क्या कुशल सामान्य बोनफरोनि-शैली की सीमाएं ज्ञात हैं?

संभावना सिद्धांत में एक क्लासिक समस्या अधिक विशिष्ट घटनाओं के संदर्भ में किसी घटना की संभावना व्यक्त करना है। सामान्य स्थिति में, कहा जा सकता है । आइए लिखने घटना के लिए । $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ $AB$ $A \cap B$

$P[\cup A_i]$ $A_i$

पी [\cup ए_{मैं}] \leq Σ पी [ए_{मैं}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

पी [\cup ए_{मैं}] \leq \underset{मैं}{Σ} पी [ए_{मैं}] - \underset{जे}{अधिकतम} \underset{मैं \neq जे}{Σ} पी [ए_{मैं} ए_{जे}] ।

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

घटनाओं की निर्भरता संरचना को कोने में कोने के चौराहे के साथ जुड़े घटना की संभावना का प्रतिनिधित्व करने वाले किनारे के वजन के साथ, साथ एक भारित हाइपरग्राफ के रूप में सोचा जा सकता है । $A_i$

एक समावेश-बहिष्करण शैली तर्क घटनाओं के बड़े और बड़े उपसमुच्चय को एक साथ मानता है। ये बोन्फेरोनी की उपज देते हैं । ये सीमाएँ कुछ आकार तक किनारों के लिए सभी भार का उपयोग करती हैं । $k$

यदि निर्भरता संरचना "काफी अच्छी" है, तो लोवेज़ लोकल लेम्मा का उपयोग चरम मान 0 और 1 से दूर संभावना को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है। बोनफेरोनी दृष्टिकोण के विपरीत, एलएलएल निर्भरता संरचना के बारे में काफी मोटे जानकारी का उपयोग करता है।

अब मान लें कि निर्भरता संरचना में अपेक्षाकृत कम वजन गैर शून्य हैं। इसके अलावा, कई घटनाओं के जोड़ो में स्वतंत्र हैं अभी तक स्वतंत्र नहीं हैं (और अधिक आम तौर पर, यह काफी संभव है कि का एक सेट देखते हैं कि लगता है कि की घटनाओं परस्पर स्वतंत्र नहीं है, लेकिन है हर के लिए वार स्वतंत्र )। $k$ $r$ $r < k$

क्या यह स्पष्ट रूप से एक तरह से बोन्फ्र्रोनी / कॉन्यियस सीमा को बेहतर बनाने के लिए घटनाओं की निर्भरता संरचना का उपयोग करना संभव है, जिसे कुशलता से गणना की जा सकती है?

मुझे उम्मीद है कि उत्तर हाँ है, और संदर्भों के लिए संकेत की सराहना करेंगे। मुझे 1976 से हंटर के पेपर की जानकारी है, लेकिन यह केवल जोड़ीदार निर्भरता से संबंधित है। हंटर आकार 3 या उससे अधिक की निर्भरता संरचना में किनारों की अनदेखी करके गठित ग्राफ में पेड़ों को फैलाने पर विचार करता है।

डेविड हंटर, एक अपर बाउंड फॉर द प्रोबेबिलिटी ऑफ़ अ यूनियन , जर्नल ऑफ़ एप्लाइड प्रोबेबिलिटी 13 597–603। http://www.jstor.org/stable/3212481

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— आंद्रस सलामन
स्रोत

मुझे लगता है कि आपको लाइनियल और निसान द्वारा पेपर "अनुमानित समावेश-बहिष्करण" में जवाब मिलेगा: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aryeh
स्रोत

यह अत्यधिक प्रासंगिक दिखता है (आधिकारिक लिंक link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 है ); एक अनुवर्ती भी है link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 जेफ क्हान, नाथन Linial, और एलेक्स Samorodnitsky द्वारा।

— एंड्रस सलामोन