सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म की जटिलता

Question

एक रैखिक प्रोग्राम का समाधान खोजने के लिए सिम्पलेक्स एल्गोरिथ्म पर ऊपरी बाध्य क्या है?

मैं ऐसे मामले के लिए सबूत खोजने के बारे में कैसे जाऊंगा? ऐसा लगता है जैसे कि सबसे खराब स्थिति यह है कि यदि प्रत्येक शीर्ष पर जाना है तो वह । हालांकि व्यवहार में सिंपल एल्गोरिथ्म अधिक मानक समस्याओं के लिए इस की तुलना में काफी तेजी से चलेगा।$O(2^n)$

मैं इस पद्धति का उपयोग करके किसी समस्या की औसत जटिलता के बारे में कैसे हल कर सकता हूं?

किसी भी जानकारी या संदर्भ की बहुत सराहना की जाती है!

Comments

ध्यान दें, जैसा कि एक जवाब में माशा ने कहा , हमारे पास वास्तव में "सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म नहीं है।" एक अलग नियम के विकल्प के आधार पर कई अलग-अलग सिम्पलेक्स एल्गोरिदम हैं।

— त्सुयोशी इटो

आयाम में एक घन है 2 n कोने, और इसलिए इस करता है, तो एक ऊपरी पर (जैसे, क्ली-मिन्टी) क्यूब्स किसी भी सिंप्लेक्स संस्करण के लिए बाध्य। हालांकि, 2 एन पहलुओं के साथ आयाम n में पॉलीहेड्रा होते हैं , जैसे कि दोहरी चक्रीय पॉलीटोप्स, 2 एन से अधिक कोने के साथ, इसलिए 2 एन सामान्य रूप से वर्ग बाधा मैट्रिसेस के लिए सिंप्लेक्स विधि के चलने के समय के लिए तत्काल ऊपरी बाध्य नहीं है। । $n$$2^n$$n$$2n$$2^n$$2^n$

— राहुल सवाणी

Answer 1

सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म वास्तव में सबसे खराब स्थिति ( क्ले एंड मिन्टी 1972 ) में सभी $2^n$ कोने का दौरा करता है, और यह किसी भी नियतात्मक धुरी नियम के लिए सही साबित होता है। हालाँकि, एक सुस्पष्ट विश्लेषण का उपयोग करते हुए एक लैंडमार्क पेपर में, स्पीलमैन और टेंग (2001) ने साबित किया कि जब एल्गोरिथ्म के इनपुट थोड़े बेतरतीब ढंग से गड़बड़ाए जाते हैं, तो सिंपलेक्स एल्गोरिथ्म का अपेक्षित रनिंग टाइम किसी भी इनपुट के लिए बहुपद होता है - यह मूल रूप से ऐसा कहता है कोई भी समस्या है "पास" एक है जो कि सिम्प्लेक्स विधि कुशलता से हल करेगी, और यह बहुत ही वास्तविक दुनिया के हर रैखिक कार्यक्रम को कवर करती है जिसे आप हल करना चाहते हैं। बाद में, केल्नर और स्पीलमैन (2006) ने पेश किया एक बहुपद समय यादृच्छिक सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म जो ट्रॉली किसी भी इनपुट पर काम करता है, यहां तक ​​कि मूल सिम्पलेक्स एल्गोरिथ्म के लिए भी खराब।

Answer 2

जैसा कि लेव ने कहा, सबसे खराब स्थिति में एल्गोरिथ्म सभी $2^d$ चक्करों पर जाता है जहां $d$ चर की संख्या है। हालाँकि, सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन विशेष रूप से उपयोग किए जाने वाले विशिष्ट धुरी नियम पर भी निर्भर हो सकता है। जहां तक ​​मुझे जानकारी है, यह अभी भी एक खुला प्रश्न है कि क्या उप-घातीय सबसे खराब चल रहे समय के साथ एक विशिष्ट निर्धारक पिवट नियम मौजूद है। कई उम्मीदवारों को कम बाध्य परिणामों से इनकार किया गया है। हाल ही में, फ्रीडमैन, हैनसेन और ज़्विक ने कुछ गैर-यादृच्छिक यादृच्छिक धुरी नियमों के लिए पहले गैर-बहुपद कम सीमाएं दिखाईं, बाद में कुछ सुधारों के साथ ।

हालांकि, लेव द्वारा उल्लिखित सुचारू विश्लेषण परिणाम को जोड़ना: स्पिलमैन और टेंगस सेमिनल पेपर के बाद स्मूद विश्लेषण का परिचय देते हुए, वर्शिनिन ने 2006 में अपनी सीमा में और सुधार किया। उन्होंने दिखाया कि थोड़े विकृत उदाहरणों पर अपेक्षित समय केवल पॉली-लॉगरिदमिक है। $n$ कमी , $n^{86}$ से नीचे ।

Comments

और जैसा कि जेफ़ई ने एक अलग प्रश्न में बताया है ( cstheory.stackexchange.com/questions/2149/… ) वर्तमान सबसे अच्छी उपसंचाई विधि एक प्रकार का दोहरी सिम्प्लेक्स है।

— सुरेश वेंकट

वर्शिन पेपर का लिंक मृत है।

— कुत्स्कम

Answer 3

सिम्प्लेक्स विधि के सबसे खराब-केस और औसत-केस विश्लेषण में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए, आपको "स्मूथेड एनालिसिस: व्हाट द सिंपलेक्स एलगोरिदम आमतौर पर बहुपद समय लेता है।" स्पीलमैन और टेंग द्वारा।

Answer 4

इस बात पर एक अच्छा संदर्भ कि सिम्प्लेक्स बहुपद समय में क्यों नहीं चल रहा है, इसके बजाय कि यह घातीय क्यों है पापादिमित्रिउ और स्टिग्लिट्ज़ कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन, धारा 8.6 जिसमें वे प्रदर्शित करते हैं कि सिम्पलेक्स एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म नहीं है।

Answer 5

$D=200$

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

क्या कोई व्यक्ति सिम्पलेक्स विधि के लिए कठिन समस्याओं के निर्माण के अन्य तरीकों का सुझाव दे सकता है, धीमा लेकिन स्मृति-बद्ध नहीं?

जोड़ा गया: लैटिन वर्गों उर्फ 3 डी-क्रमचय-मैट्रिसेस में कई कोने हैं - कितने?
_{थ्योरी और प्रैक्टिस थ्योरी से ज्यादा करीब हैं क्योंकि वे प्रैक्टिस में हैं।}

Answer 6

मूल सिंप्लेक्स एल्गोरिथ्म वितरित हो सकता है; यह कुछ उदाहरणों पर चक्र करता है। इसलिए, कोई सामान्य बाध्य नहीं है। सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म के विभिन्न संशोधनों के लिए अन्य उत्तर आपको उत्तर प्रदान करते हैं।