क्या रूबिक्स क्यूब को हल करने के लिए आवश्यक चालों की संख्या में स्थानीय मैक्सिमा है?

Question

पीटर शोर ने रुबिक्स क्यूब को हल करने की जटिलता पर एक पहले के सवाल का जवाब देने के प्रयास के संबंध में एक दिलचस्प बिंदु सामने लाया । मैंने यह दिखाने की बजाय भोली कोशिश की थी कि इसे एनपी में समाहित किया जाए। जैसा कि पीटर ने कहा, मेरा दृष्टिकोण कुछ उदाहरणों में विफल रहता है। ऐसे उदाहरण का एक संभावित मामला वह है जहां पथ की लंबाई में एक स्थानीय अधिकतम मौजूद है। इससे मेरा मतलब है कि क्यूब को कॉन्फ़िगरेशन से हल करने में चालें लग सकती हैं , और किसी भी स्थिति से क्यूब को हल करने के लिए या चालें जो से चाल में पहुंच सकती हैं । अब, यह जरूरी नहीं है कि अगर ऐसी समस्या है$n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$$S_A - 1$$A$$S_A$सामान्य रूप से घन को हल करने के लिए आवश्यक अधिकतम चालें हैं ( उस घन के लिए भगवान की संख्या ), लेकिन निश्चित रूप से एक समस्या है यदि उस घन के लिए भगवान की संख्या से कड़ाई से कम है। तो मेरा सवाल है कि क्या ऐसी स्थानीय अधिकतम सीमा मौजूद है? यहां तक ​​कि घन के लिए एक जवाब मेरे लिए ब्याज की होगी।$S_A$$3 \times 3 \times 3$

Comments

हालाँकि मेरे पास एक उदाहरण नहीं है, मुझे आश्चर्य होगा अगर वहाँ नहीं हैं, क्योंकि इसका मतलब यह है कि हम भगवान के नंबर की गणना केवल एक कॉन्फ़िगरेशन ढूंढकर कर सकते हैं जो एक स्थानीय अधिकतम है (यह एक कठोर तर्क नहीं है, हालांकि)।

— त्सुकोशी इतो

@Tsuyoshi आह, लेकिन यह पता नहीं चल सका है कि भगवान की संख्या की गणना के बाद तक स्थानीय मैक्सिमा थे या नहीं! लेकिन मैं इस बात से सहमत हूं कि मुझे उम्मीद है कि ये स्थानीय मैक्सिमा मौजूद हैं। मुझे अभी पता नहीं है, और यह पता लगाने में दिलचस्पी होगी।

— जो फिट्ज़सिमों

@ जो: हाँ, यह वही है जो मेरे तर्क के बारे में कठोर नहीं है। मुझे और अधिक आश्चर्य होगा :) अगर यह साबित करना संभव है कि संपूर्ण खोज को पूरा किए बिना स्थानीय मैक्सीमा नहीं हैं।

— त्सुओशी इटो

@ त्सुयोशी ऐसा लगता है कि स्थानीय मैक्सीमा बहुत कम पथ लंबाई के लिए नहीं हो सकता है, और केवल भगवान की संख्या के करीब होने की संभावना है, यही कारण है कि मुझे लगता है कि यह इतना निश्चित नहीं है कि वे मौजूद हैं।

— जो फिट्ज़सिमों

मुझे पता है कि मनमाने समूहों के लिए केली ग्राफ में स्थानीय मैक्सिमा हो सकती है। मैं भूल गया कि मैंने यह परिणाम कहां देखा है, लेकिन मुझे यकीन है कि मैंने इसे कहीं देखा था। इसलिए जब तक कि रूबिक का क्यूब समूह किसी तरह विशेष नहीं है, एक को उम्मीद है कि इसके पास स्थानीय मैक्सिमा भी है।

— पीटर शोर

Answer 1

टॉमस रोकिकी से यह सवाल पूछने पर तुरंत सही उत्तर मिला ("हाँ, स्थानीय मैक्सीमा मौजूद है"):

यदि कोई स्थिति कुल समरूपता प्रदर्शित करती है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम (शुरुआत को छोड़कर) सभी की आवश्यकता है। थोड़ा विचार यह स्पष्ट करना चाहिए कि क्यूटीएम [क्वार्टर-मोड़ मीट्रिक] में ऐसा क्यों है। HTM [आधा-मोड़ मीट्रिक] के लिए यह थोड़ा अधिक सूक्ष्म है लेकिन बहुत बुरा नहीं है।

...

ऐसी स्थिति पोंस एसिनोरम है, जो क्यूटीएम में दूरी 12 और एचटीएम (यू 2 डी 2 एफ 2 बी 2 एल 2 आर 2) में दूरी 6 है।

मैं यह नहीं देखता कि अर्ध-मोड़ मीट्रिक के लिए ऐसा क्यों है; लेकिन क्वार्टर-टर्न मीट्रिक के लिए यह स्पष्ट है। कुल समरूपता वाली स्थिति में, सभी पड़ोसी स्थिति समान पथ की लंबाई पर होनी चाहिए (चूंकि सभी चाल समरूपता के बराबर हैं)। तो कुल समरूपता वाली स्थिति या तो स्थानीय अधिकतम या सख्त स्थानीय न्यूनतम होनी चाहिए। लेकिन सख्त स्थानीय मिनीमा मौजूद नहीं हो सकता है ... कुछ चाल चलनी होती है जो दूरी को हल करने की स्थिति से कम हो जाती है, बस दूरी की परिभाषा से। समरूपता तर्क घन में अनुवाद करता है, जैसा कि उदाहरण स्थिति प्रदान करता है।$n \times n \times n$

Comments

क्या सरल तर्क है, यह शानदार है!

— सीन-चिह चांग 張顯 '

बहुत बढ़िया, यह बहुत अच्छा तर्क है!

— जो फिट्जसिमों

Answer 2

यहाँ एक अत्यंत न्यायिक तर्क दिया गया है जो बताता है कि स्थानीय मैक्सीमा कहाँ पाया जा सकता है। चलो पदों कि वास्तव में आवश्यकता की संख्या हो घ हल करने के लिए ले जाता है। ऐसी स्थिति से प्रत्येक चाल घन को दूरी d - 1 , d या d + 1 तक ले जाती है ; इसलिए कुल N d - 1 + N d + N d + 1 पद हैं जो सुलभ हैं। प्रत्येक पद से एम चालें हैं , जिससे एम नए पदों पर अग्रसर हैं ; दूरी पर एक स्थिति $N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$एक स्थानीय अधिकतम है जब इन पदों में से कोई भी दूरी d + 1 पर नहीं है । यदि हम इन पदों को समान रूप से सुलभ पदों से यादृच्छिक रूप से खींचे जाने के लिए लेते हैं (जो निश्चित रूप से, वे नहीं हैं; यह अनुमानी हिस्सा है), हमारे पास है:$M$$d+1$

$$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$$

दूरी पर स्थानीय मॅक्सिमा की अपेक्षित संख्या है एन डी एक्स डी ।$d$$N_d X_d$

$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$

Comments

$N_{d-1}+N_{d}+N_{d+1}$$N_d$$d$$d-1$$d$$d-1$$d+1$$d$। मुझे नहीं पता कि ये हालात कितने सामान्य या दुर्लभ होंगे।

— जो फिट्जसिमों