लास वेगास बनाम मोंटे कार्लो ने निर्णय वृक्ष की जटिलता को यादृच्छिक किया

पृष्ठभूमि:

निर्णय वृक्ष की जटिलता या क्वेरी जटिलता निम्नानुसार परिभाषित संगणना का एक सरल मॉडल है। चलो एक बूलियन समारोह हो। की नियतात्मक क्वेरी जटिलता , निरूपित किया , इनपुट के टुकड़े की न्यूनतम संख्या है कि जरूरत एक नियतात्मक एल्गोरिथ्म है कि द्वारा पढ़ा जा करने के लिए (बदतर मामले में) गणना करता है । ध्यान दें कि जटिलता का माप इनपुट के बिट्स की संख्या है जो पढ़ा जाता है; अन्य सभी संगणना निःशुल्क है। $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$ $D(f)$ $x\in\{0,1\}^n$ $f(x)$

इसी तरह, हम लास वेगास को की यादृच्छिक जटिलता को परिभाषित करते हैं , जिसे निरूपित किया गया है, न्यूनतम इनपुट बिट्स के रूप में जो कि शून्य-त्रुटि रैंडमाइज्ड एल्गोरिथम द्वारा उम्मीद में पढ़ने की जरूरत है जो गणना करता है । एक शून्य-त्रुटि एल्गोरिथ्म हमेशा सही उत्तर का उत्पादन करता है, लेकिन इसके द्वारा पढ़े जाने वाले इनपुट बिट्स की संख्या एल्गोरिदम की आंतरिक यादृच्छिकता पर निर्भर करती है। (यही कारण है कि हम पढ़ी गई इनपुट बिट्स की अपेक्षित संख्या को मापते हैं।) $f$ $R_0(f)$ $f(x)$

हम मोंटे कार्लो को की यादृच्छिक संख्या को परिभाषित करते हैं , जो चिह्नित , इनपुट बिट्स की न्यूनतम संख्या है जो कि एक बाउंड-एरर रैंडमाइज्ड अल्गोरिथम द्वारा पढ़ने की जरूरत है जो गणना करता है । एक बाउंड-एरर एल्गोरिथ्म हमेशा एक उत्तर को अंत में आउटपुट करता है, लेकिन इसे केवल (कहना) से अधिक संभावना के साथ सही होना चाहिए । $f$ $R_2(f)$ $f(x)$ $2/3$

सवाल

इस सवाल के बारे में क्या पता है कि क्या

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$ ?

यह जाना जाता है कि

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

क्योंकि मोंटे कार्लो एल्गोरिदम लास वेगास एल्गोरिदम के रूप में कम से कम शक्तिशाली हैं।

मुझे हाल ही में पता चला कि दोनों जटिलताओं के बीच कोई अलग अलगाव नहीं है। इस दावे के लिए मुझे नवीनतम संदर्भ 1998 से है [1]:

[१] निकोलाई के। वीरेशचागिन, रैंडमाइज़्ड बुलियन डिसीजन ट्री: कई टिप्पणी, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, खंड २० Computer, अंक २, ६ नवंबर १ ९९ K, पृष्ठ ३२ ९-३४२, आईएसएसएन ०३४-३९ K५, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 ।

दूसरे के संदर्भ में सबसे अच्छा ज्ञात ऊपरी सीमा है

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

के कारण [2]:

[२] कुलकर्णी, आर।, और ताल, ए। (२०१३, नवंबर)। आंशिक ब्लॉक संवेदनशीलता पर। कम्प्यूटेशनल जटिलता (ईसीसीसी) पर इलेक्ट्रॉनिक बोलचाल में (वॉल्यूम। 20, पी। 168)।

मेरे दो विशिष्ट प्रश्न हैं।

[संदर्भ अनुरोध]: क्या इस समस्या पर चर्चा करने वाला एक और हालिया पेपर है (1998 के बाद)?
इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि क्या इन दो जटिलताओं को अलग करने के लिए एक उम्मीदवार कार्य किया जाता है?

V2 में जोड़ा गया: जोड़ा गया ref [2], उम्मीदवार के कार्य के अस्तित्व के बारे में दूसरे प्रश्न पर जोर दिया।

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

जवाबों:

जहां तक मुझे पता है, यह अभी भी खुला है। एक बहुत हालिया पेपर जिसमें इन मात्राओं और कुछ सीमाओं का उल्लेख है, वह है एरॉनसन एट अल: कमजोर समानता (देखें http://arxiv.org/abs/1312.0036 )। आप जुखना के अध्याय 14: बुलियन फफूंद और 1999 (अभी भी 1998 की धड़कन!) को बुहरमैन और डी वुल्फ द्वारा सर्वेक्षण देख सकते हैं। यादृच्छिक निर्णय वृक्ष जटिलता के बारे में एक और हालिया पेपर मैग्नीज एट अल है: http://arxiv.org/abs/1309.75665

अंत में, एक संक्षिप्त सारांश जो मैंने पिछले महीने (बिना डिफ) के अपने लिए बनाया था:

आर 2 <= R0 <= डी <= n

डी <= N0 * एन 1 <= सी ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (नया: [गिल्मर-सक-श्रीनिवासन]: f f bs ^ 2 (f) = O (C (f))) है

डी <= एन 1 * bs <= bs ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (नया: [ताल]: bs <= deg ^ 2)

डी <= एन 1 * डिग्री

सी <= bs * डिग्री ^ 2 <= डिग्री ^ 4

संवेदनशीलता अनुमान यह है कि एस भी अन्य मापदंडों से संबंधित बहुपद है।

— domotorp
स्रोत

क्या आप विशेष रूप से इंगित कर सकते हैं कि ये प्रश्न लास वेगास बनाम मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के प्रश्न का संदर्भ कैसे देते हैं? मैंने इन पत्रों में इसे देखने की कोशिश की, लेकिन यह नहीं मिल सका।

— रॉबिन कोठारी

मुझे खेद है कि अगर मैं अस्पष्ट था, तो इन पत्रों में स्पष्ट रूप से प्रश्न का उल्लेख नहीं है, केवल विभिन्न मापदंडों के लिए अलग-अलग असमानताएं हैं। प्रश्न के खुलेपन के लिए मेरा एकमात्र प्रमाण यह है कि यदि यह नहीं होता, तो इसका उल्लेख किया जाता।

— डोमोटर

ओह, मैं समझता हूं कि आपका क्या मतलब है। मैंने ये पेपर पढ़े हैं। मुझे आश्चर्य है कि अगर इस समस्या का विशेष रूप से हाल ही में अध्ययन किया गया है। और मुझे यह जानने के लिए भी उत्सुकता है कि क्या कोई ऐसा कार्य है जो इन दो जटिलताओं को अलग करने के लिए व्यक्त किया गया है। (या अगर लोगों का मानना है कि वे एक ही हैं।)

— रॉबिन कोठारी

मुझे पता है कि यह अनुमान है कि डी से सबसे बड़ा अलगाव आर 0 और आर 2 दोनों के लिए नंद-वृक्ष है।

— डोमोटर

यह प्रश्न हल हो गया है!

कुछ दिन पहले एंड्रिस एम्बेइनिस, Kaspars Balodis, एलेक्ज़ेंडर्स Belovs, ट्रॉय ली, मिक्लोस Santha, और ज्यूरिस Smotrovs कुल समारोह के अस्तित्व को दर्शाने वाला एक प्रीप्रिंट अपलोड जो संतुष्ट $f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

और भी

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$ ,

जहाँ 1-पक्षीय बाउंड-त्रुटि रैंडमाइज़्ड क्वेरी जटिलता दर्शाता है। $R_1(f)$

दोनों अलगाव लॉग कारकों के लिए इष्टतम हैं!

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

उनके पेपर के नए संस्करण में, यह लगभग एक-द्विघात अंतर में सुधार किया गया है, जो लॉग कारकों के लिए तंग है।

— Shalev