मैक्सिमल क्लासेस जिसके लिए सबसे बड़ा स्वतंत्र सेट बहुपद समय में पाया जा सकता है?

Question

ISGCI सूचियों रेखांकन के 1100 से अधिक वर्गों। इनमें से कई के लिए हमें पता है कि क्या बहुपत्नी काल में INDEPENDENT SET तय किया जा सकता है; इन्हें कभी - कभी आईएस-आसान कक्षाएं कहा जाता है । मैं अधिकतम आईएस-आसान कक्षाओं की एक सूची संकलित करना चाहूंगा । ये वर्ग मिलकर इस समस्या के लिए (ज्ञात) ट्रैक्टेबिलिटी की सीमा बनाते हैं।

चूँकि कोई भी बिना किसी अस्थिर IS-easy वर्ग के परिमित संख्या को रेखांकन प्रभावित किए बिना ट्रैक्टिबिलिटी को प्रभावित कर सकता है, इसलिए कुछ प्रतिबंध क्रम में हैं। चलिए उन कक्षाओं को प्रतिबंधित करते हैं जो वंशानुगत हैं (प्रेरित उपसमूह के लेने के तहत बंद, या समकक्ष, बहिष्कृत प्रेरित उपसमूहों के एक सेट द्वारा परिभाषित)। इसके अलावा, आइए केवल उन परिवारों पर विचार करें जो एक छोटे विवरण के साथ एक सेट एक्स के लिए एक्स-मुक्त हैं। वहाँ हो सकता है कर रहे हैं भी हो विनयशील वर्गों के अनंत आरोही चेन (जैसे -नि: शुल्क और वर्गों नीचे डेविड एपस्टीन द्वारा वर्णित), लेकिन चलो कक्षाओं की ओर ध्यान प्रतिबंधित कि वास्तव में आईएस-आसान साबित हुए हैं।$(P,\text{star}_{1,2,k})$

यहाँ मैं के बारे में पता कर रहे हैं:

• सही रेखांकन
• $(P,\text{star}_{1,2,5})$ -फ्री
• $(K_{3,3}-e, P_5)$ -नि: शुल्क
• सह Meyniel
• लगभग द्विदलीय
• कुर्सी से मुक्त
• ( , क्रिकेट)$P_5$
• $(P_5,K_{n,n})$ -free एन (किसी भी निश्चित )$n$
• $(P_5, X_{82}, X_{83})$ -नि: शुल्क

क्या ऐसे अन्य अधिकतम वर्ग ज्ञात हैं?

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संपादित करें: यारोस्लाव बुलातोव द्वारा पूछे गए संबंधित प्रश्नों को भी देखें नाबालिगों द्वारा परिभाषित वर्गों के साथ काम करना जो मामूली-बहिष्कृत रेखांकन के लिए आसान है? और वंशानुगत वर्गों के वैश्विक गुणों को देखें ? अधिक सामान्य प्रश्न के लिए मैंने पहले वंशानुगत वर्गों के बारे में पूछा।

जैसा कि जुक्का सुओमेला टिप्पणियों में बताते हैं, मामूली-बहिष्कृत मामला भी दिलचस्प है (और एक दिलचस्प सवाल करेगा), लेकिन यह यहां ध्यान केंद्रित नहीं है।

डेविड के उदाहरण से बचने के लिए, एक अधिकतम वर्ग भी एक्स-मुक्त ग्राफ़ के रूप में निश्चित होना चाहिए, जहां एक्स के प्रत्येक ग्राफ में एक स्वतंत्र शीर्ष नहीं है।

नीचे दिए गए उत्तर में दी गई कक्षाएं:

• सेब मुक्त (स्टांडा nivný द्वारा सुझाया गया)
• ( , घर) ($P_5$ द्वारा सुझाया गया)
• ( पंजा) ($K_2 \cup$ द्वारा सुझाया गया)

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2013-10-09 को जोड़ा गया: हाल ही में मार्टिन वात्शेल द्वारा एक जवाब में बताए गए लोकश्टानोव, वात्सल और विलांगर के परिणाम ने पहले से ज्ञात कुछ अधिकतम वर्गों को छीन लिया।

विशेष रूप से, -free IS-easy subsumes ( , क्रिकेट) , ( , ) -free, ( , , ) -free, और , घर) IS- आसान है।P 5 P 5 K n , n P 5 X 82 X 83 P $P_5$$P_5$$P_5$$K_{n,n}$$P_5$$X_{82}$$X_{83}$$P_5$

इसका मतलब यह है कि सभी एकल वंशानुगत ग्राफ वर्गों को एक एकल निषिद्ध प्रेरित सबग्राफ द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे अब आईएस-आसान या आईएस-आसान के रूप में निश्चित रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है।

दुर्भाग्य से इस बात का प्रमाण है कि -free रेखांकन IS-easy वर्ग बनाता है -free रेखांकन के लिए काम नहीं करता है , इसलिए अगला सीमांत एकल छः- ग्राफ द्वारा परिभाषित सभी वंशानुगत ग्राफ वर्गों को वर्गीकृत करना है।पी $P_5$$P_6$

मैं विशेष रूप से आईएस-आसान वर्गों में रुचि रखता हूं, फ्री के कुछ संग्रह के लिए ग्राफ के कुछ संग्रह के साथ असीम रूप से कई आइसोमॉर्फिज़्म कक्षाएं हैं, फिर भी जहां - किसी भी - लिए आईएस-आसान नहीं है ।एक्स वाई वाई ⊂ $X$$X$$Y$$Y \subset X$

Comments

बंधे ट्रेविद के साथ ग्राफ़ के बारे में क्या? मुझे लगता है कि वे पहले से ही आपके द्वारा उल्लिखित कक्षाओं में से एक में निहित हैं?

— जुल्का सुमेला

@ जुक्का: जहां तक ​​मुझे पता है कि बंधे हुए तिरछे बहिष्कृत प्रेरित उपसमूह के एक छोटे से सेट के साथ कब्जा करना संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, treewidth 2 -minor-free है; यह बहिष्कृत प्रेरित उपसमूह का एक अनंत सेट उत्पन्न करता है। दूसरी ओर, "आंशिक के-वृक्ष" एक "छोटे" विवरण के रूप में अच्छी तरह से योग्य हो सकते हैं। तुम क्या सोचते हो? $K_4$

— आंद्र सलामोन

ás: ओह, ऐसा लगता है कि मैंने आपके प्रश्न को ध्यान से नहीं पढ़ा था, मुझे लगा कि आप ग्राफ़ परिवारों में भी रुचि रखते हैं जो निषिद्ध नाबालिगों के संदर्भ में हैं।

— जुका सुओमेला

क्या -free योग्य नहीं रहा? चूंकि ऐसे रेखांकन में केवल FEW स्वतंत्र सेट (ठीक है, O ( n 2 ) ) हैं। $2K_2$$O(n^2)$

— हसीन-चिह चांग।

@ Hsien-Chih चांग: बालस-यू वर्ग का उल्लेख करने के लिए धन्यवाद, उस एक के बारे में भूल गया था। हां, यह निश्चित रूप से एक प्रासंगिक जवाब देगा।

— अन्द्र दास सलामोन

Answer 1

सवाल पहले से ही थोड़ा पुराना है, लेकिन ISGCI यहां कुछ मदद कर सकता है।

जब आप ISGCI जावा एप्लिकेशन शुरू करते हैं और मेनू में जाते हैं समस्याएं -> सीमा / खुली कक्षाएं -> स्वतंत्र सेट, आपको 3 सूचियों के साथ एक संवाद मिलता है।

मैक्सिमल पी की सूची में सभी वर्ग C (ISGCI में) शामिल हैं, जिस पर IS को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, जैसे कि C का एक न्यूनतम सुपरक्लास है जिस पर IS का पता P (अर्थात NP- पूर्ण, खुला, या) में नहीं है ISGCI से अनजान)। एक वर्ग का चयन करना और 'ड्रा' पर क्लिक करना उस वर्ग और सुपरक्लास को आकर्षित करेगा जो बीएफएस-शैली को शामिल करके पदानुक्रम को जोड़ रहे हैं जहाँ तक एक वर्ग को खोजने के लिए आवश्यक है जिस पर आईएस को पी में होने का पता नहीं है।

सूची मिनिमल एनपी-पूरी तरह से चारों ओर जाती है: इसमें ऐसी कक्षाएं होती हैं जिन पर आईएस एनपी-पूर्ण होता है, जैसे कि सभी अधिकतम उप-वर्ग भी एनपी-पूर्ण नहीं हैं। ड्राइंग पदानुक्रम में तब तक नीचे जाती है जब तक कि एक नॉट-एनपी-पूरा वर्ग नहीं मिलता है।

खुली सूची में वे वर्ग शामिल हैं जिनके लिए समस्या या तो खुली है या अज्ञात है। जब तक कोई वर्ग खुला नहीं होता तब तक सुपर / उपवर्गों पर चलता है।

ड्राइंग बनाते समय स्वतंत्र सेट समस्या (समस्या -> समस्या के लिए रंग -> स्वतंत्र सेट) में रंग सेट करना एक अच्छा विचार है।

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स्टांडा ज़िव्नी के प्रश्न के संबंध में, आईएसजीसीआई में निम्नलिखित 20 कक्षाएं सूचीबद्ध की गई हैं, जो कि अनवॉन्टेड आईएस समस्या के लिए ज्ञात जटिलता के साथ हैं, लेकिन भारित मामले के लिए अज्ञात जटिलता के साथ (आईएसजीसीआई "सरल" और "जटिल" बहुपद एल्गोरिथम) के बीच अंतर नहीं कर सकता है:

gc_11 विस्तारित P ₄ -laden
gc_128 EPT
gc_415 अच्छी तरह से कवर किया गया
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ ) -free
gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ ) -free
gc_752 सह-वंशानुगत
गुच्छ -हेलि gc_756 (E, P) -free
gc_757 (P, T ₂ ) -free
gc_758 (P, P ₈ ) -free
gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ ) -free
gc_808 (C ₆ , K _3, K _{3) 3} + ई, पी, पी ₇ , एक्स ₃₇ , एक्स ₄₁ )
-फ्री gc_811 (पी, स्टार_1,2,5 ) -free
gc_812 (P ₅ , P ₂ ) P ₃ ) -free
gc_813 (P, P ₇ ) -free
gc_818 (P, तारा _1,2,3 ) -free
cc_819 (P, star _{1) 2,4} )
-फ्री gc_841 (2K ₃ + ई, ए, सी ₆ , ई, के _3,3 -ई, पी ₆ , आर, एक्स ₁₆₆ , ₁₆₇ , एक्स ₁₆₉ , एक्स ₁₇₀ , एक्स ₁₇₁ , एक्स ₁₇₂ , एक्स ₁₈ , एक्स ₄₅ , एक्स ₅ , एक्स ₅₈ , एक्स ₈₄ , एक्स ₉₅ , एक्स₉₈ , ए, सी ₆ , ई, पी ₆ , आर, एक्स ₁₆₆ , एक्स ₁₆₇ , एक्स ₁₆₉ , एक्स ₁₇₀ , एक्स ₁₇₁ , एक्स ₁₇₂ , एक्स ₁₈ , एक्स ₄₅ , एक्स ₅ , एक्स ₅₈ , एक्स ₈₄ , एक्स ₉₅ , X ₉₈ , एंटीना, सह-एंटीना, सह-डॉमिनो, सह-मछली, सह-जुड़वां-घर, डोमिनो, मछली, जुड़वां-घर) -free
gc_894 सह-परिपत्र एकदम सही
gc_895 जोरदार परिपत्र परिपूर्ण
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ पी ₄ , नेट) -फ्री

इसमें कोई संदेह नहीं है कि इनमें से कई के पास वेटेड केस के लिए एल्गोरिदम भी होंगे। ISGCI वेब पेज पर दिए गए पते पर परिवर्धन और सुधार का हमेशा स्वागत है!

Comments

अधिकतम अनुप्रयोग योग्य कक्षाओं को खोजने के लिए जावा एप्लिकेशन की कार्यक्षमता के लिए सूचक के लिए धन्यवाद, और उन वर्गों की सूची जिनके लिए भारित मामला खुला है। और निश्चित रूप से ISGCI पर आपके काम के लिए धन्यवाद!

— एन्द्र दास सलामोन

Answer 2

एक दिलचस्प पेपर हो सकता है:

ए। ब्रैंडस्टाड, वीवी लोज़िन, आर। मोस्का: ऐप्पल-फ्री ग्राफ़्स में अधिकतम वजन के स्वतंत्र सेट, डिस्क्रेट गणित 24 (1) (2010) 239-254 पर एसआईएएम जर्नल। डोई: 10.1137 / 090,750,822

सेब के अनंत वर्ग को चक्र C_k, k> = 5 के रूप में परिभाषित किया गया है, प्रत्येक एक डंठल के साथ।

आपने उल्लेख नहीं किया है कि क्या आईएस-सहजता की आपकी धारणा में भारित आईएस समस्या शामिल है। चेयर-मुक्त रेखांकन (उर्फ कांटा-मुक्त रेखांकन) को आईएस-आसान के रूप में जाना जाता है:

वीई अलेक्सेव, बहुपद एल्गोरिथ्म फॉर्क्स के बिना रेखांकन में सबसे बड़ा स्वतंत्र सेट खोजने के लिए, असतत अनुप्रयुक्त गणित 135 (1-3) (2004) 3–16। doi: 10.1016 / S0166-218X (02) 00,290-1

भारित मामले की सुवाह्यता एक गैर-तुच्छ विस्तार है, देखें:

वीवी लोज़िन, एम। मिलानिक: एक बहुपद एल्गोरिथ्म एक कांटा मुक्त ग्राफ में अधिकतम वजन का एक स्वतंत्र सेट खोजने के लिए, असतत एल्गोरिथ्म 6 (4) (2008) 595-604 जर्नल। doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

क्या कोई अन्य (दिलचस्प) कक्षाएं हैं जहां भारित आईएस समस्या अनब्लॉक मामले की तुलना में काफी अधिक कठिन / अट्रैक्टिव / ओपन है?

Comments

दिलचस्प सवाल, अलग से पोस्ट करने लायक हो सकता है।

— एंड्रेस सलामोन

सेब की परिभाषा में, आप का मतलब ≥ 4, है ना?

— डेविड एप्पस्टीन

हां, k> = 4, टाइपो के लिए खेद है।

— स्टांडा ज़िवनी

Answer 3

वासिलिस गिआकौमाकिस और इरेना रूसू के अनुसार, डिस्क। Appl। गणित। 1997 , (P5, हाउस) -फ्री ग्राफ (aka (P5, coP5) -फ्री ग्राफ) IS-easy हैं।

एक अन्य, जिसका श्रेय ISGCI द्वारा वी। लोज़िन, आर। मोस्का डिस्क को दिया जाता है । Appl। गणित। 2005 , (K2 u claw) -फ्री ग्राफ का परिवार है ।

ट्रैक्टेबल कक्षाओं की अनंत आरोही श्रृंखलाएं भी हो सकती हैं

निश्चित रूप से अनंत आरोही श्रृंखलाएं हैं। यदि H, ग्राफ़ का एक परिमित सेट है, जिसके लिए H-मुक्त ग्राफ़ IS-easy हैं, तो H 'का ग्राफ़ एच में प्रत्येक ग्राफ के लिए एक स्वतंत्र शीर्ष जोड़ते हुए बनता है। तब H- मुक्त ग्राफ़ भी IS-easy हैं: बस एच-फ्री एल्गोरिदम को प्रत्येक शीर्ष के गैर-पड़ोसियों के सेट पर लागू करें। उदाहरण के लिए, जैसा कि ISGCI वर्णन करता है, सह-मणि-मुक्त रेखांकन आईएस-आसान इस कारण से है कि एक सह-मणि एक पी 4 प्लस एक स्वतंत्र शीर्ष है और पी 4-मुक्त रेखांकन आईएस-आसान है। तो आप शायद अपने प्रश्न को अधिकतम उन वर्गों तक सीमित रखना चाहते हैं जिनमें सभी निषिद्ध उपसमूह में एक स्वतंत्र शीर्ष नहीं है।

Comments

अतिरिक्त कक्षाओं के लिए और अनंत जंजीरों के एक आसान निर्माण को उजागर करने के लिए धन्यवाद! की प्रतिपूर्ति करेंगे।

— एन्द्रस सलामोन

तो स्वतंत्र रूप से सेट पर विकिपीडिया प्रविष्टि के अनुसार पंजा-मुक्त ग्राफ़ भी: en.wikipedia.org/wiki/…

— gphilip

@gphilip: पंजा-मुक्त दोनों कुर्सी-मुक्त और (K2 u पंजा) -फ्री के तहत शामिल हैं।

— डेविड एप्पस्टीन

Answer 4

$P_5$

आज्ञा दें कि H का ग्राफ 5 सबसे अधिक कोणों पर है, तो स्वतंत्र सेट की जटिलता एच-मुक्त ग्राफ़ की कक्षा में जानी जाती है।

$P_5$$H = P_2 \cup P_3$