यादृच्छिक प्रतिबंध और बूलियन कार्यों के कुल प्रभाव का कनेक्शन

Question

बोलो हमारे पास बूलियन फ़ंक्शन है $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ और हम आवेदन करते हैं $\delta$पर -random प्रतिबंध । इसके अलावा, यह कहें कि निर्णय वृक्ष जो यादृच्छिक प्रतिबंध के परिणामस्वरूप को आकार देने के लिए सिकुड़ता है । क्या इसका मतलब यह है कि का प्रभाव बहुत कम है?$f$$T$$f$$O(1)$$f$

Comments

$\delta$ 0 और 1 के बीच एक स्थिरांक है और n पर निर्भर नहीं करता है?

— केव

हाँ। वास्तव । $\delta\in[0,1]$

— अमित लेवी

मुझे यकीन नहीं है कि अगर आप क्या देख रहे हैं, लेकिन स्विचिंग लेम्मा द्वारा, यदि किसी फ़ंक्शन को एक छोटी-चौड़ाई डीएनएफ द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो यह एक स्थिर आकार के निर्णय पेड़ को सिकोड़ देगा। छोटे-चौड़ाई वाले डीएनएफ में कम कुल-प्रभाव होता है, और डीएनएफ के माध्यम से निर्णय वृक्षों को व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए नैतिक रूप से ऐसा लगता है कि यह मामला है।

Answer 1

दावा: यदि -प्रतिबंध में आकार (अपेक्षा में) का निर्णय वृक्ष है , तो ऐसे का कुल प्रभाव ।$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

सबूत स्केच: प्रभाव की परिभाषा से हमारे पास । आइए हम ऊपरी बाध्य को पहले एक n- लागू करके, फिर शेष निर्देशांक उठाकर , और ठीक कर रहे हैं यादृच्छिक सब कुछ को छोड़कर ।$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

अब, अगर del -restriction के आकार के निर्णय वृक्ष को कम कर देता है , तो विशेष रूप से का del -restriction समन्वित पर निर्भर करता है । आइए अब हम एक बेतरतीब अनफ़िक्स किए गए समन्वय ( बीच ) को चुनें, और अन्य सभी को बेतरतीब ढंग से ठीक करें। चूंकि की -restriction ज्यादा से ज्यादा पर निर्भर करता है निर्देशांक, हम (एक बिट पर) एक समारोह है कि अधिक से अधिक संभावना के साथ स्थिर नहीं है मिलता है । इसलिए , आवश्यकतानुसार।$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

टिप्पणी: ऊपर का दावा बिट्स पर एक समता फ़ंक्शन लेने से तंग है ।$O(1/\delta)$