SAT के अनूठे समाधानों का सत्यापन

25

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: CNF सूत्र और असाइनमेंट दिया गया है जो इस सूत्र को संतुष्ट करता है, क्या इस सूत्र के लिए एक और संतोषजनक असाइनमेंट है?

इस समस्या की जटिलता क्या है? (यह सबसे निश्चित रूप से एनपी में है, लेकिन क्या यह एनपी-हार्ड भी है?)

क्या होगा यदि आपको असाइनमेंट नहीं दिया गया है और आप केवल यह तय करना चाहते हैं कि क्या फॉर्मूला में एक अद्वितीय संतोषजनक असाइनमेंट है?

धन्यवाद।

— J--
स्रोत

13

आपकी पहली समस्या अक्सर एक होमवर्क व्यायाम है। संकेत: किसी भी सूत्र F को देखते हुए, एक सूत्र F 'को डिज़ाइन करें जहाँ सर्व-शून्य असाइनमेंट तुच्छ रूप से इसे संतुष्ट करता है, और एक दूसरा संतोषजनक असाइनमेंट F मौजूद है' iff F संतोषजनक है।

— रयान विलियम्स

1

@ Hsien-Chih चांग, हम आपके रिटैग से पहले सामने वाले पेज पर Oded का नाम रखते थे, retagging अत्यावश्यक नहीं है, यह अच्छा होगा यदि उनका नाम थोड़ी देर वहाँ रहे। :)

— केव

1

@Kaveh: उफ़, क्षमा करें। मुझे लगता है कि मैं किसी तरह यह मान लेता हूं कि वह रहेगा और लगातार अधिक से अधिक अच्छे उत्तर देगा, इसलिए उसका नाम मुख्य पृष्ठ पर अक्सर दिखाई देगा :)

— ह्सियन-चीह चांग

@ Hsien-Chih चांग, मुझे भी उम्मीद है। :)

— केव

27

यह निर्णय लेने की समस्या कि क्या किसी दिए गए CNF फॉर्मूले में किसी दिए गए के अलावा एक संतोषजनक असाइनमेंट है, एक तुच्छ समाधान को जोड़ने के लिए CNF फॉर्मूला को परिवर्तित करके आसानी से NP-complete दिखाया जाता है। इस समस्या को [YS03] में "SAT का एक और समाधान समस्या (ASP)" कहा जाता है, जहां इसका उपयोग एक व्यवस्थित प्रमाण देने के लिए किया जाता है कि (कई अन्य समस्याओं के ASP के निर्णय संस्करण) NP- पूर्ण भी हैं।

यह तय करने की समस्या कि क्या किसी दिए गए CNF फॉर्मूले में एक अद्वितीय संतोषजनक असाइनमेंट है या नहीं (इसलिए आपको "नहीं" का जवाब देना होगा यदि फॉर्मूला में कोई संतोषजनक असाइनमेंट या एक से अधिक संतोषजनक असाइनमेंट नहीं है) US -complete है। अमेरिका में UP और coNP दोनों हैं ।

संदर्भ

[YS03] ताकायुकी यातो और तकाहीरो सेता। एक और समाधान और पहेली के लिए अपने आवेदन को खोजने की जटिलता और पूर्णता। IEICE लेनदेन इलेक्ट्रॉनिक्स, संचार और कंप्यूटर विज्ञान के बुनियादी ढांचे पर, E86-A (5): 1052–1060, मई 2003।

संपादित करें : इस उत्तर के एक पुराने संस्करण (संशोधन 1) में निर्णय संस्करण और खोज संस्करण के बीच एक भ्रम था। इसे ठीक कर लिया गया है।

— त्सुयोशी इतो
स्रोत

6

बस एक नोट: "एक अन्य समाधान समस्या" की एनपी-पूर्णता लोकगीत है, जिसे 2003 से बहुत पहले से जाना जाता है। (हो सकता है कि 1970 का संदर्भ हो, लेकिन प्रमाण इतना आसान है कि मुझे संदेह है।)

— रयान विलियम्स

@ रेयान: नोट के लिए धन्यवाद। मैंने [YS03] को स्पष्ट करने के लिए उत्तर को संपादित किया।

— त्सुयोशी इतो

22

मैं योरम मूसा को याद करता हूं और स्वयं इस समस्या का अध्ययन 1980 के दशक के मध्य में (कुछ एप्लिकेशन के प्रकाश में) कर रहा था और यह खोज रहा था कि कई प्राकृतिक एनपीसी समस्याओं के लिए दूसरा / वैकल्पिक समाधान खोजने की समस्या (या यह मौजूद है या नहीं) यह निर्णय लेना एनपीसी है। फिर हमें पता चला कि यह पता था, लेकिन मैं रेफरी को याद नहीं करता, और एक को खोजने में असफल रहा (यानी, 1980 के दशक के मध्य से पहले का। लेकिन मुझे यकीन है कि मैं उपरोक्त को सही ढंग से याद करता हूं।

बस रयान की ओर एक टिप्पणी। तथ्य यह है कि एक प्रमेय को वर्तमान वर्गों में एक अभ्यास के रूप में दिया जा सकता है, इसे कम आकर्षक नहीं बनाता है। यह एक पेपर में प्रकाशित किया जाना चाहिए था जो उस समय एक पर्याप्त शीर्षक के रूप में पाया गया था ...

सोने का पानी चढ़ा हुआ

— सोने का पानी चढ़ा हुआ
स्रोत

15

अरे, आपका स्वागत है! मैं आपको यहाँ देखने के लिए बहुत उत्साहित हूँ :)

— MS Dousti

12

यहाँ, मैं निम्नलिखित पत्र का एक अंश लिखता हूँ:

Valiant, LG और Vazirani, VV 1986. एनपी अद्वितीय समाधानों का पता लगाने के रूप में आसान है। या। कंप्यूटर। विज्ञान। 47, 1 (नवंबर 1986), 85-93। DOI = http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(86)90135-0

प्रत्येक ज्ञात एनपी-पूर्ण समस्या के लिए, इसके उदाहरणों के समाधानों की संख्या एक बड़ी सीमा से भिन्न होती है, जो शून्य से लेकर कई तक होती है। यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या एनपी-पूर्ण समस्या की अंतर्निहित अस्थिरता इस व्यापक बदलाव के कारण होती है। हम बेतरतीब बहुपद समय पुनर्विकास की धारणा का उपयोग करते हुए इस प्रश्न का नकारात्मक उत्तर देते हैं। हम दिखाते हैं कि SAT के उदाहरणों के बीच अंतर करने की समस्याएं शून्य या एक समाधान है, या एक अद्वितीय समाधान वाले SAT के उदाहरणों को खोजने के लिए, यादृच्छिक कटौती के तहत SAT के रूप में कठिन हैं।

मैं भी प्रासंगिक कागज को देखने का सुझाव देता हूं:

बेगेल, आर।, बुहरमैन, एच।, और फोर्ट्वेन, एल। 1998. एनपी अद्वितीय समाधान का पता लगाने के लिए उतना आसान नहीं हो सकता है। में कम्प्यूटिंग के सिद्धांत पर तीसवां वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही (- 26, 1998 डलास, टेक्सास, संयुक्त राज्य अमेरिका, 24 मई)। STOC ’९। एसीएम, न्यूयॉर्क, एनवाई, 203-208। DOI = http://doi.acm.org/10.1145/276698.276737

— एमएस डौस्ती
स्रोत

6

पहली समस्या एनपी-पूर्ण है, जबकि दूसरी अद्वितीय सत्सिफ़बिलिटी की समस्या है जो सह-एनपी-कठोर है और इसकी कक्षा (Co-NP सेट के साथ NP सेट का अंतर)। $DP=\{(L_1 ∩ L_2)| L_1 \in NP, L_2\in CoNP\}$

एंड्रियास ब्लास और यूरी गुरेविच, अद्वितीय संतुष्टि समस्या पर,

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी
स्रोत

1

एक छोटी सी बात: दूसरी समस्या एक वादा समस्या नहीं है।

— त्सुयोशी इटो

1

मैंने महसूस किया था और इसे ठीक कर दिया था, लेकिन फिर भी इसे जगह देने के लिए धन्यवाद!

— त्सुयोशी इतो

6

वैसे, मैंने आपके उत्तर से कुछ भी कॉपी नहीं किया है, इसलिए मुझे पता नहीं है कि आपकी निम्न टिप्पणी का क्या अर्थ है: "जब आप किसी अन्य उत्तर से कॉपी करते हैं, तो कृपया इसका संकेत दें।" मैंने अपने जवाब का संदर्भ मेरे एक अन्य पोस्ट से कॉपी किया। MathOverflow ( mathoverflow.net/questions/31251/… ) पर, लेकिन मुझे नहीं लगता कि आप इसका उल्लेख कर रहे हैं।

— त्सुयोशी इतो

2

दोनों समस्याओं का समाधान, जटिल सैट के साथ-साथ प्राचीन सैट, जटिलता के पूर्ण वर्गीकरण के साथ, कागज में पाया जा सकता है

एल। जुबान: सामान्यीकृत अद्वितीय संतोषजनकता समस्या के लिए डायकोटॉमी प्रमेय http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-48321-7_27

— मिकी हरमन
स्रोत