निषिद्ध प्रेरित चक्रीय उपसमूहों द्वारा परिभाषित ग्राफ कक्षाओं में बहुपद समस्याएं

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क्रॉसपोस्ट से मो ।

आज्ञा देना एक ग्राफ वर्ग है जो निषिद्ध प्रेरित उपसमूहों की एक सीमित संख्या द्वारा परिभाषित किया गया है, जिनमें से सभी चक्रीय हैं (कम से कम एक चक्र होता है)। $C$

क्या एनपी-हार्ड ग्राफ समस्याएं हैं जो कि क्लोनिक और क्लिक कवर के अलावा लिए बहुपद समय में हल की जा सकती हैं ? $C$

अगर मुझे सही ढंग से याद है, तो यह स्वतंत्र सेट के लिए असंभव है (जब तक कि ) नहीं। $P=NP$

Graphclasses.org में खोजें कोई नहीं मिला।

एक वर्ग जिसके लिए Clique और Clique कवर बहुपद हैं C5, C6, X164, X165, sunlet4, त्रिकोण-मुक्त

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आईएस और वर्चस्व के लिए नकारात्मक इस पत्र में है । पेज 2, रेखांकन । $S_{i,j,k}$

— joro
स्रोत

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में स्टीफन Kratsch, पास्कल श्वित्ज़र, ग्राफ़ समाकृतिकता दो द्वारा विशेषता ग्राफ़ वर्गों के लिए निषिद्ध प्रेरित subgraphs : सैनिक (तुच्छता) बहुपद समय आ गया है के लिए व्याख्या करने योग्य

रेखांकन, लेकिन यह भी (कम तुच्छता) के लिए

ग्राफ्स।

(K_{s}, I_{t}) -free

$(K_s, I_t)\text{-free}$

(K_{s}, K_{1, t}) -free

$(K_s, K_{1,t})\text{-free}$

— मार्जियो डी बियासी

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शायद यह प्रश्न पर ध्यान देने के लिए सबसे अच्छा है कि एमओ क्रॉस पोस्टिंग के साथ-साथ, अगर किसी को कोई दिलचस्पी है, तो वे यहां उत्तर / टिप्पणियां देखना पसंद कर सकते हैं।

— आरबी

1

@MarzioDeBiasi, जवाब देने के लिए अपनी टिप्पणी क्यों नहीं बदल रही है?

— सईद

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मुझे लगता है कि कई कठिन समस्याएं हैं जो त्रिकोण-मुक्त रेखांकन के लिए आसान हो जाती हैं; विशेष रूप से उन त्रिकोणों के साथ सीधे व्यवहार करते हैं जैसे कि विभाजन में त्रिकोण (क्या G का त्रिभुजों में विभाजन है)। अन्य कम तुच्छ उदाहरणों में शामिल हैं:

स्थिर क्यूसेट समस्या (क्या G का एक स्वतंत्र सेट है जैसे GS को डिस्कनेक्ट किया गया है?)। देखें: रेखांकन में स्थिर sutsets पर, अनुप्रयुक्त गणित लागू करें। 105 (2000) 39-50।
इंटरसेक्शन ग्राफ बेसिस (क्या k- तत्व ग्राउंड सेट के उपसमुच्चय का जी-चौराहे का ग्राफ है?)। देखें: समस्या [GT59]: गैरी एंड जॉनसन, कंप्यूटर और इंट्रेक्टेबिलिटी: एन-पूर्णता के सिद्धांत के लिए एक गाइड।

— सोम टैग
स्रोत

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सोम टैग के जवाब के कुछ अतिरिक्त उदाहरण इस प्रकार हैं:

डिस्कनेक्ट किया गया Cutset समस्या (क्या कोने का एक सेट स्वीकार ऐसी है कि और की subgraph से प्रेरित डिस्कनेक्ट कर दिया गया) एनपी पूरा हो गया है (देखें यहाँ )। यह देखना आसान है कि यह समस्या त्रिभुज-मुक्त रेखांकन के लिए बहुपत्नी रूप से हल करने योग्य है (इसलिए सोम टैग द्वारा बताई गई स्थिर अस्तव्यस्त समस्या भी)। $G$ $S$ $G-S$ $G$ $S$
त्रिकोणीय लाइन ग्राफ को पहचानना एनपी-पूर्ण है ( यहां देखें ), यह देखना भी आसान है कि यह समस्या त्रिकोण-मुक्त इनपुट ग्राफ के लिए बहुपद बनती है।
अधिकतम जुड़े हुए मिलान की गणना करना कठिन है ( यहाँ देखें । एक मिलान जुड़ा हुआ है, यदि मिलान किनारों के किसी भी जोड़े के लिए, उन दोनों के लिए ग्राफ़ घटना का एक और किनारा है)। यह साबित किया जा सकता है कि यह समस्या लिए बहुपत्नी हल है । $(C_3, C_4, C_5)$

— vb ले
स्रोत

धन्यवाद। तो कुछ समस्याएं कठिन रहती हैं और कुछ नहीं।

— जोरू

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में: उपरोक्त टिप्पणी से दो निषिद्ध प्रेरित subgraphs द्वारा विशेषता ग्राफ़ वर्गों के लिए स्टीफन Kratsch, पास्कल श्वित्ज़र, ग्राफ़ समाकृतिकता : सैनिक बहुपद समय (तुच्छता) के लिए व्याख्या करने योग्य है रेखांकन, लेकिन यह भी (कम तुच्छता) के लिए रेखांकन। $(K_s,I_t)\text{-free}$ $(K_s,K_{1,t})\text{-free}$

संपादित करें : जैसा कि टिप्पणी में उल्लेख किया गया है, में एक चक्र शामिल नहीं है (मैं बहुत जल्दी पेपर की शुरूआत पढ़ता हूं)। $K_{1,t}$

इसके बारे में थोड़ा सोचने के बाद, यह साबित करना आसान लगता है कि निम्नलिखित (मूल?):

NEGATIVE परिणाम: प्रत्येक परिमित सेट जिसमें हर एक चक्र, ग्राफ समाकृतिकता (जीआई) की समस्या वर्ग तक ही सीमित होता है की रेखांकन सैनिक-पूरा हो गया है। $\{H_1,...H_k\}$ $H_i$ $\mathcal{C}$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$

सबूत: के एक वर्ग फिक्स्ड रेखांकन जिसमें प्रत्येक एक चक्र है, और यह देखते हुए शामिल , चलो की सबसे लंबी चक्र की लंबाई होना रों। प्रत्येक किनारे की जगह के लंबाई की एक पथ के साथ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$ $G_1,G_2$ $r$ $H_i$ $(u,v)$ $G_1,G_2$ $l = \lceil r/3 \rceil$ जोड़ने नई नोड्स (नीचे चित्र देखें)। निर्माण करके नए ग्राफ़ हैं वास्तव में संभव सबसे छोटा चक्र एक त्रिकोण है कि लंबाई होना आवश्यक है द्वारा गठित उन कर रहे हैं $l$ $(u,p_1,p_2,...,p_l,v)$ $G'_1, G'_2$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ ; और यह साबित करना आसान है कि वे आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल अगर मूल आइसोमॉर्फिक हैं। $3\lceil r/3 \rceil + 3 > r$ $G_1,G_2$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें
चित्रा : एक ग्राफ बाईं तरफ है, और बराबर ग्राफ सही पर (लगता है कि सबसे लंबे समय तक चक्र लंबाई है , इसलिए प्रत्येक किनारे को लंबाई पथ से बदल दिया गया है । $G_1$ $(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $G'_1$ $H_i$ $r=15$ $G_1$ $l = 5$

हम हैमिल्टनियन चक्र एनपीसी समस्या के नकारात्मक परिणाम को भी बढ़ा सकते हैं, वास्तव में यह निम्नलिखित के लिए एक तत्काल कोरोलरी है (मूल?::

प्रमेय : किसी भी के लिए , Hamiltonian चक्र समस्या एन पी-सम्पूर्ण भले ही हम ग्राफ रहता है लंबाई के चक्र शामिल नहीं है । $k \geq 3$ $G$ $\leq k$

सबूत हम जानते हैं कि Hamiltonian चक्र समस्या एनपीसी है यहां तक कि एक समतल निर्देशित ग्राफ पर प्रत्येक नोड के साथ संतोषजनक: (Papdimitriou और Vazirani, दो पर जियोमेट्रिक समस्याएं संबंधित ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या)। हम ग्राफ बदल सकता है एक undirectde ग्राफ को बस नोड्स के भेजे किनारे पर एक नोड जोड़ने है कि $G$ $v$ $outdeg(v) + indeg(v) \leq 3$ $G$ $G'$ $v$ , और नोड्स के बाहर जाने वाले किनारे के है कि । तब हमनीचे चित्र में गैजेट के साथ के नोड्स को बदल सकतेहैं। यह देखना आसान है कि केवल दो वैध ट्रैवर्सल्स (zigzags) हैं $indeg(v )=1$ $v$ $indeg(v)=2$ $G'$ ) जो गैजेट के प्रत्येक नोड पर ठीक एक बार जाते हैं (चित्र में लाल और हरे रंग के पथ): गैजेट को ऊपर से नीचे तक नहीं लगाया जा सकता है, अन्यथा क्षैतिज (आवक या आउटगोइंग) पथ काट दिया जाएगा। इसके अलावा हम उपकरणों के ऊर्ध्वाधर / क्षैतिज क्षेत्रों पर पर्याप्त नोड्स जगह है, और उसके zigzags की संख्या का विस्तार, यह सुनिश्चित करें कि लंबाई का कोई चक्र कर सकते हैं गैजेट में या 3 एक साथ जुड़े हुए उपकरणों की एक त्रिकोण में संभव है। यह भरोसा दिलाते हैं कि अगर परिणामी ग्राफ़ एक Hamiltonian चक्र है, तो मूल ग्राफ भी एक Hamiltonian चक्र है (बातचीत गैजेट के निर्माण से तत्काल है)। $\geq k$ $G''$ $G$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

$(H_1,...,H_k)\text{-free}$ $H_i$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

K_{1, t}

$K_{1,t}$

आप सही हे! मैं एक नकारात्मक परिणाम के साथ आया ... देखें कि क्या यह काम कर सकता है, या अगर यह पूरी तरह से गलत है: -S: -S

— Marzio De Biasi

धन्यवाद। तो आपको जीआई और हैमिल्टन चक्र के लिए कथित नकारात्मक परिणाम मिला है?

— जोरू

आशा है कि यह सही है, यह एक बहुत अज्ञात को graphclasses.org समस्याओं को हल करेगा।

— जोरू

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(m + 1) d_{i}

$(m+1)d_i$

d_{i}

$d_i$

i

$i$

G_{1}, G_{2}

$G_1,G_2$

G_{1}^{'}, G_{2}^{'}

$G'_1,G'_2$

1

मैक्स-कट एनपी-पूर्ण रहता है।

निम्नांकित दो वर्गों के निम्नांकित में लेम्मा 3.2 सरल अधिकतम कट एनपी-पूर्ण है:

$k$ $k \ge 3$

वे दो बार बढ़त बना रहे हैं।

"मैक्स-कट और रेखांकन, मार्सिन कमिंसकी में संबंध संबंधों" से

— joro
स्रोत

1

लेकिन आपने बहुपदीय समय में हल की गई समस्याओं के बारे में पूछा, है ना?

— पेंग ओ

@ पेंगो वास्तव में, लेकिन यह नकारात्मक परिणाम है, इसलिए बहुपद होना असंभव है। एक अन्य जवाब भी नकारात्मक परिणाम दिखाता है।

— joro