"टिनी" ग्राफ समरूपता

असममित रेखांकन के परीक्षण समरूपता के परीक्षण की जटिलता के बारे में सोचते हुए ( cstheory पर मेरा संबंधित प्रश्न देखें ), मेरे दिमाग में एक पूरक प्रश्न आया।

मान लीजिए कि हमारे पास एक बहुपद समय ट्यूरिंग मशीन जो इनपुट एक साथ नोड उत्पन्न करता है । $M$ $1^n$ $G_{M,n}$ $n$

हम समस्या को परिभाषित कर सकते हैं : $\Pi_M$

("टिनी" जीआई): एक ग्राफ को देखते हुए , isomorphic to ?) $G=(V,E)$ $G$ $G_{M,|V|}$

दूसरे शब्दों में, हमें किसी दिए गए ग्राफ की तुलना एक निश्चित बहुपद समय ट्यूरिंग मशीन द्वारा उत्पन्न समान आकार के "संदर्भ" ग्राफ के साथ करनी चाहिए । $M$

सभी बहुपद समय ट्यूरिंग मशीनों , हमारे पास , और उनमें से कई के लिए । लेकिन क्या यह सभी लिए सही है ? समस्या ज्ञात है? $M$ $\Pi_M \in NP$ $\Pi_M \in P$
$M$

पहली नज़र में, मैंने सोचा था कि प्रत्येक तुलना में बहुत आसान होना चाहिए , क्योंकि प्रत्येक के लिए उस आकार का केवल एक "संदर्भ" ग्राफ होता है और शायद द्वारा उत्पन्न किए गए रेखांकन के समरूपता / विषमता का शोषण और कुशल हो सकता है। ad-hoc isomorphism tester बनाया जा सकता है ... लेकिन यह सच नहीं है: में कुछ प्रकार की बहुपद समयबद्ध यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन हो सकती है जो पूरी तरह से अलग (संरचना में संदर्भ ग्राफ) रूप में उत्पन्न करने के लिए (nary) इनपुट का उपयोग करती है। बढ़ती है। $\Pi_M$ $GI$ $n$ $M$ $M$ $1^n$ $n$

graph-isomorphism

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

दिलचस्प है, क्या आप एक उदाहरण जानते हैं पी-टाइम ट्यूरिंग मशीन जो ग्राफ उत्पन्न करता है ?

M

$M$

G_{M, N}

$G_{M,N}$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ MohammadAl-Turkistany: एक तुच्छ उदाहरण, जिसके लिए , एक TM जो केवल पृथक कोने (या कोई अन्य TM है जो आउटपुट ) को आउटपुट । व्यापकता के नुकसान के बिना हम एक मॉडल के बारे में भी सोच सकते हैं जिसमें बाइनरी वर्णमाला पर हर बहुपद समय TM एक संदर्भ ग्राफ उत्पन्न करता है: बस टेप के बिट्स को बाद, और के आसन्न मैट्रिक्स के रूप में व्याख्या करें ।

Π_{M} \in P

$\Pi_M \in P$

M

$M$

n

$n$

K_{n}

$K_n$

n^{2}

$n^2$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

— मार्जियो डी बियासी

TM जो गारंटी देता है कि में हैमिल्टनियन चक्र है, तो मुझे लगता है कि में नहीं है ।

M

$M$

G_{M, n}

$G_{M,n}$

Π_{M}

$\Pi_M$

P

$P$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ MohammadAl-Turkistany: मुझे लगता है कि यह सच नहीं है: बस एक TM चुनें जो केवल नोड्स का एक चक्र बनाता है : सभी संदर्भ ग्राफ के लिए - जिसमें हैमिल्टनियन चक्र है - बहुपद समय में आसानी से जांच योग्य है। मेरे मन में एक (बल्कि सरल) जनरेटर के गैर-तुच्छ उदाहरण हैं, जिसके लिए यह दिखाना मुश्किल है कि समस्या ; लेकिन मैं इसे सवाल में जोड़ने से पहले nauty के साथ कुछ परीक्षण करना चाहता हूं।

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— मार्जियो डी बियासी

"इट्स बिट्टी" जीआई के बारे में क्या जहां एक निश्चित एम और एन के लिए हमें यह तय करना होगा कि क्या 1 ^ एन पर उत्पन्न दो रेखांकन समान हैं? (यह एक

— अनगढ़

जवाबों:

[यह एक उत्तर की तुलना में कुछ विस्तारित टिप्पणियों में से एक है।]

1) यदि , तो कोई निश्चित बहुपद है सभी के समय जटिलता पर बाध्य , के लिए भी , कि केवल समय लेने के लिए कहते हैं, : सभी समय के लिए तो , , तो निम्नलिखित जीआई के लिए एक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म है। इनपुट , एक घड़ी के साथ एक ट्यूरिंग मशीन निर्माण करें जो यह सुनिश्चित करता है कि $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ कभी नहीं से अधिक के लिए चलाता आकार के इनपुट पर चरणों , और इस तरह है कि , और उसके बाद का समाधान समय में । $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$

2) के बाद से किसी के लिए , सैनिक के अलावा कोई कठिन है, एक सोच सकते हैं कि की तर्ज पर सबसे अच्छा परिणाम " में नहीं लगता है, एक आशा है कि हो सकता है एक सैनिक-पूर्णता परिणाम है के लिए"। हालाँकि, यह मुझे कम संभावना है कि कोई भी जीआई-पूर्ण होगा, कम से कम निम्नलिखित कारणों से: $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

जीआई पूर्णता के सभी परिणाम मुझे पता है कि ग्राफ के बड़े वर्गों के लिए हैं, बल्कि प्रत्येक आकार का एक ग्राफ होने के बजाय। यहां तक कि अगर आप दक्षता आवश्यकता पूरी तरह से छोड़, मैं रेखांकन के किसी भी सूची के बारे में पता नहीं है ऐसा है कि (या यहां तक कि ) जैसे कि लिए आइसोमॉर्फिज्म का परीक्षण जीआई-पूर्ण है। $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
संबंधित नोट पर, अधिकांश (सभी?) जीआई-पूर्णता परिणाम केवल कई-एक कटौती नहीं हैं, लेकिन निम्नलिखित रूप हैं: एक फ़ंक्शन जैसे कि जीआई का एक उदाहरण है, अन्य सैनिक-पूरा समस्या का उदाहरण है। (ये तुल्यता संबंध, या क्या का सिर्फ पाली समय morphisms हैं Fortnow और मैं "कर्नेल कटौती कहा जाता है।) हम आसानी से बिना शर्त दिखा सकते हैं किसी भी करने के लिए सैनिक से ऐसी कोई कमी नहीं है कि (आप अनुमति देने के लिए परिभाषा को संशोधित भले ही $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ उत्पादन करने के लिए कई रेखांकन)। संकेत: यह दिखाते हुए विरोधाभास प्राप्त करें कि किसी भी ऐसे छवि पूरी तरह से में निहित है । $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) भले ही कोई प्रश्न में सुझाए गए सार्वभौमिक टीएम के आधार पर निर्माण कर सकता है , शायद एक कुशल परीक्षक का निर्माण कर सकता है, बस कुशलता से नहीं। यही कारण है, हो सकता है प्रत्येक के लिए , में है ? $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— जोशुआ ग्रोचो
स्रोत

मैं आपके सवाल का कोई जवाब नहीं है, लेकिन एक और अधिक सीमित संस्करण पर विचार करने का प्रस्ताव जिसके लिए हम दिखा सकते हैं कि यह पी में निहित है $\Pi_M$

आइए हम केवल रेखांकन के परिवारों पर विचार करें जैसे कि किनारों की संख्या लघुगणकीय रूप से बढ़ती है। मैं आपकी समस्या के सूत्रीकरण को फिर से प्रस्तुत करके इसे औपचारिक रूप दूंगा, यह देखने के लिए कि क्या मैंने इसे सही ढंग से समझा है।

किनारों के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ को द्वारा वर्णित किया जा सकता है $G$ $n$ लंबे बिटस्ट्रिंग, बसऊपरी त्रिकोण मेंके आसन्न मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को संक्षिप्त करें। इसलिए $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ कोनेपर संभावित रेखांकन। यह इस प्रकार है कि किसी भी समारोहऐसी है कि $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ सभीलिए रेखांकन के एक परिवार का वर्णन करता है। किसी भी कुशलता से गणना कर सका इस तरह के समारोह के लिएहम परिभाषितके रूप में $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π_{f} ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

एक प्राकृतिक संख्या के लिए चलो इसके द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या है। अब, हम केवल विचार करते हैं कुशलता से गणना कर सका कार्यों के लिए जिसके लिए यह मानती है कि के रूप में ऊपर कहा गया है कि, रेखांकन, जिसके लिए किनारों की संख्या केवल लघुगणकीय बढ़ता के परिवारों है । $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b_{1} (f (n)) \in O (\log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

हम बताते हैं कि कार्यों के इस वर्ग के लिए पी में है $\Pi_f$

चलो इस तरह के एक समारोह हो सकता है और के साथ एक इनपुट ग्राफ होना कोने। हमें संदर्भ ग्राफ कहते हैं । संदर्भ ग्राफ़ में अधिकांश किनारे हैं। इस प्रकार हर MCC (अधिकतम जुड़ा हुआ घटक) में अधिकांश वर्टिस शामिल हो सकते हैं जिनमें से अधिकांश पर हो सकते हैं । ध्यान दें, कि केवल वर्टिकल के साथ किसी भी जोड़ी के ग्राफ के लिए हम बहुपदीय समय wrt में समरूपता की जाँच कर सकते हैं। $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ क्योंकि हम सभी क्रमपरिवर्तन की कोशिश कर सकते हैं। इस प्रकार इनपुट ग्राफ के प्रत्येक MCC को संदर्भ ग्राफ में MCC के रूप में असाइन करने के लिए एक लालची एल्गोरिथ्म का उपयोग करके हम यह पता लगा सकते हैं कि क्या दोनों ग्राफ़ आइसोमॉर्फ हैं।

— जॉन डी।
स्रोत

f

$f$

n

$n$

G

$G$

Π_{f} \in P

$\Pi_{f} \in P$

वास्तव में, यह एक आसान तर्क है जितना मैंने सोचा था। मैं इसे अपने उत्तर में शामिल करूंगा।

— जॉन डी।

Π_{f}

$\Pi_f$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n / \log \log n)$

(\log n)!

$(\log n)!$

(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}

$(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

2^{\sqrt{v \log v}}

$2^{\sqrt{v \log v}}$

O (\log n / \log \log n)

$O(\log n/\log \log n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$