रेखीय कारकों में एक बहुपद कारकों की जाँच अगर

Question

चलो एक बहुपद अंकगणितीय सर्किट द्वारा दिए गए हो आकार के । यह देखते हुए इनपुट के रूप में, वहाँ सब है कि क्या की अलघुकरणीय कारकों की जांच करने के लिए एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म है में रैखिक रूप हैं? एक संबंधित नोट पर, एक रैखिक रूप , क्या हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या का कारक । बेशक, हम दोनों मामलों में बहुपद होने का समय चाहते हैं। आकार के अनुसार, हमारा मतलब कुल आकार से है। इसके अलावा, यह माना जा सकता है कि डिग्री में बहुपद है$f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$$C$$s$$C$$f$$\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$$l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$$l$$f$$f$$n$।

Comments

जब आप कहते हैं कि "आकार " का अर्थ है गेट्स / तारों की संख्या, या कुल बिट-आकार (सर्किट में किसी भी स्थिरांक का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले बिट्स को ध्यान में रखते हुए)? $s$

— जोशुआ ग्रूचो

@ जोशुआग्रोचो, हाँ आकार यहाँ टोल बिट आकार है।

— गोरव जिंदल

तीन टिप्पणियाँ जो आप शायद पहले से ही ध्यान में रखते हैं, लेकिन सिर्फ मामले में: 1. बहुपद समय के बारे में, अंकगणित सर्किट के लिए गुणन एल्गोरिदम आकार में बहुपद हैं और बहुपद की डिग्री , और मैं संबंधित कार्यों के लिए एल्गोरिदम से अवगत हूं जो इसमें चलते हैं केवल आकार में समय बहुपद। 2. नियतांक निर्धारण के बारे में, ये एल्गोरिदम यादृच्छिक होते हैं और निर्धारक वैरिएंट्स चर की संख्या में घातांक हो जाते हैं। 3. दूसरे प्रश्न का अनुवाद PIT समस्या में किया जा सकता है, इसलिए आपके प्रश्न में कुछ विशिष्ट PIT एल्गोरिदम को आरेखित करने की मात्रा है।

— ब्रूनो

मैं यह भी जोड़ता हूं कि मुझे ये समस्याएं बहुत दिलचस्प लगती हैं और मैं जानना चाहता हूं कि इस बारे में पहले से क्या पता है!

— ब्रूनो

फिर से गड्ढे, श्वार्ट्ज-Zippel के माध्यम से बहुपद पहचान परीक्षण / विकिपीडिया और उस क्षेत्र में बहुत सक्रिय अनुसंधान है। (फिर से पीजी

— पीआईटी

Answer 1

जहाँ तक मुझे पता है, वर्तमान में हमारे पास सबसे अच्छा एल्गोरिदम यह जाँचने के लिए है कि क्या (एक अंकगणित सर्किट द्वारा दिया गया है) को रैखिक कारकों में परिवर्तित किया जा सकता है, जो कि Kaltofen (PDF) के यादृच्छिक एल्गोरिथम के माध्यम से होता है, जो वास्तव में सभी अनियमित कारकों के लिए ब्लैकबॉक्स का निर्माण करता है , और किसी भी बड़े क्षेत्र में काम करता है। वास्तव में, सामान्य सर्किट के लिए बहुपद फैक्टराइजेशन की इस समस्या को हाल ही में कोपार्टी, सराफ और शपिल्का ने सामान्य सर्किट के लिए ब्लैकबॉक्स- पीआईटी की समस्या के बराबर दिखाया था ।$f$$f$

जैसा कि ब्रूनो ने उल्लेख किया है, यदि आप किसी दिए गए सर्किट की जांच करने में रुचि रखते हैं, किसी दिए गए द्वारा विभाज्य है , तो यह एक विशिष्ट PIT समस्या को कम करता है। हम यह नहीं जानते हैं कि यह सामान्य रूप से कैसे किया जाता है लेकिन मुझे एक विशेष मामले की जानकारी है जहां हम जानते हैं कि यह कैसे करना है। यह निर्धारित करने के लिए एक नियतकालिक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म (पीडीएफ) है कि क्या किसी दिए गए एक विरल बहुपद विभाजित करता है ।$\ell$$\ell$$f$

(एक और तुच्छ विशेष मामला है जब एक शीर्ष प्रशंसक-इन डेप्थ थ्री सर्किट द्वारा दिया जाता है। वहाँ, भी एक फैन-इन डेप्थ थ्री सर्किट है और हम जानते हैं कि नियतात्मक जीनोमियल समय में PIT कैसे करना है।)$f$$f \bmod \ell$