3-SUM का गुणक संस्करण

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निम्नलिखित समस्या के समय की जटिलता के बारे में क्या जाना जाता है, जिसे हम 3-एमयूएल कहते हैं?

एक सेट को देखते हुए के पूर्णांकों, वहाँ तत्वों ऐसी है कि ? $S$ $n$ $a,b,c\in S$ $ab=c$

यह समस्या 3-SUM समस्या के समान है, जो पूछती है कि क्या तीन तत्व जैसे कि (या समतुल्य )। 3-SUM को में मोटे तौर पर द्विघात समय की आवश्यकता होती है । 3-एमयूएल के लिए एक समान अनुमान है? विशेष रूप से 3-MUL 3-SUM हार्ड होने के लिए जाना जाता है? $a,b,c\in S$ $a+b+c=0$ $a+b=c$ $n$

ध्यान दें, समय जटिलता गणना के "उचित" मॉडल में लागू होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, हम 3-योग से एक सेट पर कम हो सकता है 3-एमयूएल के लिए पर सेट है, जहां । फिर 3-एमयूएल, समाधान मौजूद है, अगर और केवल अगर । हालांकि, उदाहरणों के लिए रैम मॉडल की तरह, विभिन्न मॉडलों के साथ संख्याओं का यह घातीय प्रहार बहुत खराब होता है। $S$ $S'$ $S'=\{2^x\mid x\in S\}$ $2^a\cdot 2^b=2^c$ $a+b=c$

cc.complexity-theory ds.algorithms time-complexity

— मार्कस जेलसेनियस
स्रोत

आपकी कमी से पता चलता है कि 3-MULT 3-SUM मुश्किल है अगर इनपुट संख्या को घातीय (उर्फ वैज्ञानिक) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

— वॉरेन शूडी

4

3-SUM के लिए कोई भी एल्गोरिथ्म जो केवल इस तथ्य पर निर्भर करता है कि इसके अलावा एक समूह 3-MULT के लिए एक एल्गोरिथ्म में अनुवादित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। इसलिए दोनों को अलग करने वाले किसी भी एल्गोरिदम को संख्याओं के साथ कुछ असामान्य करने की आवश्यकता होगी।

— वारेन शूडी

1

बुरी तरह से पांडित्य होने के लिए, हमें केवल एक अर्धवृत्त की आवश्यकता हो सकती है।

— सुरेश वेंकट

11

SUM से MUL तक की आपकी कमी एक मामूली मानक संशोधन के साथ काम करती है। मान लीजिए कि आपके मूल पूर्णांक { } में थे। परिवर्तन बाद नए पूर्णांक { } में हैं। हम रेंज कम कर देंगे। $3$ $3$ $1,\ldots,M$ $x\rightarrow 2^x$ $2,\ldots,2^M$

पूर्णांकों के किसी भी ट्रिपल पर विचार करें नया सेट में । किसी भी अशून्य के प्रमुख divisors की संख्या है । ऐसे त्रिगुणों की संख्या । इसलिए अभाज्य संख्या की संख्या जो विभाजन की कम से कम एक अशून्य संख्या अधिक से अधिक है । $a,b,c$ $S'$ $ab-c$ $<2M$ $n^3$ $q$ $ab-c$ $2Mn^3$

बता दें कि पहले प्राइम का सेट है। इस तरह के सबसे बड़े प्राइम का आकार सबसे ज्यादा । एक यादृच्छिक प्रधानमंत्री उठाओ । उच्च संभावना के साथ अशून्य में से किसी को विभाजित नहीं होगा , तो हम प्रतिनिधित्व कर सकते हैं प्रत्येक इसके अवशेषों, आधुनिक द्वारा , और अगर एमयूएल पाता है कुछ में $P$ $2M\cdot n^4$ $O(Mn^4\log Mn)$ $p\in P$ $p$ $ab-c$ $a\in S'$ $p$ $3$ $ab=c$ , उच्च संभावना के साथ यह मूल एसयूएम उदाहरण केलिए सही होगा। हमने संख्याओं की सीमा घटाकर { } कर दी है। $S'$ $3$ $0,\ldots, O(Mn^4\log Mn)$

(यह एक मानक आकार में कमी है आप तथ्य यह है कि ध्यान में रखते हुए बेहतर करने के लिए सक्षम हो सकता है। हमेशा के दो शक्तियों का मतभेद हैं ।) $ab-c$ $2$

— Virgi
स्रोत

1

क्या आपने 3MUL के बजाय 3MUL मॉड को प्राइम में नहीं घटाया है यह हो सकता है कि

लेकिन

।

a b = c (\mod () p)

$ab=c \pmod(p)$

a b \neq c

$ab \ne c$

— वॉरेन शुडी

1

हां, जैसा है, यह 3 एमयूएल मॉड पी की कमी है। अच्छी बात।

— कुंवारी

यह एक बहुत ही रोचक दृष्टिकोण है। हालाँकि, हम विशेष रूप से 3-SUM से 3-MUL के एक नियतात्मक कमी में रुचि रखते हैं। क्या आकार में कमी की तकनीक को आरेखित करना संभव होगा?

— मार्कस जलसेनियस

3

क्या आपने कमी की कोशिश की है जहां ? परिणाम वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए आपको कुछ अंकों के लिए राउंड करना होगा। यह सुनिश्चित करने के लिए कि राउंडिंग के बावजूद संख्या सही ढंग से जुड़ती है, आपको थोड़ा यादृच्छिक शोर जोड़ना पड़ सकता है। $S'=\{2^{x/M}|x\in S\}$ $M=\max S− \min S$

— वारेन शूडी
स्रोत

उफ़, राउंडिंग त्रुटि को ठीक करने के लिए यादृच्छिक शोर पर्याप्त नहीं लगता है। हालांकि इन विचारों को अन्य तरीके से 3-MULT दिखाने के लिए कम करने के लिए वादा किया प्रतीत हो रहे हैं 3-राशि से कोई कठिन जैसे के बाद से है,

।

(⌈ x ⌉ + 1) + ⌈ y ⌉ = ⌈ x + y ⌉ + 1

$(\lceil x \rceil + 1) + \lceil y \rceil = \lceil x + y \rceil + 1$

— वॉरेन शूडी

1

समीकरण सही नहीं लगता है (x और y = 2.1 का प्रयास करें)। क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आपका क्या मतलब है?

— राफेल