पी के सर्किट जटिलता के बारे में कोलमोगोरोव के अनुमान के खिलाफ / के लिए तर्क

Question

(असत्यापित) ऐतिहासिक खाते के अनुसार, कोलमोगोरोव ने सोचा था कि की हर भाषा में रैखिक सर्किट जटिलता है। (पहले के प्रश्न कोलमोगोरोव के अनुमान को देखें कि में रैखिक आकार के सर्किट हैं ।) ध्यान दें कि इसका तात्पर्य ।पी पी ≠ एन $\mathsf{P}$$P$$\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$

कोलमोगोरोव का अनुमान, हालांकि, असफल होने की संभावना है। उदाहरण के लिए, रयान विलियम्स हाल के एक पत्र में लिखते हैं : "अनुमान आश्चर्यजनक होगा, अगर यह सच है। इन भाषाओं के लिए समय की आवश्यकता होती है , यह संभावना नहीं है कि ऐसी समस्याओं की जटिलता जादुई रूप से आकार में सिकुड़ जाएगा , केवल इसलिए कि प्रत्येक इनपुट लंबाई के लिए एक अलग सर्किट डिज़ाइन किया जा सकता है। "एन 100 100 ओ ( एन $\mathsf{P}$$n^{100^{100}}$$O(n)$

दूसरी ओर, एंड्री कोलमोगोरोव (1903-1987) को 20 वीं शताब्दी के प्रमुख गणितज्ञों में से एक के रूप में व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त है। यह कल्पना करना कठिन है कि उन्होंने पूरी तरह से बेतुका अनुमान लगाया होगा। इसलिए, इसे बेहतर समझने के लिए, मैंने कुछ तर्क खोजने की कोशिश की जो वास्तव में उनके आश्चर्यजनक अनुमान का समर्थन कर सकते हैं। यहाँ मैं क्या सोच सकता है:

मान लें । फिर हम एक भाषा L \ in \ mathsf {P} को चुन सकते हैं , जैसे कि L में समान और गैर-समान मॉडल दोनों में सुपरलाइनियर जटिलता है। इसके बाद दो संभावनाएँ हैं:$\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$$L\in \mathsf{P}$$L$

1. एक ज्ञात स्पष्ट एल्गोरिथ्म (ट्यूरिंग मशीन) है जो एल को स्वीकार करता है $L$। इससे हम एक स्पष्ट कार्य परिवार का निर्माण कर सकते हैं जिसमें सुपरलाइनियर सर्किट जटिलता होनी चाहिए। हालाँकि, इसे बिना किसी संभावना के देखा जा सकता है, क्योंकि सर्किट पर 60 से अधिक वर्षों के गहन शोध में कोई भी ऐसा उदाहरण नहीं पा सका है।

2. एल के लिए कोई ज्ञात स्पष्ट एल्गोरिथ्म नहीं है । उदाहरण के लिए, इसका अस्तित्व गैर-रचनात्मक साधनों के माध्यम से साबित होता है, जैसे कि एज़िओम ऑफ़ चॉइस। या, भले ही स्पष्ट एल्गोरिथ्म मौजूद है, कोई भी इसे खोजने में सक्षम नहीं है। हालांकि, यह देखते हुए कि असीम रूप से कई भाषाएं हैं जो एल की भूमिका निभा सकती हैं , यह फिर से संभावना नहीं है कि वे सभी इस अमित्र तरीके से व्यवहार करते हैं।$L$$L$

लेकिन फिर, यदि हम दोनों विकल्पों को असंभव मानकर खारिज करते हैं, तो शेष संभावना यह है कि ऐसा कोई $L$ मौजूद नहीं है। इसका मतलब है कि $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ , जो कि वास्तव में कोलमोगोरोव का अनुमान है।

प्रश्न: क्या आप कोलमोगोरोव के अनुमान के खिलाफ / आगे किसी भी तर्क के बारे में सोच सकते हैं?

Comments

मुझे आश्चर्य है: क्या हमारे पास कोलमोगोरोव के अनुमान का खंडन करने के लिए उम्मीदवार हैं ? बेशक, कोई भी ऐसी समस्या पर विचार कर सकता है, जिसमें सुपर-लीनियर जटिलता हो। शायद उनमें से कुछ में रैखिक आकार के सर्किट नहीं होने की अधिक संभावना है?

— ब्रूनो

इसका सामना करते हैं, किसी को भी मामूली सुराग नहीं है। (हॉलीवुड में गोल्डमैन बोली फिर से: "किसी को कुछ भी नहीं पता है।") (अप्रकाशित) अनुमान शायद P =? NP की तुलना में अधिक समय तक खुला रहा है। हालाँकि, अन्वेषण के लायक एक मोटा विचार / कोण: संपीड़न सिद्धांत और संपीडन। यह मूल रूप से क्या विलियम्स के लिए alluding है और संभवतः कई जटिलता वर्ग अलगाव के दिल में हो सकता है। विचार यह है कि डेटा को एन्कोड करने के लिए बुनियादी तरीके / एल्गोरिदम हैं, और कुछ पैटर्न आंतरिक रूप से (किसी भी मनमाने ढंग से) एनकोडिंग का उपयोग करके संपीड़ित करने के लिए कठिन हैं । लेकिन इस क्षेत्र में भी बहुत कम परिणाम प्रतीत होते हैं।

— vzn

और btw, कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए Kolmogorov जटिलता के कई कनेक्शन जैसे Fortnow द्वारा पता लगाया गया हो सकता है कि कुछ व्याख्यात्मक कनेक्शन हो सकता है कि प्रश्नों को हल करना इतना कठिन क्यों है, क्योंकि इतने सारे कोलमोगोरोव जटिलता संबंधित प्रश्न अविश्वसनीय हैं ...?

— vzn v

@Bruno: मुझे लगता है कि अच्छे कैंडिडेट होंगे, मसलन रैखिक प्रोग्रामिंग या सर्किट वैल्यू प्रॉब्लम। यदि तो इन समस्याओं को गैर-समान रूप से पाली-आकार और पाली-लॉगरिदमिक गहराई में भी हल नहीं किया जा सकता है, इसलिए कम से कम यह अनुमान लगाना उचित है कि ऐसी समस्याएं नहीं होनी चाहिए या तो रैखिक आकार (और अप्रतिबंधित गहराई) में विलेय। निर्धारक एक अन्य उचित उम्मीदवार हो सकता है। लेकिन ये सिर्फ प्रस्ताव हैं - मेरे पास यह सोचने के मजबूत कारण नहीं हैं कि उनके पास सुपर-लीनियर सर्किट आकार है। $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— जोशुआ ग्रोको

Answer 1

मेरे कागज के फुटनोट जो आप उद्धृत करते हैं, वह एक "तर्क" के रूप में अच्छी तरह से संदर्भित करता है, कम से कम, जो हमें लगता है कि कोलमोगोरोव का अंतर्ज्ञान था - हिल्बर्ट की तेरहवीं समस्या का सकारात्मक संकल्प।

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

विशेष रूप से, कोलमोगोरोव और अर्नोल्ड द्वारा यह साबित किया गया था कि वेरिएबल्स पर किसी भी निरंतर कार्य को "सरल" कार्यों की संरचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है : दो चर के अलावा, और एक चर पर निरंतर कार्य । इसलिए, एक-चर निरंतर फ़ंक्शन और दो-चर जोड़ के "आधार" पर, चर पर प्रत्येक निरंतर फ़ंक्शन में "सर्किट जटिलता" ।$n$$O(n^2)$$n$$O(n^2)$

ऐसा लगता है कि कोलमोगोरोव का मानना ​​है कि एक असतत एनालॉग है, जहां " वेरिएबल्स में निरंतर " " वेरिएबल्स और पॉली -टाइम कम्प्यूटेबल" में बूलियन बन जाता है , और जहां ऊपर दिया गया "आधार" दो-चर टूलेन फ़ंक्शन बन जाता है।$n$$n$$(n)$

Comments

यह बहुत दिलचस्प होगा अगर असतत एनालॉग जिसे कोलमोगोरोव का मानना ​​था कि वास्तव में मौजूद होगा। संभवतः, शोधकर्ताओं ने इसे खोजने की कोशिश की है, क्योंकि यह प्रमाण तक पहुँच सकता है । उनका सामना मुख्य सड़क मार्ग क्या था? $P\neq NP$

— एंड्रास फरगो

बाधाओं? मुझे नहीं लगता कि किसी ने सड़क ढूंढी है :) क्योंकि ज्यादातर लोगों का मानना ​​है कि में आकार के सर्किट नहीं हैं, हर निश्चित , शायद कुछ लोगों ने भी सड़क की तलाश की है। $P$$O(n^k)$$k$

— रयान विलियम्स

Answer 2

पिछले प्रश्न पर स्टैसिस का उत्तर पक्ष में कुछ अंतर्ज्ञान प्रदान करता है: /cstheory//a/22048/8243 । मैं इसे समझने के लिए यहाँ आराम करने की कोशिश करूँगा। कुंजी अंतर्ज्ञान को एक सर्किट के रूप में देखना है, एक एल्गोरिथ्म के रूप में नहीं, बल्कि एक सेट का एन्कोडिंग (यह सेट स्वीकार करता है)। हम एल्गोरिथ्म रनिंग टाइम द्वारा एन्कोडिंग आकार पर एक ऊपरी-बाउंड प्राप्त कर सकते हैं (अर्थात, टाइम- टीएम को एक आकार- सर्किट में अनुवाद करें ), लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि संबंध में क्या संबंध होना चाहिए। यदि कोई भाषा in , तो शायद इसका अर्थ है कि सदस्यता "स्थानीय" है जो बहुत संक्षिप्त रूप से एन्कोड की जा सकती है।$t$$t$$\mathsf{P}$

यही है, सदस्यता in एक एल्गोरिथ्म के चलने के समय के बारे में एक बयान है, जबकि रैखिक सर्किट (शायद) निश्चित-लंबाई शब्दों के सेट के एन्कोडिंग आकार के बारे में एक बयान है। दोनों भाषा की सादगी के बारे में कथन हैं लेकिन वे शायद काफी अलग दुनिया में रहते हैं।$\mathsf{P}$

एक और अंतर्ज्ञान Stasys का उल्लेख है एक भाषा है, जो चलो अनंत स्ट्रिंग जहां बिट के रूप में औपचारिक रूप से "सूचक स्ट्रिंग" से आता है है अगर वें कोषगत स्ट्रिंग भाषा में है और है अन्यथा। भाषा के लिए ए (पॉलीटाइम) टीएम स्ट्रिंग के लिए एक (तेज) ओरेकल है --- बाइनरी में दिए गए , वें बिट का उत्पादन करते हैं । लंबाई आदानों के लिए एक (रैखिक-आकार) सर्किट एक (संक्षिप्त) लंबाई के लिए संकलित है- स्ट्रिंग के उपसर्ग। अनुमान "किसी भी अनन्त स्ट्रिंग है जिसमें एक 'तेज' का तात्पर्य है 'संक्षिप्त' उपसर्ग- oracles है।"$j$$1$$j$$0$$j$$j$$n$$2^n$

उपरोक्त में से कोई भी नहीं बताता है कि क्यों और "रैखिक" कथन के लिए सही संबंधित पैरामीटर हो सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि वे दिखाते हैं कि एक प्राकृतिक अंतर्ज्ञान - सर्किट एल्गोरिदम की तरह कार्य करते हैं, और अधिक जटिल एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है इसी तरह के जटिल सर्किट - भ्रामक हो सकते हैं।$``\mathsf{P}"$