एक अनंत प्रकार की पदानुक्रम क्यों?

Question

Coq, Agda, और Idris में एक अनंत प्रकार की पदानुक्रम है (टाइप 1: टाइप 2: टाइप 3: ...)। लेकिन यह λC की तरह क्यों नहीं है, लैंबडा क्यूब में सिस्टम जो निर्माणों की गणना के सबसे करीब है, जिसमें केवल दो प्रकार हैं, $*$ और , और ये नियम?$◽$

$$\frac {} {∅ ⊢ * : ◽}$$

$$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ t : T _ 2} {Γ ⊢ (λ \: x : T _ 1, \: t) : (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2)}$$

$$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ T _ 2 : s _ 2} {Γ ⊢ (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2) : s _ 2}$$

यह सरल लगता है। क्या इस प्रणाली की महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं?

Answer 1

वास्तव में, सीओसी का दृष्टिकोण अधिक अभिव्यंजक है - यह मनमाने ढंग से impredicative परिमाणीकरण की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, टाइप $\forall a.\; a \to a$ को स्वयं के साथ $(\forall a.\; a \to a) \to (\forall a.\; a \to a)$ , को प्राप्त करने के लिए त्वरित किया जा सकता है , जो ब्रह्मांड के पदानुक्रम के साथ संभव नहीं है।

इसका व्यापक रूप से उपयोग नहीं किए जाने का कारण यह है कि शास्त्रीय तर्क के साथ अप्रत्यक्ष मात्रा का ठहराव असंगत है। यदि आपके पास यह है, तो आप एक प्रकार के सिद्धांत का मॉडल नहीं दे सकते हैं जहाँ प्रकारों की व्याख्या भोले तरीके से की जाती है --- देखें जॉन रेनॉल्ड्स का प्रसिद्ध पेपर पॉलीमोर्फिज़्म नॉट सेट-थेरैटिक है ।

चूंकि बहुत से लोग सामान्य गणितीय प्रमाणों को मशीन-जांच करने के तरीके के रूप में प्रकार सिद्धांत का उपयोग करना चाहते हैं, वे आम तौर पर टाइप-थ्योरिटिक विशेषताओं के बारे में अनैच्छिक हैं जो सामान्य नींव के साथ असंगत हैं। वास्तव में, कोक ने मूल रूप से अप्रत्यक्षता का समर्थन किया, लेकिन उन्होंने इसे लगातार त्याग दिया।

Answer 2

मैं नील के (उत्कृष्ट, हमेशा की तरह) उत्तर की प्रशंसा करता हूं कि व्यवहार में स्तरों का उपयोग क्यों किया जाता है।

सीओसी की पहली महत्वपूर्ण सीमा यह है कि यह तुच्छ है! एक आश्चर्यजनक अवलोकन यह है कि कोई भी प्रकार नहीं है जिसके लिए आप यह साबित कर सकते हैं कि इसमें एक से अधिक तत्व हैं, उनमें से अनंत संख्या बहुत कम है। सिर्फ 2 ब्रह्माण्डों को जोड़ने से आपको प्राकृतिक रूप से असीम रूप से कई तत्व मिलते हैं, और सभी "सरल" डेटाटिप्स।

दूसरी सीमा संगणना नियम है: CoC केवल पुनरावृत्ति का समर्थन करता है , अर्थात पुनरावर्ती कार्यों में उनके तर्कों की उप-शर्तों तक पहुंच नहीं होती है। इस कारण से, यह एक आदिम निर्माण के रूप में आगमनात्मक प्रकारों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक है, जिससे सीआईसी को बढ़ावा मिला। लेकिन अब एक और समस्या उत्पन्न होती है: सबसे प्राकृतिक प्रेरण नियम (जिसे इस संदर्भ में उन्मूलन कहा जाता है) अपवर्जित मध्य के साथ असंगत है! ये समस्याएँ प्रकट नहीं होती हैं यदि आप सार्वभौमिक के साथ विधेय प्रकार के लिए प्रेरण नियम को प्रतिबंधित करते हैं।

निष्कर्ष में, ऐसा प्रतीत होता है कि सीओसी में न तो अभिव्यंजना है और न ही दृढ़ता की स्थिरता है जो आप एक मूलभूत प्रणाली में चाहते हैं। ब्रह्मांड को जोड़ने से इनमें से कई समस्याएं हल हो जाती हैं।

Comments

क्या आपके पास पहली सीमा के लिए कुछ संदर्भ हैं? यदि नहीं, तो क्या आप इस बात पर संकेत दे सकते हैं कि दूसरा ब्रह्माण्ड कैसे (प्रस्तावक? मेटा?) असमानता को साबित करने में मदद करता है?

— 52कसुज ल्यू

@ ConsequukaszLew यह वास्तव में "प्रूफ अप्रासंगिक" मॉडल का एक सरल परिणाम है, जिसके लिए कुछ हद तक आसानी से जाना जा सकता है। उस मॉडल में किसी भी प्रकार का 1 से अधिक तत्व नहीं है। 2 ब्रह्मांड होने से उस मॉडल को मौजूदा होने से रोकता है। अलेक्जेंड्रे मिकेल की थीसिस 2 ब्रह्मांडों के साथ अनंत प्रकार के तत्वों के साथ एक प्रकार के लिए एक संदर्भ प्रदान करती है।

— cody