सैविच की प्रमेय पर तंग निचले सीमा

Question

सबसे पहले, मैं किसी भी मूर्खता के लिए अग्रिम में माफी मांगता हूं। मैं किसी भी तरह से जटिलता सिद्धांत पर विशेषज्ञ नहीं हूँ (इससे बहुत दूर! मैं एक स्नातक हूँ जो जटिलता सिद्धांत में अपनी पहली कक्षा ले रहा है) यहाँ एक सवाल है। अब Savitch की प्रमेय कहा गया है कि

$$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^2\right)$$ अब मैं उत्सुक अगर अगर यह कम बाध्य तंग था हूँ, यानी की तर्ज पर कुछ है जो प्राप्त करने योग्य नहीं है।$\text{NSPACE}\left(f\left(n\right)\right) \subseteq \text{DSPACE}\left(\left(f\left(n\right)\right)^{1.9}\right)$

ऐसा लगता है कि यहाँ कुछ सीधा-सादा दहनशील तर्क होना चाहिए - नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन के लिए कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ में प्रत्येक नोड में केवल एक आउटगोइंग एज होता है, जबकि एक नॉन-डिटरिनिस्टिक ट्यूरिंग मशीन के कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ में प्रत्येक नोड अधिक हो सकता है एक आउटगोइंग एज से। सैविच का एल्गोरिथ्म क्या कर रहा है, किसी भी संख्या के आउटगोइंग एज के साथ कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ़ को आउटगोइंग किनारों के साथ परिवर्तित कर रहा है ।$<2$

चूंकि कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ एक अद्वितीय टीएम (इस बारे में निश्चित नहीं है) को परिभाषित करता है, उत्तरार्द्ध का संयोजन आकार लगभग निश्चित रूप से पूर्व की तुलना में बड़ा है। यह "अंतर" शायद का एक कारक है , शायद कम - मुझे नहीं पता। बेशक, बहुत कम तकनीकी मुद्दों पर काम किया जाना है, जैसे कि आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि कोई लूप और आगे नहीं हैं, लेकिन मेरा सवाल यह है कि क्या यह इस तरह से एक बात साबित करना शुरू करने का एक उचित तरीका है। $n^2$

Answer 1

यह एक जाना माना खुला प्रश्न है। आप जटिलता सिद्धांत में कई खुले प्रश्न देखेंगे जिसके लिए आप आश्चर्यचकित होंगे कि कैसे कोई भी उन्हें हल करने में कामयाब नहीं होता है। इसका एक कारण यह है कि हमें आपके हल करने में हमारी मदद करने के लिए आप जैसे नए लोगों की आवश्यकता है :)

इस क्षेत्र में नवीनतम परिणाम के लिए, यह दिखाते हुए कि सैवच का एल्गोरिथ्म कुछ प्रतिबंधित मॉडल में इष्टतम है, एरोन पोटेचिन का एफओसीएस पेपर देखें ।

विशेष रूप से, वह अच्छे अवलोकन से शुरू होता है क्योंकि एक नियतात्मक TM के कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ में केवल एक आउटगोइंग एज (इनपुट फिक्स करने के बाद) होता है, कोई इसे अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के रूप में सोच सकता है, और इसलिए प्रश्न निम्न जैसा कुछ हो जाता है: एक निर्देशित ग्राफ की एन के साथ दो विशेष कोने कोने रों , टी , अगर हम इसे एक करने के लिए नक्शे एन शिखर अनिर्दिष्ट ग्राफ जी ' (यह भी साथ विशेष कोने रों ' , टी ' ) ऐसा है कि में प्रत्येक बढ़त के अस्तित्व जी ' पर निर्भर करता है जी में एक किनारे और एस से एक रास्ता है$G$$n$$s,t$$N$$G'$$s',t'$$G'$$G$$s$करने के लिए में जी iff वहाँ के बीच एक रास्ता है रों ' और टी ' में जी ' , कितना बड़ा एन से हो गया है n ।$t$$G$$s'$$t'$$G'$$N$$n$

कि Savitch एल्गोरिथ्म इष्टतम है दिखाने के लिए, एक की जरूरत है कि दिखाने के लिए जा कम से कम करने के लिए किया 2 Ω ( लॉग ऑन 2 n ) = n Ω ( लॉग एन ) । दिखाने के लिए एल ≠ एन एल , यह दिखाने के लिए कमजोर बाध्य पर्याप्त होता है कि एन > एन सी हर निरंतर के लिए ग । मैं बहुत यकीन है कि यहां तक कि कर रहा हूँ एन > n 10 ज्ञात नहीं है, हालांकि शायद कुछ ऐसा एन ≥ एन 2 कुछ इतना दिलचस्प नहीं कारणों के लिए जाना जाता है।$N$$2^{\Omega(\log^2 n)} = n^{\Omega(\log n)}$$L\neq NL$$N > n^c$$c$$N > n^{10}$$N \geq n^2$

Answer 2

मुझे लगता है कि हम नहीं जानते कि क्या यह तंग है। अन्यथा हम कि पता होगा ।$L \neq NL$

Comments

अच्छी बात है, धन्यवाद :) दूसरे सवाल पर - क्या आपको इस तरह की बात दिखाने के लिए दहनशील दृष्टिकोण में कोई स्पष्ट खामियां दिखाई देती हैं?

— गभगोह

सैविच की प्रमेय एक गैर-नियतात्मक एफ (एन) -स्पेस एल्गोरिदम को एक ओ (एफ (एन)) गहराई (एफ (एन) ^ 2 दे) के साथ विभाजित करके और जीतकर उपयोग करने के लिए एक विशिष्ट एल्गोरिथ्म है। निचली सीमा को साबित करने में यह दिखाना शामिल है कि सभी एल्गोरिदम जो कम इनपुट का उपयोग करते हैं, कुछ इनपुट पर विफल होते हैं। यही कारण है कि एल = एनएल कठिन है (और पी = एनपी कठिन है)।

— डेरिक स्टोल

हम नहीं जानते कि क्या यह इस अर्थ में तंग है कि हम नहीं जानते कि 2 सबसे अच्छा है जो एक कर सकता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि हम नहीं जानते हैं ) ⊆ डी एस पी एक सी ई ( ( च ( एन ) ) 1.9 ) । $NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$

— केवह

खैर, हम नहीं करते। कोई भी सुधार (यहां तक ​​कि विशिष्ट , जैसे लॉग एन ) एक बड़ी सफलता होगी। $f$$\log n$

— डेरिक स्टोले

@ डायरिक स्टोले: आप मेरी टिप्पणी के बिंदु को याद कर रहे हैं। केवल सकारात्मक जवाब जानते हुए भी कि अर्थ होगा , कैरोलिना के तर्क नकारात्मक जवाब जानते हुए भी, यानी knwoing की कठिनाई के लिए कोई सबूत नहीं देता एन एस पी एक सी ई ( च ( एन ) ) ⊆ डी एस पी एक सी ई ( ( f ( n ) ) 1.9 ) L बनाम N L की मदद नहीं करता है । $L \neq NL$$NSpace(f(n)) \subseteq DSpace((f(n))^{1.9})$$L$$NL$

— केवह