में: उपरोक्त टिप्पणी से दो निषिद्ध प्रेरित subgraphs द्वारा विशेषता ग्राफ़ वर्गों के लिए स्टीफन Kratsch, पास्कल श्वित्ज़र, ग्राफ़ समाकृतिकता : सैनिक बहुपद समय (तुच्छता) के लिए व्याख्या करने योग्य है रेखांकन, लेकिन यह भी (कम तुच्छता) के लिए ( K s , K 1 , t ) -फ्री रेखांकन।(Ks,It)-free(Ks,K1,t)-free
संपादित करें : जैसा कि टिप्पणी में उल्लेख किया गया है, में एक चक्र शामिल नहीं है (मैं बहुत जल्दी पेपर की शुरूआत पढ़ता हूं)।K1,t
इसके बारे में थोड़ा सोचने के बाद, यह साबित करना आसान लगता है कि निम्नलिखित (मूल?):
NEGATIVE परिणाम: प्रत्येक परिमित सेट जिसमें हर एच मैं एक चक्र, ग्राफ समाकृतिकता (जीआई) की समस्या वर्ग तक ही सीमित होता है सी की ( एच 1 , । । । , एच कश्मीर ) -नि: शुल्क रेखांकन सैनिक-पूरा हो गया है।{H1,...Hk}HiC(H1,...,Hk)-free
सबूत: के एक वर्ग फिक्स्ड रेखांकन जिसमें प्रत्येक एच मैं एक चक्र है, और यह देखते हुए शामिल जी 1 , जी 2 , चलो आर की सबसे लंबी चक्र की लंबाई होना एच मैं रों। प्रत्येक किनारे की जगह ( यू , वी ) के जी 1 , जी 2 लंबाई की एक पथ के साथ एल = ⌈ आर / 3 ⌉(H1,...,Hk)-freeHiG1,G2rHi(u,v)G1,G2l=⌈r/3⌉ जोड़ने नई नोड्स ( यू , पी 1 , पी 2 , । । । , पी एल , वी ) (नीचे चित्र देखें)। निर्माण करके नए ग्राफ़ जी ' 1 , जी ' 2 हैं ( एच 1 , । । । , एच कश्मीर ) -नि: शुल्क वास्तव में संभव सबसे छोटा चक्र एक त्रिकोण है कि लंबाई होना आवश्यक है द्वारा गठित उन कर रहे हैं 3 ⌈ आर / 3 ⌉l(u,p1,p2,...,pl,v)G′1,G′2(H1,...,Hk)-free ; और यह साबित करना आसान है कि वे आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल अगर मूल जी 1 , जी 2 आइसोमॉर्फिक हैं।3⌈r/3⌉+3>rG1,G2
चित्रा : एक ग्राफ बाईं तरफ है, और बराबर ( एच 1 , । । । , एच कश्मीर ) -नि: शुल्क ग्राफ जी ' 1 सही पर (लगता है कि सबसे लंबे समय तक चक्र एच मैं लंबाई है r = 15 , इसलिए G 1 के प्रत्येक किनारे को लंबाई l = 5 के पथ से बदल दिया गया है ।G1(H1,...,Hk)-freeG′1Hir=15G1l=5
हम हैमिल्टनियन चक्र एनपीसी समस्या के नकारात्मक परिणाम को भी बढ़ा सकते हैं, वास्तव में यह निम्नलिखित के लिए एक तत्काल कोरोलरी है (मूल?::
प्रमेय : किसी भी के लिए , Hamiltonian चक्र समस्या एन पी-सम्पूर्ण भले ही हम ग्राफ रहता है जी लंबाई के चक्र शामिल नहीं है ≤ कश्मीर ।k≥3G≤k
सबूत हम जानते हैं कि Hamiltonian चक्र समस्या एनपीसी है यहां तक कि एक समतल निर्देशित ग्राफ पर प्रत्येक नोड के साथ वी संतोषजनक: ओ यू टी डी ई जी ( v ) + मैं एन डी ई जी ( v ) ≤ 3 (Papdimitriou और Vazirani, दो पर जियोमेट्रिक समस्याएं संबंधित ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या)। हम ग्राफ बदल सकता है जी एक undirectde ग्राफ को जी ' बस नोड्स के भेजे किनारे पर एक नोड जोड़ने वी है कि मैं एन डी ईGvoutdeg(v)+indeg(v)≤3GG′v , और नोड्स के बाहर जाने वाले किनारे के वी है कि मैं एन डी ई जी ( v ) = 2 । तब हमनीचे चित्र में गैजेट के साथ G ′ के नोड्स को बदल सकतेहैं। यह देखना आसान है कि केवल दो वैध ट्रैवर्सल्स (zigzags) हैंindeg( v ) = 1vमैं एन डीई जी( v ) = २जी') जो गैजेट के प्रत्येक नोड पर ठीक एक बार जाते हैं (चित्र में लाल और हरे रंग के पथ): गैजेट को ऊपर से नीचे तक नहीं लगाया जा सकता है, अन्यथा क्षैतिज (आवक या आउटगोइंग) पथ काट दिया जाएगा। इसके अलावा हम उपकरणों के ऊर्ध्वाधर / क्षैतिज क्षेत्रों पर पर्याप्त नोड्स जगह है, और उसके zigzags की संख्या का विस्तार, यह सुनिश्चित करें कि लंबाई का कोई चक्र कर सकते हैं गैजेट में या 3 एक साथ जुड़े हुए उपकरणों की एक त्रिकोण में संभव है। यह भरोसा दिलाते हैं कि अगर परिणामी ग्राफ़ जी " एक Hamiltonian चक्र है, तो मूल ग्राफ जी भी एक Hamiltonian चक्र है (बातचीत गैजेट के निर्माण से तत्काल है)।≥ केजी''जी
( एच1, । । । , एचक) -फ्रीएचमैं