छोरों में बड़े गुच्छे हों - जैसे कि n / 4 पर 2 खंडों में n / 2 नोड्स के एक पथ द्वारा जुड़ा हुआ है। अब औसत डिग्री O (n) है, फिर भी आप n ^ 2 को हरा नहीं सकते। शायद हमें न्यूनतम डिग्री लगाने की आवश्यकता है?

— लेव Reyzin

हां, हमें एक न्यूनतम डिग्री की आवश्यकता है :(

— सिल्वेन पाइरोननेट

मैं इस समस्या और छँटाई नेटवर्क के बीच संबंध को इंगित करना चाहता हूं। उदाहरण के लिए, यदि आपका ग्राफ़ एक पथ है, तो तुच्छ रैखिक-गहराई सॉर्टिंग नेटवर्क यह भी दर्शाता है कि आप राउंड की रैखिक संख्या में किसी भी क्रमचय को प्राप्त कर सकते हैं। इसके अलावा, यह तंग है, क्योंकि पथ के अंत बिंदु पर बस तत्वों को बदलते समय राउंड की एक रैखिक संख्या की आवश्यकता होती है।

एकेएस छँटाई नेटवर्क दिखाते हैं कि ऐसे ग्राफ़ हैं जिनमें आप राउंड के लघुगणक संख्या में किसी भी क्रमचय को प्राप्त कर सकते हैं। ग्रिड ग्राफ़ के मामले के लिए, उदाहरण के लिए ये व्याख्यान नोट देखें ।

(बेशक छँटाई और फेरबदल अलग-अलग समस्याएं हैं, लेकिन कई ऊपरी और निचले सीमाएं संबंधित हैं। जैसे, यादृच्छिक लेबल चुनें और लेबल के आधार पर छाँटें।)

— जुक्का सूमेला
स्रोत

सूचक के लिए धन्यवाद। मैं इस दिशा में खुदाई करूंगा, शायद यह वह नहीं है जो मुझे यहां चाहिए (मुझे यकीन नहीं है कि मेरे पास अच्छे प्रकार का ग्राफ है), लेकिन यह निश्चित रूप से कुछ ऐसा होगा जिसका उपयोग मैं जल्द या बाद में करूंगा!

— सिल्वेन पाइरोननेट