घन हैमिल्टन के रेखांकन में हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या की गणना?

Question

क्यू हैमिल्टन के रेखांकन में सबसे लंबे चक्र का एक निरंतर कारक सन्निकटन खोजने के लिए यह भार है। क्यूबिक हैमिल्टनियन ग्राफ में कम से कम दो हैमिल्टनियन चक्र हैं।$NP$

घन हैमिल्टन के रेखांकन में हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या पर सबसे अच्छी तरह से ज्ञात ऊपरी बाउंड और लोअर बाउंड क्या हैं? क्यूबिक हैमिल्टनियन ग्राफ को देखते हुए, हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या ज्ञात करने की जटिलता क्या है? क्या यह # -hard है?$P$

Answer 1

3-नियमित हैमिल्टन के ग्राफ में हैमिल्टनियन सर्किट की गणना # पी-पूर्ण है, जो निम्नानुसार है।

प्रमाण स्केच । # पी में सदस्यता तुच्छ है, इसलिए हम केवल # पी-कठोरता दिखाएंगे।

Li andkiewicz, Ogihara और Toda [LOT03] की धारा 3 से पता चलता है कि हैमिल्टनियन सर्किट की गणना 3-नियमित (और वास्तव में एक ही समय में planar) ग्राफ # P-complete है। इसके अलावा, # 3SAT से उनकी कमी संतोषजनक 3CNF सूत्र हैमिल्टन के रेखांकन के लिए। इसलिए, आप पहले से ही 3-नियमित हैमिल्टन के ग्राफ में हैमिल्टन सर्किट की गिनती करने के लिए # 3SAT को कम कर सकते हैं दिए गए 3CNF सूत्र में एक तुच्छ समाधान जोड़कर और फिर इसे [LOT03] में कमी का उपयोग करके हैमिल्टन सर्किट की गिनती में कमी ला सकते हैं। QED ।

[LOT03] मैकीज लियोविक्विज़, मित्सुनोरी ओघारा और सिनोस्यूक टोडा। दो-आयामी ग्रिड और हाइपरक्यूब के सबग्राफ में स्व-परहेज की गिनती की जटिलता। सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान , 304 (1-3): 129-156, जुलाई 2003. http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

Comments

अच्छा उत्तर। क्या आप घन हैमिल्टन के रेखांकन में हैमिल्टनियन चक्रों की संख्या पर किसी ऊपरी बंधे या निचले बंध के बारे में जानते हैं?

— मोहम्मद अल-तुर्कतानी

$\le^p_{\text{r-shift}}$

Answer 2

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

Comments

धन्यवाद डेविड अच्छा जवाब के लिए, काश मैं एक से अधिक जवाब स्वीकार कर सकता।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

Answer 3

कुछ ग्राफ़ में ठीक तीन हैमिल्टन सर्किट हैं:

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

यदि कोई टेट्राहेड्रोन के प्लेन ग्राफ से शुरू होता है, जिसमें बिल्कुल तीन हैमिल्टन सर्किट होते हैं, और एक सिंगल वर्टेक्स को काटकर एक नया प्लानर 3-जुड़ा हुआ ग्राफ बनाता है, तो एक नया ग्राफ मिलता है जिसमें ठीक तीन हैमिल्टन सर्किट होते हैं। यदि कोई एक समय में एक शीर्ष को काटता रहता है, तो एक ग्राफ का परिवार तीन हैमिल्टन सर्किट के साथ मिलता है।

अतिरिक्त टिप्पणी:

इस सवाल पर भी कुछ काम किया गया है कि चक्र के अलावा किन ग्राफों में एक हैमिल्टन सर्किट होता है:

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

विशेष प्रकार के रेखांकन में हैमलेक्शनियन सर्किट के बारे में एक बहुत अच्छा सर्वेक्षण पेपर जिसमें हैमिल्टनियन सर्किट की संख्या से संबंधित एक अनुभाग है, और ऊपर दिए गए पेपर के साथ कुछ समस्याओं को ठीक करता है:

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf