3-क्षेत्र मान्यता समस्या एनपी-पूर्ण है?

Question

यह ज्ञात है कि निर्धारित त्रिभुज 3-गुना कई गुना है या नहीं, यह एनपी में एक 3-गोला है, 2004 में शाऊल स्लेइमर द्वारा काम के माध्यम से: "क्षेत्र पहचान एनपी में निहित है" arXiv: math / 0x7047v1 [math.GT] । मैं सोच रहा हूं कि क्या यह पिछले पांच या छह वर्षों में एनपी-पूर्ण होने के लिए स्थापित किया गया है? 3-कई गुना गाँठ समस्या के रूप में अनुरूप समस्याओं, एनपी-पूर्ण दिखाया गया है।

Comments

इस समस्या को अब सह-एनपी में भी जाना जाता है, जे। हास में घोषणा देखें, 3-क्षेत्र को पहचानने की जटिलता पर नए परिणाम, ओबरवॉल्फ रेप 9 (2012), नहीं। 2, 1425 {1426।

— अरनौद

@ अरनॉड: इस पर कोई अपडेट? मैं तब से समस्या पर हैस से कुछ भी नहीं पा सकता था। मुझे जो सबसे अच्छा मिल सकता है, वह है GRN पर coNP का परिणाम, जिसे मैंने अपने नए उत्तर में रखा है, और यह हैस का कोई उल्लेख नहीं करता है :(।

— यहोशू ग्रूचो

@JoshuaGrochow क्षमा करें, मेरी टिप्पणी गलत थी और जोएल हस द्वारा दावा (मैं यह भी कहना भूल गया कि यह जी। कुपरबर्ग के साथ था) जीआरएच मान रहा था। जहाँ तक मुझे पता है, एक पूरा लेखन अभी तक दिखाई नहीं दिया है।

— अरनौद

Answer 1

यदि यह एनपी-पूर्ण है, तो आपने यह साबित नहीं किया होगा कि 3-मैनिफोल्ड्स के बहुवचन-समय की गणना करने वाला (समान रूप से) बहुपद के समय का कोई सेट 3-क्षेत्रों को अन्य 3-मैनिफ़ेस्ट से अलग नहीं करता है। यह जानकर मुझे बहुत आश्चर्य होगा।

Comments

विशेष रूप से, एक एनपी-कठोरता परिणाम यह साबित करेगा कि 3-क्षेत्र को बहुपद समय में अन्य होमोलॉजी 3-क्षेत्रों से अलग नहीं किया जा सकता है।

— जेफ

Answer 2

सिर्फ पीटर के जवाब में जोड़ने के लिए: तीन-क्षेत्र में समुद्री मील के लिए अनकही समस्या को एनपी में हस, लगारियास और पिप्पेन्जर द्वारा दिखाया गया था। इयान आगोल ने साबित किया है कि अनकॉन्डिंग समस्या सह-एनपी में है (लेकिन मैथोवर्फ्लो पर उनकी टिप्पणी देखें )। ऐसा लगता है, कम से कम मेरे लिए, कि तीन-क्षेत्र मान्यता समस्या सामान्य तीन-गुना में जीनस गाँठ की तुलना में बहुत अधिक नहीं है। (क्योंकि यह एक सकारात्मक यूलर की विशेषता सतह की उपस्थिति से प्रमाणित है।)

इस प्रकार मैं समझूंगा कि सह-एनपी में तीन-क्षेत्र की मान्यता भी है। इस दिशा में एक कदम यह दिखाना होगा कि इरड्यूअल, टॉरॉयडल मैनिफोल्ड्स की मान्यता एनपी में है, सीधे अगोल से। थोड़ा मजबूत यह दिखाने के लिए होगा कि हेक कई गुना पहचान एनपी में निहित है। तीन-क्षेत्र को इरेड्यूसबल से अलग करना, गैर-टेरोइडल मैनिफोल्ड्स अधिक कठिन है। लेकिन शायद वहाँ काम करने के लिए Geometrization का उपयोग किया जाता है - यदि मैनिफोल्ड बंद हो जाता है, उन्मुख, irreducible और atoroidal तो यह आठ Thurston geometries में से एक है। शायद लगभग सभी सामान्य हेइगार्ड स्प्लिटिंग के माध्यम से ज्यामितीय लेकिन गैर-हाइपरबोलिक अभिव्यक्तियों को प्रमाणित करना आसान है। (हालांकि, हैस, लैगरियास और पिप्पेंजर की जटिलता को किसी तरह बदलना होगा।)

यह प्रमाणित करते हुए कि तीन-गुना में एक हाइपरबोलिक संरचना अधिक कठिन है। दो विचार खुद सुझाते हैं:$M$

गबई के विचारों (और निश्चित रूप से थर्स्टन) के बाद बाहर ड्रिल करने के लिए सही सरल बंद वक्र की तलाश हो सकती है , टोरस सीमा के साथ कई गुना प्राप्त करने के लिए । की हाइपरबोलिक संरचना को प्रमाणित करना बहुत आसान है और कोई यह भी साबित करने के लिए पर्याप्त जानकारी रिकॉर्ड करने में सक्षम हो सकता है कि वापस लाने के लिए भरने से हाइपरबोलसिटी नष्ट नहीं होती है।एन एन एन $M$$N$$N$$N$$M$

बहुत कम उचित दृष्टिकोण यह है कि आभासी हेज अनुमान को इस तरह से साबित करें कि आप या तो क) कवर की डिग्री पर बहुपद के आकार की सीमा प्राप्त करें या बी) बारे में अविश्वसनीय रूप से उपयोगी कुछ सीखें ।$M$

Answer 3

यह पेपर दिखाता है (हालांकि मैंने इसे सत्यापित नहीं किया है) कि 3-क्षेत्र की मान्यता * को सह-अस्तित्व में है GRH:

राफेल जेंटनर। इंटेगर होमोलॉजी 3-क्षेत्र में इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व को स्वीकार करते हैं । $SL(2,\mathbb{C})$arXiv: 1605.08530 [math.GT], 2016

(संभावित रुचि: एक अनुवर्ती पेपर आरएक्सएवी: 1610.04092 [math.GT] इसका उपयोग ग्रोबनर ठिकानों का उपयोग करके एक एल्गोरिथ्म विकसित करने के लिए किया जाता है।)

* तकनीकी रूप से यह कहा गया है कि 3-क्षेत्र को पूर्णांक समरूपता के बीच पहचानना 3-क्षेत्रों को सहानुभूति में है GRH मान लेना। मैं इस क्षेत्र का विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मुझे यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि कोई व्यक्ति समकालिक समरूपता की गणना पॉली-टाइम में त्रिकोणीयता के रूप में कर सकता है, और यदि पूर्णांक समरूपता 3-क्षेत्र के मेल नहीं खाती है, तो यह निश्चित रूप से नहीं है 3-क्षेत्र।