रैंडम टर्न ऑर्डर के साथ हेक्स की जटिलता।

मैं हेक्स के एक प्रकार के बारे में सोच रहा हूं , जहां दो खिलाड़ी बारी-बारी से चलते हैं, प्रत्येक खिलाड़ी एक यादृच्छिक पर उठाया गया एक चाल बनाता है। प्रत्येक खिलाड़ी के जीतने के अवसरों को निर्धारित करना कितना कठिन है? यह समस्या स्पष्ट रूप से PSPACE में है, लेकिन यह NP- हार्ड, बहुत कम PSPACE- पूर्ण नहीं हो सकता है। कठिनाइयाँ यह आती हैं कि कैसे यादृच्छिकता एक खिलाड़ी के लिए विकल्पों में से चुनाव करने के लिए मजबूर होना असंभव बना देती है; यदि वह खिलाड़ी भाग्यशाली है, तो उसे दोनों चालें लेने के लिए पर्याप्त चालें मिलती हैं, और यदि खिलाड़ी बदकिस्मत है, तो प्रतिद्वंद्वी को दोनों विकल्पों को ब्लॉक करने के लिए पर्याप्त चालें मिलती हैं। दूसरी ओर, मैं इसके लिए किसी भी बहुपद-कालिक एल्गोरिदम के बारे में नहीं सोच सकता।

cc.complexity-theory board-games

— इति बर-नातान
स्रोत

S को n-बिट बाइनरी स्ट्रिंग होने दें जो यह दर्शाता है कि कौन सा खिलाड़ी टर्न ले रहा है। सबसे खराब स्थिति में, आप मानक हेक्स गेम को पुनर्प्राप्त करते हैं यदि यादृच्छिक अनुक्रम 010101 है ... या 101010 .... तो, आपकी समस्या कम से कम मानक हेक्स की तरह कठिन है।

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

इस खेल की दो संभावित व्याख्याएं हैं। (1) हर मोड़ से ठीक पहले, खिलाड़ी यह निर्धारित करने के लिए एक सिक्का फ्लिप करते हैं कि कौन आगे जाता है। (2) खेल की शुरुआत में, खिलाड़ी एक सिक्का

बार (आकार

बोर्ड पर) फ्लिप करते हैं, और इस क्रम का उपयोग अपने घुमावों पर करते हैं। तुर्कनिस्टी मानती है कि मॉडल (2); मूल प्रश्न अस्पष्ट है, लेकिन उनके कुछ शब्दों से मुझे लगता है कि इताई (1) के बारे में पूछ रहे हैं, जो मानक हेक्स की तुलना में आसान हो सकता है।

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— पीटर शोर

वास्तव में, मेरा मतलब है कि पहली व्याख्या, कदम से ठीक पहले सिक्का फ़्लिप किया गया। इसके अतिरिक्त, मैंने अपने प्रश्न में एक और अस्पष्टता पर ध्यान दिया: वह परिशुद्धता जिसमें मैं संभावना जानना चाहता हूं। जबकि समस्या पूछते समय मैंने जो छाप छोड़ी है वह यह है कि मैं पूर्ण सटीकता में संभावना जानना चाहता हूं, लेकिन मैं केवल लघुगणकीय परिशुद्धता में संभावना जानना चाहता हूं। पीपी और बीपीपी के बीच अंतर की तरह, बाद में अधिक उपयोगी और प्राकृतिक लगता है।

— इटई बार-नटन

@ इताई: एक और सवाल। आप क्यों दावा करते हैं कि यह स्पष्ट रूप से PSPACE में है? यह मुझे लगता है कि यह एक रेफरीड गेम है, जिसका मतलब होगा कि प्राकृतिक जटिलता-सिद्धांत संबंधी ऊपरी सीमा अतिरिक्त है। फीज और किलियन देखें, "मेकिंग गेम्स शॉर्ट।"

— पीटर शोर

@tukistany बेकार तुच्छ नहीं है!

— जेफ

आप पेपर को "रैंडम-टर्न हेक्स एंड अदर सिलेक्शन गेम्स," युवल पेरेज, ओडेड शरम, स्कॉट शेफील्ड और डेविड विल्सन के रूप में देखना चाहते हैं। परिचय से:

"रैंडम-टर्न हेक्स साधारण हेक्स की तरह ही होता है, सिवाय इसके कि बारी-बारी से मुड़ने के बजाय, खिलाड़ी प्रत्येक मोड़ से पहले एक सिक्का उछालते हैं ताकि यह तय किया जा सके कि अगला पत्थर किसे मिलता है। हालांकि साधारण हेक्स का विश्लेषण करना मुश्किल है, रैंडम के लिए इष्टतम रणनीति। -टर्न हेक्स बहुत ही साधारण निकला। "

तो वास्तव में, आपका अंतर्ज्ञान सही था: यह बीपीपी (या शायद पी) में होगा।

— पीटर शोर
स्रोत

मैं बस हैरान हूं कि लोगों ने वास्तव में इस पर काम किया है :) अच्छा संदर्भ!

— सुरेश वेंकट

यह एक बहुत अच्छा सबूत है, भी है। मुझे लगता है कि मैंने स्कॉट शेफ़ील्ड को उनकी बातों में से एक में सुना (लेकिन तब मैं पूरी तरह से इसके बारे में भूल गया जब तक कि यह Google पर बदल नहीं गया)।

— पीटर शोर

इसके अलावा, डेविड विल्सन की वेबसाइट में वास्तव में एक एप्लिकेशन है जो आपको रैंडम-टर्न हेक्स (उनकी प्रकाशित रणनीति के खिलाफ, मेरा मानना है कि) खेलने की अनुमति देता है: dbwilson.com/#software

— एंडी ड्रकर

PSSW के पेपर से प्रेरित, Oded Schramm से प्रेरित और इजरायल की अपनी अंतिम यात्रा में, मैंने महसूस करने के लिए रैंडम-टर्न-शतरंज के कुछ राउंड खेले, यह विशेष रूप से दिलचस्प खेल नहीं है।

— गिल कालई

यह पता चला है कि रैंडम-टर्न गेम्स और बिडिंग गेम्स के बीच एक उल्लेखनीय संबंध (डेविड रिचमैन के कारण) है , जहां खिलाड़ी अगले कदम के लिए बोली लगाते हैं; देख arxiv.org/pdf/0812.3677.pdf और users.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discrete-bidding-games.pdf इस संबंध Peres एट अल के काम का उपयोग कर, बोली हेक्स का अनिवार्य रूप से इष्टतम खेलने के लिए अनुमति देता है। मुझे यह पसंद है क्योंकि बोली लगाने वाले खेल कम से कम अस्थिर रूप से, भाग्य-मुक्त हैं, और मुझे लगता है कि हेक्स की बोली लगाना यादृच्छिक-रूप से हेक्स से खेलने के लिए अधिक संतोषजनक होगा। (हालांकि हर मोड़ पर बोली लगाना एक पागलपन भरा काम हो सकता है।)

— एंडी ड्रकर