ग्राफ़ के परिवारों के लिए

Question

जैसा कि @Marzio ने उल्लेख किया है, निम्नलिखित गेम को सामान्यीकृत भूगोल के रूप में जाना जाता है ।

एक ग्राफ को देखते हुए और एक शुरू करने शिखर वी ∈ वी , खेल के रूप में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:$G=(V,E)$$v \in V$

प्रत्येक मोड़ पर (दो खिलाड़ियों बारी), एक खिलाड़ी चुनता , और उसके बाद निम्न होता है:$u\in N(v)$

1. , साथ ही इसके सभी किनारों को G से निकाल दिया जाता है।$v$$G$
2. (अर्थात v को वर्टेक्स यू कहा जाता है )।$u\to v$$v$$u$

वह खिलाड़ी जिसे "डेड एंड" (यानी बिना किसी आउटगोइंग किनारों वाला एक शिखर) चुनने के लिए मजबूर किया जाता है।

बहुपद समय में किस ग्राफ के परिवारों में अनुकूलतम रणनीति कम्प्यूटेशनल है?

उदाहरण के लिए, यह देखना आसान है कि यदि एक DAG है, तो हम आसानी से खिलाड़ियों के लिए इष्टतम रणनीति की गणना कर सकते हैं।$G$

Comments

खेल को सामान्यीकृत भूगोल के रूप में जाना जाता है और PSPACE पूरा होता है (यहां तक ​​कि प्लेनर निर्देशित ग्राफ़ पर भी)। कुछ वैरिएंट के लिए पथ बनाने की जटिलता देखें (कुछ बहुपद समय के संस्करण भी)

— Marzio De Biasi

क्या आप अधिक विशिष्ट हो सकते हैं? उदाहरण के लिए मार्ज़ियो के लिंक से आप देख सकते हैं कि बंधी हुई ट्रेविथ पर्याप्त है।

— डोमोटर

@domotorp: मुझे लगता है कि अप्रत्यक्ष ठोस ग्रिड ग्राफ़ पर GG एक अनसुलझी खुली समस्या है (शायद इसका अध्ययन भी नहीं किया गया है)। मैं देखूंगा कि यह एक नई समस्या है या नहीं। Whilst, निर्देशित ठोस ग्रिड रेखांकन के मामले में निर्देशित किनारों का उपयोग करके "छेद" का अनुकरण करना आसान लगता है, इसलिए इसे PSPACE- पूर्ण होना चाहिए।

— मारजियो दे बियासी

Answer 1

सामान्यीकृत भूगोल (GG) पीएसपीआरसी-पूर्ण है यहां तक ​​कि प्लानेर निर्देशित द्विपदीई रेखांकन पर भी, लेकिन, जैसा कि रिपोर्ट किया गया है:

हंस एल। बोडलेंडर, पथ बनाने वाले खेलों की जटिलता , सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, वॉल्यूम 110, अंक 1, 15 मार्च 1993, पृष्ठ 215-245

जीजी (और कुछ अन्य PSPACE- पूर्ण वेरिएंट) बाउंडेड ट्रेविदथ के रेखांकन में रैखिक-समय-सॉल्व हैं।

ध्यान दें: हाल ही में PSP-पूर्ण साबित किया गया सामान्य भूगोल वेरिएंट में से एक ट्रॉन ( लाइट साइकिल गेम) है: एक अप्रत्यक्ष ग्राफ दिया गया, दो खिलाड़ी दो अलग-अलग शुरुआती वर्जन उठाते हैं, और फिर मोड़ लेते हैं, एक बगल में जाकर प्रत्येक चरण में उनके संबंधित पिछले एक से शीर्ष। खेल तब समाप्त होता है जब दोनों खिलाड़ी आगे नहीं बढ़ सकते। वह खिलाड़ी जिसने अधिक लंब जीत हासिल की (इसे 1990 में बोदलेन्डर और क्लर्क द्वारा PSPACE-पूर्ण होने का अनुमान लगाया गया था)।
टिलमैन मिल्ट्ज़ो, ट्रॉन, एब्सट्रैक्ट ग्राफ्स पर एक कॉम्बिनेटरियल गेम (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

उत्सुकता से, एक ही मैट्रिक्स प्राप्त होता है अगर खिलाड़ी ए एक मनमाना शुरुआती नोड चुन सकता है।

जैसा कि टिप्पणियों में कहा गया है, मुझे लगता है कि अगर जीजी को ठोस ग्रिड रेखांकन (मनमाने आकार के साथ, लेकिन बिना छेद के) पर खेला जाता है तो जीत की रणनीति तय करने की जटिलता का पता नहीं चलता है और शायद इस बारे में कुछ साबित करना इतना आसान नहीं है यह (वास्तव में - कुछ हद तक संबंधित - यदि ठोस ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टनियन पथ है, तो यह तय करना अभी भी खुला है, हालांकि यह तय करना कि ठोस ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टनियन चक्र बहुपद काल है)

एक अंतिम तुच्छ नोट: जीजी बहुपद समय में भी पूरी तरह से रेखांकन है।

Comments

क्या आप सुनिश्चित हैं कि ठोस ग्रिड ग्राफ में हैमिल्टनियन चक्र बहुपद समय है? जैसा कि मुझे याद है कि यह सिर्फ अज्ञात है, दूसरी तरफ अगर उस ठोस ग्रिड में कुछ संरचनाएं हैं (जैसे L आकार, T आकार, mxn, ...) यह बहुपद का समय है, लेकिन मुझे कोई भी कागज याद नहीं आ रहा है, जो इसे बहुपदों के समय में हल करता है सामान्य ठोस ग्रिड रेखांकन में। क्या आपके पास एक संदर्भ है?

— सईद

@ सईद ऐसा लगता है कि उमान और लेनहार्ट ने लंबे समय से चली आ रही खुली समस्या को हल किया, हेमिल्टनियन चक्रों को ठोस ग्रैफ ग्राफ में देखें । कुछ समय पहले मैंने ठोस ग्रिड ग्राफ़ पर हैमिल्टन मार्ग के बारे में हाल ही में / संबंधित परिणामों की खोज की, लेकिन कुछ भी नहीं मिला। (मुझे लगता है कि कहीं-कहीं cstheory पर एक संबंधित प्रश्न भी है)

— Marzio De

धन्यवाद, यह वास्तव में बहुत अच्छा है और यह भी बहुत नया नहीं है FOCS1997 , लेकिन मैंने इसे पहले कभी नहीं देखा है!

— सईद

शानदार जवाब @MarzioDeBiasi वास्तव में मैं एक अलग सेटिंग में इस समस्या को लेकर आया था, जिसे ग्रिड ग्राफ के रूप में चित्रित किया जा सकता है, लेकिन इसके सामान्यीकरण के बारे में भी उत्सुक था।

— आरबी

मैंने आधा घंटा बिताया है लेकिन अप्रत्यक्ष सामान्यीकृत भूगोल के लिए कोई संदर्भ नहीं मिला। मुझे यकीन है कि यह किसी के द्वारा PSPACE- पूर्ण दिखाया गया होगा। क्या आप शायद इसके बारे में जानते हैं?

— डोमटॉर्प

Answer 2

$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$