PLANARITY के लिए सबसे सरल बहुपद एल्गोरिथ्म क्या है?

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कई एल्गोरिदम हैं जो बहुपद समय में तय करते हैं कि क्या एक रेखा को विमान में खींचा जा सकता है या नहीं, यहां तक कि एक रैखिक चलने वाले समय के साथ भी। हालाँकि, मुझे एक बहुत ही सरल एल्गोरिथ्म नहीं मिला है कि कोई व्यक्ति कक्षा में आसानी से और तेजी से समझा सकता है और यह दिखाएगा कि PLANARITY P में है। क्या आप किसी को जानते हैं?

यदि आवश्यक हो, तो आप Kuratowski या Fary की प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं लेकिन ग्राफ मामूली प्रमेय की तरह कोई गहरी सामग्री नहीं है। यह भी ध्यान दें कि मुझे दौड़ने के समय की परवाह नहीं है, मुझे बस कुछ बहुपद चाहिए।

नीचे अब तक के 3 सबसे अच्छे एल्गोरिदम हैं, जो एक सरलता / नो-डीप-थ्योरी-आवश्यक ट्रेड-ऑफ दिखाते हैं।

एल्गोरिथम 1: इसका उपयोग करके हम जांच सकते हैं कि ग्राफ में या में बहुपद समय में एक नाबालिग के रूप में है या नहीं, हमें गहन सिद्धांत का उपयोग करके एक बहुत ही सरल एल्गोरिथ्म मिलता है। (ध्यान दें कि यह सिद्धांत पहले से ही ग्राफ एम्बेडिंग का उपयोग करता है, जैसा कि सईद द्वारा इंगित किया गया है, इसलिए यह वास्तविक एल्गोरिदम दृष्टिकोण नहीं है, बस उन छात्रों को बताने के लिए कुछ सरल है जो पहले से ही ग्राफ मामूली प्रमेय को जानते / स्वीकार करते थे।) $K_5$ $K_{3,3}$

एल्गोरिथम 2 [किसी के उत्तर पर आधारित]: यह देखना आसान है कि यह 3-कनेक्टेड ग्राफ़ से निपटने के लिए पर्याप्त है। इन के लिए, एक चेहरा ढूंढें और फिर टुट्टे के वसंत प्रमेय को लागू करें।

एल्गोरिथम 3 [जूहो द्वारा अनुशंसित]: डेमॉक्रोन, मालग्रेंज और पर्टिसेट (डीएमपी) एल्गोरिथ्म। एक चक्र बनाएं, शेष ग्राफ के घटकों को टुकड़े कहा जाता है, हम उन्हें एक उपयुक्त तरीके से एम्बेड करते हैं (इस बीच नए टुकड़े बनाते हैं)। यह दृष्टिकोण किसी अन्य प्रमेय का उपयोग नहीं करता है।

graph-algorithms co.combinatorics planar-graphs

— domotorp
स्रोत

1

मुझे लगता है कि कई लोग सबसे सरल बहुपद समय एल्गोरिथ्म Demoucron, Malgrange और Pertuiset (DMPP) एल्गोरिथ्म सहमत हैं। यह एक एल्गोरिथ्म पाठ्यपुस्तक है जिसे आमतौर पर कवर किया जाता है (उदाहरण के लिए गिबन्स 1985 या बॉन्डी और मूर्ति 1976)। क्या सिर्फ प्लानरिटी तय करना ही पर्याप्त है, या एल्गोरिथ्म भी एक प्लानर एम्बेडिंग का उत्पादन करना चाहिए? IIRC Boyer और Myrvold @joro का Soda'99 पेपर संभवतः विवरणों को छोड़ देता है, विशेष रूप से समय की जटिलता के बारे में।

— जुहो

2

यदि आप सिर्फ निर्णय की समस्या चाहते हैं, तो क्या PLANAR दो निषिद्ध नाबालिग है जिनके अस्तित्व को बहुपद समय में जांचा जा सकता है ?

— जोरू

2

@ जोरो: हां, निश्चित रूप से यह एक सरल समाधान होगा लेकिन मैं इस तरह के मजबूत प्रमेय का उपयोग करने से बचना पसंद करूंगा।

— डोमपोटर

1

एल्गोरिथ्म जो मैंने उल्लेख किया था, वह मूल रूप से ऑसलैंडर-पार्टर एल्गोरिथ्म था। मेरे एल्गोरिथ्म में समस्या भाग 7 थी जब मैंने कहा कि हम घटकों के ग्राफ को द्विभाजित कर सकते हैं। हम मूल एल्गोरिथ्म में कर सकते हैं लेकिन एल्गोरिथ्म में मैंने कहा कि हमें घटकों की अधिक सटीक परिभाषा की आवश्यकता है और इसे विस्तार से समझाने के लिए मेरी उत्सुकता से बाहर था। पुनरावर्ती भाग स्पष्ट रूप से सच था (यदि हम चरण 7 कर सकते हैं तो हम कर रहे हैं), जहां आप इसकी शुद्धता के बारे में संदेह करते हैं। मैंने अपना उत्तर अपडेट नहीं किया क्योंकि मैंने देखा कि यह लगभग दो पृष्ठों का होगा और मैं इसे अधिक संक्षिप्त नहीं कर सकता और इसे सरल कहना अच्छा नहीं है।

— सईद

3

3-जुड़े हुए मामले को कम करना एक वैचारिक रूप से सरल है और इसे किसी भी मामले में समझाया जाना चाहिए। यदि हम दक्षता में रुचि नहीं रखते हैं तो 3 से जुड़े मामले को कम करना आसानी से हो सकता है। सभी 2-नोड कटौती की जाँच करें।

— चंद्रा चकुरी

6

मैं एक एल्गोरिथ्म का वर्णन करने जा रहा हूं। मुझे यकीन नहीं है कि यह "आसान" के रूप में योग्य है और कुछ प्रमाण इतने आसान नहीं हैं।

पहले हम ग्राफ को 3-कनेक्टेड घटकों में तोड़ते हैं, जैसा कि चंद्रा चकुरी ने उल्लेख किया है।

जुड़े हुए घटकों में ग्राफ को तोड़ें।
2-जुड़े घटकों में प्रत्येक जुड़े घटक को तोड़ें। यह प्रत्येक 2-जुड़े घटक चाहे जुड़ा हुआ है के प्रत्येक शीर्ष के लिए बहुपद समय जाँच में किया जा सकता है । $v$ $G_i$ $G_i-v$
प्रत्येक 2-जुड़े घटक को 3-जुड़े घटकों में तोड़ दें। इस बहुपद समय की जाँच में किया जा सकता दो अलग-अलग कोने के लिए प्रत्येक 2 से जुड़े घटक के कि क्या जुड़ा हुआ है। $v,u$ $G_i$ $G_i-\{ v,u \}$

हमने यह जांचने के लिए समस्या को कम कर दिया है कि क्या ग्राफ का 3-जुड़ा हुआ घटक प्लानर है। Let एक 3 जुड़ा घटक को दर्शाते हैं। $G$

किसी भी चक्र ले लो के । $C$ $G$
एक उत्तल बहुभुज के रूप में के कोने पिन । इसके प्रत्येक कोने को अपने पड़ोसियों के बैरिकेटर में रखें। यह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को प्रत्येक शीर्ष के निर्देशांक को बताता है। को परिणामस्वरूप ड्राइंग होने दें ; इसमें क्रॉसिंग हो सकते हैं। $C$ $D$
यदि पास कोई क्रॉसिंग नहीं है, तो हम समाप्त हो गए हैं। $D$
कोने ले लो के किसी भी कनेक्ट किए गए घटक में । के प्रतिबंध प्रेरित subgraph के लिए प्लानर होना चाहिए। अन्यथा, प्लानर नहीं है। किसी भी चेहरे ले लो ड्राइंग में प्रेरित subgraph तक ही सीमित , और चक्र को परिभाषित किया जा । यदि $U$ $G-V(C)$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $G$ $F$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $C'$ $F$ $G$ प्लानर, होना करने के लिए तो है एक चेहरे का चक्र होना चाहिए। (जब एक Hamiltonian चक्र है, तो बढ़त का प्रयोग कर बनाया जाना चाहिए।) $C'$ $C$ $C'$
सी के बजाय सी के साथ चरण 2 को दोहराएं। यदि परिणामी ड्राइंग प्लेनर है, तो प्लानर है। Else planar नहीं है। $G$ $G$

टिप्पणियों:

यह तर्क देते हुए कि टुटे का स्प्रिंग एम्बेडिंग एक प्लैनर एम्बेडिंग देता है, सीधा नहीं है। मुझे एडल्सब्रूनर और हारर की पुस्तक, कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी में प्रस्तुति पसंद थी, लेकिन यह केवल त्रिकोणीयकरण के लिए है। कॉलिन डी वेर्डीयर http://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo-graphs-surfaces.pdf , अनुभाग 1.4 में स्प्रिंग एम्बेडिंग की चर्चा करते हैं । एक सामान्य संदर्भ लिनिअल, लोवेज़, विगडरसन: रबर बैंड, उत्तल एम्बेडिंग और ग्राफ़ कनेक्टिविटी है। कॉम्बिनेटरिका 8 (1): 91-102 (1988)।
गॉसमियन उन्मूलन के माध्यम से अंकगणितीय ऑपरेशनों की एक बहुपद संख्या में समीकरणों के एक रेखीय प्रणाली को हल करना आसान है। बिट्स की पॉलोनोमियल संख्या का उपयोग करके इसे हल करना इतना आसान नहीं है।

— कोई व्यक्ति
स्रोत

मैंने पुलों और ओवरलैप ग्राफ का उपयोग करने से बचने के लिए उत्तर संपादित किया।

— कोई

मान लें कि हर 3-जुड़े घटक को एम्बेड किया जा सकता है। फिर हम मूल ग्राफ के बारे में क्या घटा सकते हैं? 3-जुड़े ग्राफ़ का उपयोग करना (अधिकतम) एक एम्बेडिंग है, शायद हम यहां से समाप्त कर सकते हैं, लेकिन यह कदम भी होना चाहिए।

— डोमोटर

अंत में, चरण 4 में, गैर-प्लानर ड्राइंग में एक चेहरा क्या है? मुझे लगता है कि यह अभी भी एक प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया जा सकता है। और बहुत अंत में, "एल्से जी प्लैनर नहीं है" वास्तव में काफी गैर-तुच्छ लगता है।

— डोमोटर

के प्रतिबंध

करने के लिए

D

$D$

G [U \cup V (C)]

$G[U\cup V(C)]$

G

$G$

इसमें हम सहमत हैं, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह कैसे मदद करता है।

— डोमपोटर

3

बोयर और मायवॉल्ड के एल्गोरिथ्म को ग्रहिकी परीक्षण एल्गोरिदम की कला की स्थिति के बीच माना जाता है

कटिंग एज: सरलीकृत ओ (एन) बॉयर और मायवॉल्ड द्वारा एज एडिशन द्वारा प्लेनरिटी।

यह पुस्तक अध्याय कई ग्रह परीक्षण एल्गोरिदम का सर्वेक्षण करता है और उम्मीद है कि आपको सरल पर्याप्त एल्गोरिदम मिलेगा।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

मुझे प्लानरिटी एल्गोरिदम के अत्याधुनिक में कोई दिलचस्पी नहीं है, मैं कुछ आसान समझाना चाहता हूं। मुझे किताब में Demoucron, Malgrange और Pertuiset (DMP) एल्गोरिदम से भी सरल कुछ भी नहीं मिला।

— डोमपोटर

0

होपक्रॉफ्ट और टार्जन के 1974 एल्गोरिथ्म {1} के बारे में क्या ?

{1} हॉपक्रॉफ्ट, जॉन और रॉबर्ट टार्जन। "कुशल ग्रहणी परीक्षण।" एसीएम (JACM) 21.4 (1974) जर्नल: 549-568।

— एरी ट्रेचेनबर्ग
स्रोत

यह एक तेज़ और सरल एल्गोरिथ्म नहीं है।

— डोमोटर

0

दो एल्गोरिदम, दोनों लॉगस्पेस में

एरिक एलेन्डर और मीना महाजन - द जटिलता ऑफ़ प्लेनरिटी टेस्टिंग
समीर दत्ता और गौतम प्राकृत - प्लैनरिटी परीक्षण का पुनरीक्षण किया गया

दूसरा पहले की तुलना में बहुत सरल है।

— गुमनाम
स्रोत

सरल बिलकुल नहीं।

— डोमपोटर