लॉजिक्स और अन्य औपचारिक प्रूफ सिस्टम में गैर-व्युत्पन्नता दिखाने के लिए तकनीक

शास्त्रीय प्रोपोज़िशनल तर्क के लिए सबूत प्रणालियों में से एक को दिखाने के लिए कि एक निश्चित सूत्र चाहते हैं व्युत्पत्ति एक बस से पता चलता है कि नहीं है प्राप्त किया जा सकता है (हालांकि अन्य तकनीकों निश्चित रूप से संभव हैं)। गैर-व्युत्पन्नता अनिवार्य रूप से प्रूफ सिस्टम की सुदृढ़ता और पूर्णता से होती है। $\psi$ $\neg\psi$

दुर्भाग्य से गैर-शास्त्रीय लॉजिक्स और अधिक विदेशी प्रूफ सिस्टम के लिए (जैसे कि संचालन शब्दार्थ अंतर्निहित नियम) ऐसी कोई प्रत्यक्ष तकनीक मौजूद नहीं है। यह हो सकता है क्योंकि के गैर derivability मतलब यह नहीं है कि है व्युत्पत्ति, के रूप में intuitionistic लॉजिक्स के साथ मामला है, या बस है कि निषेध का बोध भी नहीं मौजूद है। $\psi$ $\neg\psi$

मेरा प्रश्न एक सबूत प्रणाली दिया जाता है है, जहां , (और शायद इसके सिमेंटिक), क्या तकनीक मौजूद गैर-व्युत्पन्नता दिखाने के लिए? $(\mathcal{L},\vdash)$ $\vdash\;\subseteq\mathcal{L}^*\times\mathcal{L}$

ब्याज की प्रूफ सिस्टम में प्रोग्रामिंग लैंग्वेज, होरे लॉजिक्स, टाइप सिस्टम, एक गैर-शास्त्रीय तर्क या व्हाट-यू-यू के लिए इंट्रेंस नियमों के परिचालन शब्दार्थ शामिल हो सकते हैं।

lo.logic

— डेव क्लार्क
स्रोत

डेव, मुझे लगता है कि प्रश्न में कोई गलती है तो यह है कि दिखाने के लिए

derivable नहीं है हम नहीं दिखाते हैं कि

, हम बस पता चलता है कि यह संगत है व्युत्पत्ति है, और यह केवल शास्त्रीय तर्क की स्थिरता पर आधारित है। यदि तर्क पहले-क्रम वाला शास्त्रीय तर्क है, तो ऐसे वाक्य हैं जिन्हें हम न तो सिद्ध कर सकते हैं और न ही खंडन कर सकते हैं (जब तक कि हम पूर्ण सिद्धांत के बारे में बात नहीं कर रहे हैं )। या मैं आपके सवाल को गलत बता रहा हूं?

φ

$\varphi$

\neg φ

$\lnot \varphi$

— केवह

मैंने इसे शास्त्रीय प्रस्तावक तर्क में बदल दिया। यह प्रश्न किसी भी तकनीक को नकारने के अलावा भी बताता है, क्योंकि कई औपचारिक प्रणाली (स्वयंसिद्धों और अनुमान नियमों के संग्रह) में नकारात्मकता नहीं है, या वास्तव में "तर्क" जैसा भी नहीं लग सकता है।

— डेव क्लार्क

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद, जब मैं शास्त्रीय तर्क पढ़ता हूं, तो मेरा दिमाग पहली बार तर्क से पहले क्रम में जाता है। :)

— केवह

IME, निम्न सूची सबसे कठिन है (निश्चित रूप से, यह सबसे कम से कम सबसे शक्तिशाली है):

आपके सिस्टम ध्वनि है, और आप को साबित कर सकते हैं , तो आप निश्चित रूप से एक nonderivability परिणाम है,। $\lnot \phi$
यदि आपके पास अपने तर्क के लिए एक जाली-सिद्धांत संबंधी शब्दार्थ है, जिसके सापेक्ष आपके सभी प्रमाण नियम मान्य हैं, तो यदि प्रस्ताव का अर्थ जाली का सबसे ऊपरी तत्व नहीं है, तो यह एक व्युत्पन्न प्रस्ताव नहीं है।
क्या आप जानते हैं अपने तर्क मॉडल के एक वर्ग के लिए सम्मान के साथ पूरा हो गया है कि, तो अगर उस वर्ग जो अमान्य कर देता है में एक विशेष मॉडल है देखने के लिए जाँच । $\phi$
कभी-कभी आप किसी अन्य तर्क में अनुवाद के साथ दूर हो सकते हैं, और यह दिखा सकते हैं कि यहां पर व्युत्पन्नता का मतलब वहां पर ज्ञात गैर-व्यवहार्यता परिणाम है।
यदि आपके पास एक प्राकृतिक कटौती या अनुक्रमिक पथरी है, तो यह देखने के लिए जांचें कि क्या कोई कट-उन्मूलन परिणाम ज्ञात है, या यदि आप एक साबित कर सकते हैं। अगर वहाँ है, तो आप अक्सर गैर-परिवर्तनीयता के बारे में सरल प्रेरक तर्क देने के लिए उप-औचित्य संपत्ति का शोषण कर सकते हैं। (जैसे। कट-एलिमिनेशन के माध्यम से स्थिरता सिर्फ यह कथन है कि झूठे के कट-फ्री प्रमाण नहीं हैं, और इसलिए यदि सभी कटौती को समाप्त किया जा सकता है, तो कोई विसंगतियां नहीं हैं।)
यदि कुछ और काम नहीं करता है, तो आप अक्सर तार्किक संबंधों के तर्क के माध्यम से निरंतरता / गैर-व्यवहार्यता परिणाम दिखा सकते हैं। यह बड़ी बंदूक है, जो तब काम करती है जब सेट-थ्योरिटिक शब्दों में, यह रिप्लेसमेंट के स्वयंसिद्ध उपयोग के लिए उबलता है, जो आपको विशाल सेट दिखाने का आदेश देता है। (यही कारण है कि आप इसे सिस्टम एफ के सामान्यीकरण जैसी चीजों को साबित करने के लिए उपयोग कर सकते हैं)

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

ठीक है, अगर मुझे सही याद है, तो

लिए सामान्यीकरण

में साबित हो सकता है , इसलिए प्रतिस्थापन की कोई आवश्यकता नहीं है।

F

$F$

P A^{2}

$PA^2$

— केवह

F^{2}

$F^2$

धन्यवाद, अब मैं देख रहा हूं कि "सिस्टम एफ के सामान्यीकरण" जैसी चीजों से आपका क्या मतलब है। :)

— केवह

@Kaveh, @ नील: प्रणाली एफ का मजबूत सामान्यीकरण पीए 2 का प्रमेय नहीं है, इसके बजाय यह पीए 2 की स्थिरता के बराबर है। बल्कि, रैंक n के सभी शब्दों के लिए मजबूत सामान्यीकरण (रैंक nsted प्रकार की अधिकतम मात्रा की गहराई मापी जा रही है) ACA- n का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है । मुझे रहस्य में शीफ मॉडल बनाने की बात पसंद है ...

— चार्ल्स स्टीवर्ट

@Charles: मैंने इस विचार के बारे में जीन गैलियर के कुछ पत्रों से सीखा, जो आश्चर्यजनक रूप से कम उद्धृत हैं। कुछ हद तक, इस फैंसी दृश्य ने मुझे मिशेल और स्काडरोव के सरल खाते को समझने में मदद की।

— नील कृष्णास्वामी