गैर-एकरूपता की अनुचित शक्ति

Question

सामान्य ज्ञान की दृष्टि से, यह मानना ​​आसान है कि गैर-नियतिवाद को जोड़ने से इसकी शक्ति का विस्तार होता है, अर्थात, से बहुत बड़ा है । आखिरकार, गैर-नियतत्ववाद घातीय समानता की अनुमति देता है, जो निस्संदेह बहुत शक्तिशाली प्रतीत होता है। एन $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

दूसरी ओर, अगर हम सिर्फ , प्राप्त करने के लिए गैर-एकरूपता जोड़ते हैं , तो अंतर्ज्ञान कम स्पष्ट है (यह मानते हुए कि हम गैर-पुनरावर्ती भाषाओं को बाहर कर सकते हैं जो में हो सकती हैं) )। एक उम्मीद कर सकता है कि केवल अलग-अलग इनपुट लंबाई के लिए अलग-अलग बहुपद समय एल्गोरिदम की अनुमति दे (लेकिन पुनरावर्ती क्षेत्र को नहीं छोड़ना) गैर-नियतात्मकता में घातीय समानता से कम शक्तिशाली विस्तार है।$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/poly$$\mathsf{P}/poly$

दिलचस्प है, हालांकि, अगर हम इन कक्षाओं की तुलना बहुत बड़े वर्ग $\mathsf{NEXP}$ , तो हमें निम्नलिखित प्रति-सहज स्थिति दिखाई देती है। हम जानते हैं कि $\mathsf{NEXP}$ ठीक से होता है $\mathsf{NP}$ , जो आश्चर्य की बात नहीं है। (आखिरकार, \ mathsf {NEXP} दोगुना तेजी से समानता की $\mathsf{NEXP}$अनुमति देता है ।) दूसरी ओर, वर्तमान में हम \ mathsf {NEXP} \ subseteq \ mathsf {P} / poly को नियंत्रित नहीं कर सकते ।$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

इस प्रकार, इस अर्थ में, गैर-एकरूपता, जब बहुपद समय में जोड़ा जाता है, तो संभवतः यह गैर-निर्धारणवाद की तुलना में अत्यंत शक्तिशाली, संभवतः अधिक शक्तिशाली बनाता है। यह दोगुनी घातीय समानता का अनुकरण करने के लिए भी जा सकता है ! भले ही हम मानते हैं कि यह मामला नहीं है, लेकिन यह तथ्य कि वर्तमान में इसे खारिज नहीं किया जा सकता है, यह अभी भी पता चलता है कि जटिलता सिद्धांतकार यहां "शक्तिशाली शक्तियों" के साथ संघर्ष कर रहे हैं।

आप एक बुद्धिमान आम आदमी को कैसे समझाएंगे कि गैर-एकरूपता की इस "अनुचित शक्ति" के पीछे क्या है?

Comments

गैर-समरूपता को समझने में कठिनाई (और सामान्य सर्किट निचले सीमा को साबित करना) जरूरी नहीं है कि गैर-समरूपता शक्तिशाली है (इस अर्थ में कि आप इसका उपयोग दिलचस्प समस्याओं को हल करने के लिए कर सकते हैं)।

— केवह

मुझे नहीं लगता कि किसी को भी विश्वास है कि $\mathcal{NEXP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$ या यहां तक ​​कि \ मैथॉल {एनपी} \ सब्सेट \ मैथॉल {पी} / \ मैथ्रू {पॉली}$\mathcal{NP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$ । तथ्य यह है कि ये सवाल खुले रहते हैं, सर्किट कम सीमा को साबित करने में हमारी शर्मनाक अक्षमता के बारे में एक बयान है।

— थॉमस

@ थोमस: मैं किसी और के लिए बात नहीं करना चाहूंगा, लेकिन यह कहूंगा कि मैं कम से कम एक बहुत ही सम्मानित शोधकर्ता को जानता हूं, जो वास्तव में उस । $\mathsf{EXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— जोशुआ ग्रूचो

@ थोमस: बिल्कुल नहीं, लेकिन मुझे लगता है कि यह इस बारे में है कि हम कितनी कम समझ रखते हैं। उदाहरण के लिए, हम सभी जानते हैं, (और के रूप में Kolmogorov द्वारा अनुमान लगाया, देखें cstheory.stackexchange.com/a/22048/129 ) P में -size ckts है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, ऐसा लगता है कि कुछ (यदि कोई हो) प्राकृतिक समस्याएं जिन्हें में जाना जाता है, जो न तो विरल हैं और न ही बीपीपी ( cstheory.stackexchange.com/questions/1662/- ) में। और फिर भी, ckts पर विचार करते हुए, किसी को लगता है कि यादृच्छिकरण + टेबल लुकअप की तुलना में काफी अधिक शक्तिशाली है। $O(n)$$\mathsf{P/poly}$$\mathsf{P/poly}$

— जोशुआ ग्रोको

@Thomas को प्रतिध्वनित करने के लिए यदि हम NEXP को P / poly में नहीं सिद्ध कर सकते हैं तो इसका मतलब है "गैर-समरूपता की अनुचित शक्ति" तब से हम P <> NP को सिद्ध नहीं कर सकते हैं, इसका मतलब "कुशल संगणना की अनुचित शक्ति" होना चाहिए।

— लांस फोर्टनॉ

Answer 1

एक फ्लिप उत्तर यह है कि जटिलता सिद्धांत के बारे में यह पहली बात नहीं है कि मैं किसी व्यक्ति को समझाने की कोशिश करूंगा! यहां तक ​​कि गैर-समरूपता के विचार की सराहना करने के लिए, और यह नॉनडेटर्मिनिज़्म से कैसे भिन्न होता है, आपको मातम वर्गों की परिभाषाओं के साथ मातम में और नीचे होने की आवश्यकता है जो कई लोग प्राप्त करने के इच्छुक हैं।

कहा जाता है कि, एक नजरिया जो मुझे मददगार मिला है, जब अंडरग्रेजुएट्स को पी / पॉली समझाते हुए कहा जाता है कि क्या वास्तव में गैर-समानता का मतलब है कि आपके पास बेहतर और बेहतर एल्गोरिदम का अनंत अनुक्रम हो सकता है , जैसा कि आप बड़े और बड़े इनपुट लंबाई में जाते हैं। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि भोली मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म 100x100 या तो आकार के मेट्रिसेस के लिए सबसे अच्छा काम करता है, और फिर कुछ बिंदु पर स्ट्रैसेन गुणन बेहतर हो जाता है, और फिर हाल ही के एल्गोरिदम केवल खगोलीय-बड़े मैट्रिक्स के लिए बेहतर होते हैं। व्यवहार में कभी नहीं उठेगा। तो, क्या होगा यदि आपके पास n की जो भी सीमा आपके साथ काम करने के लिए हुई, उसके लिए सर्वोत्तम एल्गोरिथ्म में शून्य करने की जादुई क्षमता थी?

निश्चित रूप से, यह एक अजीब क्षमता होगी, और सभी चीजों पर विचार किया जाएगा, शायद बहुपत्नी समय में एनपी-पूर्ण समस्याओं को हल करने की क्षमता के रूप में उपयोगी नहीं है। लेकिन कड़ाई से बोलते हुए, यह एक अतुलनीय क्षमता होगी: ऐसा नहीं है कि आपको पी = एनपी होने पर भी स्वचालित रूप से मिल जाएगा। वास्तव में, आप असम्पीडित समस्याओं (उदाहरण के लिए, 0 ⁿ इनपुट के रूप में, n ^वें ट्यूरिंग मशीन को रोकते हैं?) के काल्पनिक उदाहरणों का निर्माण कर सकते हैं । तो, यह गैर-बराबरी की शक्ति है।

इस अजीब शक्ति पर विचार करने के बिंदु को समझने के लिए , आपको शायद सर्किट कम सीमा को साबित करने के लिए खोज के बारे में कुछ कहना होगा, और यह तथ्य कि, हमारी कई निचली तकनीकों के दृष्टिकोण से, यह एकरूपता है जो एक अजीब सी लगती है अतिरिक्त स्थिति जो हमें लगभग कभी नहीं चाहिए।

Comments

मुझे वास्तव में "बेहतर और बेहतर एल्गोरिदम का अनंत अनुक्रम" तर्क पसंद है। मैं वास्तव में इस तरह के तर्कों की तलाश कर रहा था, जो अंडरग्रेजुएट्स को बड़ी तस्वीर समझाने में मददगार हों। हालाँकि, यह तर्क कैसे लागू होगा, यदि को से बदल दिया जाए ? के लिए एक ही मूल प्रश्न, फिर से बताने से किया जा सकता है के बाद से वर्तमान में हम अलग नहीं कर सकते से या तो। $P/poly$$BPP$$BPP$$NEXP$$BPP$

— एंड्रास फरगाओ

BPP को प्रेरित करना बहुत आसान है! यह बस यादृच्छिककरण की शक्ति को मॉडल करने की कोशिश कर रहा है, जो (गैर-समानता के विपरीत) कुछ ऐसा है जो व्यवहार में हर समय उपयोग किया जाता है। (संयोग से, हालांकि, मैं उल्लेख करना भूल गया: गैर-समानता को प्रेरित करने का एक अलग तरीका क्रिप्टोग्राफी के माध्यम से होगा। आप यह बता सकते हैं कि विरोधी अपने सभी हमले-संसाधनों को अनुकूलित करने की विलासिता रखते हैं जो कि किसी भी महत्वपूर्ण लंबाई को मानक के रूप में चुना गया है, इसलिए आप। 'बेहतर है कि एक क्रिप्टोसिस्टम है जो आपको लगता है कि गैर-वर्दी हमलावरों के खिलाफ सुरक्षित है, न कि केवल एक समान हमलावरों के साथ।)

— स्कॉट आरोनसन

मैं पूरी तरह से सहमत हूं कि को प्रेरित करना आसान है। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि यह क्या है: ऐसी शक्ति प्रदान करता है कि वर्तमान में हम इस बात से इंकार नहीं कर सकते हैं कि यह के दोगुने घातीय समानता का अनुकरण भी कर सकता है ? चूंकि केवल यादृच्छिकता के माध्यम से को अलग करता है, और यह अच्छे कारण के लिए अनुमान लगाया जाता है कि यहां यादृच्छिकता शक्तिहीन है (यानी, ), यह मेरे लिए एक अजीब स्थिति है। मैं स्थिति की एक "दार्शनिक समझ" की तलाश कर रहा हूं, इस तथ्य से परे कि उपकरण में साबित करने की कमी है । $BPP$$BPP$$NEXP$$BPP$$P$$P=BPP$$NEXP\neq BPP$

— एंड्रास फरगाओ

लेकिन क्या होगा अगर यह वास्तव में सिर्फ तथ्य है कि उपकरणों की कमी है? हमारे पास पदानुक्रम प्रमेय हैं, जो हमें यह साबित करते हैं कि एक ही संसाधन से अधिक आपको अधिक शक्ति देता है (जैसे, ), और जब हम एक पदानुक्रम प्रमेय को कम नहीं कर सकते हैं तो हम आमतौर पर फंस जाते हैं। यह एक सामान्य मुद्दा है जो लिए कुछ विशिष्ट नहीं, जटिलता पदानुक्रम को दर्शाता है । $P\ne EXP$$BPP$

— स्कॉट आरोनसन

Answer 2

यहां एक "चिकनाई" तर्क है जो मैंने हाल ही में इस दावे के बचाव में सुना है कि गणना के गैर-समान मॉडल हमारे लिए संदेह से अधिक शक्तिशाली होना चाहिए। एक तरफ, हम उस समय के पदानुक्रम प्रमेय से जानते हैं कि समय में गणना योग्य कार्य हैं जो समय में गणना योग्य नहीं हैं , उदाहरण के लिए। दूसरी ओर, लूपानोव के प्रमेय द्वारा, इनपुट पर किसी भी बूलियन फ़ंक्शन का आकार सर्किट द्वारा गणना की जाती है । इसलिए यदि हम यह दावा करते हैं कि गैर- बहुत अधिक शक्ति नहीं देती है, तो यह है कि को तरह व्यवहार करना चाहिए , फिर यह दावा अचानक रोक देना चाहिए जब$O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$ बन जाता है । लेकिन यह व्यवहार --- दो जटिलता के उपाय तब तक हाथ से चले जाते हैं जब तक कि उनमें से एक अचानक शक्तिशाली नहीं हो जाता --- --- मनमाना और कुछ अप्राकृतिक लगता है।$2^{O(n)}$

दूसरी तरफ, यदि सर्किट पर्याप्त शक्तिशाली हैं, तो , तो Karp-Lipton द्वारा बहुपद पदानुक्रम दूसरे स्तर तक ढह जाता है, जो भी अजीब होगा: अचानक क्वांटिफायर क्यों गणना अधिक शक्ति देना बंद करो? मुझे यकीन नहीं है कि यह हमें कहां छोड़ता है।$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

Comments

बहुत ही रोचक! यह अच्छी तरह से दर्शाता है कि गणना के गैर-वर्दी (सर्किट) मॉडल की हमारी समझ अभी भी पूरी तरह से बहुत दूर है।

— एंड्रास फरगो

इस तरह की गिरावट की संभावना के बारे में टिप्पणी किए बिना: क्या यह दूसरे स्तर पर कम्प्यूटेशनल शक्ति में अचानक रोक है, जब यह दोनों प्रकार के क्वांटिफायर के लिए बिल्कुल पर्याप्त है?

— निल डे ब्यूड्रैप

@NieldeBeaudrap बहुत दिलचस्प बिंदु। बेशक यह सब (मेरे उत्तर में अटकलें सहित) गणित से अधिक धर्मशास्त्र है, लेकिन यह अटकलें करने के लिए मजेदार है।

— सैशो निकोलेव

@ साशो: यह धर्मशास्त्र, या राय भी नहीं है: यह प्रोटो-मैथ है, है ना? यह उन विचारों का लेखा है जो संभवतः प्रासंगिक हैं, और उन्हें अंतर्ज्ञान के लिए तौलना है। बहुत ज्यादा नहीं है जब जंगल में खो जाता है, लेकिन यह भूत की कहानियों को कहते हुए, की तुलना में अधिक उत्पादक है। :-)

— नील डी बेउड्राप

Answer 3

मेरा मानना ​​है कि किसी के साथ और अर्थ है कि वह व्यक्ति बनाम प्रश्न और सत्यापन-समाधान द्वंद्व से परिचित है।$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

फिर, मैं यह समझाने की कोशिश करूंगा कि इतना शक्तिशाली है क्योंकि प्रत्येक अलग-अलग लंबाई के लिए, TM को सलाह दी जाती है कि वह पूरी तरह से भरोसा कर सके। तब मैं उल्लेख करता हूं कि हम कठिन (गैर-टीएम-कम्प्यूटेबल वास्तव में) भाषाओं को तैयार कर सकते हैं, जिसमें प्रति इनपुट लंबाई 1 शब्द है (यानी एकात्मक), इसलिए वे पी / पाली में हैं! लेकिन शायद एक बहुपद लंबी सलाह सभी भाषाओं को में हल करने के लिए पर्याप्त नहीं है , क्योंकि हमें हर अलग इनपुट के लिए एक अलग संकेत की अनुमति है।$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

दूसरी ओर, मैं उस व्यक्ति को याद कि को उत्तर को सत्यापित करना है, उस पर पूरी तरह से भरोसा नहीं करना चाहिए। इसलिए, हम प्रत्येक इनपुट लंबाई के लिए एक ही सलाह का उपयोग नहीं कर सकते हैं, यह सत्यापन योग्य नहीं हो सकता है!$\mathbb{NP}$

अंत में, मैं यह उल्लेख करूंगा कि जटिलता सिद्धांतकार मानते हैं कि में ऐसी भाषाएं हैं, जिन्हें कुछ इनपुट लंबाई के लिए बहुपद से अधिक संकेत की आवश्यकता होती है, और इस तरह में नहीं हो सकती ।$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

एक अच्छी समझ देने के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु, जो मुझे लगता है कि पहली बार विषय को पढ़ाने के दौरान भी आम है, यह स्पष्ट कर रहा है कि सलाह और "संकेत" (यानी प्रमाण पत्र) अलग-अलग चीजें हैं, और वे कैसे भिन्न हैं।

Answer 4

मेरे लिए, गैर-एकरूपता की ताकत का सबसे स्पष्ट उदाहरण यह है कि हाल्टिंग समस्या का एक उपयुक्त रूप से गद्देदार संस्करण पहले से ही पी / 1 में है। सलाह की एक बिट तो एक तुच्छ टीएम के साथ इस भाषा को तय करने के लिए पर्याप्त है कि बस सलाह बिट लौटाता है।

निस्संदेह, एक घातीय भाषा को एक घातांक राशि द्वारा पैडिंग करने का मतलब है कि यह पी / पाली में "नैतिक रूप से" नहीं है। लेकिन यह दर्शाता है कि गैर-एकरूपता की अनुमति देते समय सावधानी बरतने की जरूरत है।

Answer 5

मुझे इस बात का आभास है कि यहाँ असली मुद्दा प्रमाण का अनुचित भारी बोझ है, गैर-एकरूपता की अनुचित शक्ति नहीं। जैसा कि चेज़िसोप और एन्ड्रेस सलामन के जवाबों में पहले से ही तनाव है, बहुत ही गैर-समान भाषाओं में भी अनिर्दिष्ट भाषाएं अभिकलनीय हो जाती हैं, क्योंकि सबूत का बोझ पूरी तरह से माफ कर दिया गया है।

बुनियादी अंतर्ज्ञान कारण है कि हम एक सबूत के बिना दूर हो सकती है केवल देखते हैं कि है लंबाई के विभिन्न आदानों है, जिसके लिए हम चाहते हैं कि सर्किट सही जवाब देता है की जाँच करने के लिए है। तो ऐसा लगता है कि में अधिकांश घातीय लंबाई का एक प्रमाण होगा , कि सर्किट वास्तव में सही उत्तर देता है। लेकिन इस लंबे समय के रूप में वहाँ लंबाई के प्रत्येक इनपुट के लिए मौजूद है के रूप में केवल सच है में सबसे घातीय विस्तार से का एक सबूत , कि इनपुट है (नहीं) भाषा में निहित (यह वास्तव में है अगर (नहीं) भाषा में निहित) । ध्यान दें कि घातीय रूप से कई इनपुट प्रत्येक इनपुट के लिए सबसे अधिक लंबे समय तक लंबे समय तक प्रूफ होता है, घातीय लंबाई के सभी इनपुट के लिए एक पूर्ण प्रमाण देता है, क्योंकि$2^n$$n$$n$$n$$n$$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$ ।

यदि हमें गैर-समान भाषाओं के लिए में सबसे अधिक घातीय लंबाई के प्रमाण के अस्तित्व की आवश्यकता है , तो हम यह साबित कर सकते हैं कि ये सभी भाषाएँ में समाहित हैं । इसी गैर-नियतात्मक एल्गोरिथ्म को केवल एक संकेत की आवश्यकता होती है जिसमें "छोटा" प्रमाण के साथ एक "छोटा" सर्किट होता है, जो इस सर्किट को वास्तव में गणना करता है कि इसे गणना करने के लिए क्या माना जाता है।$n$$\mathsf{NEXP}$

उसी गैर-नियतात्मक एल्गोरिथ्म में भी , यदि हमें इसके बजाय में बहुपद लंबाई पर अधिकांश बहुपद लंबाई के साक्ष्यों के अस्तित्व की आवश्यकता हो तो उपयुक्त है। ध्यान दें कि यह प्रतिबंधित अभी भी से अधिक शक्तिशाली हो सकता है । यहां तक ​​कि कार्प-लिप्टन (यानी कि बहुपद पदानुक्रम ढह जाता है अगर अभी भी सही है, लेकिन यह कथन वास्तविक Karp-Lipton प्रमेय से कम दिलचस्प नहीं है। एन पी / पी ओ एल वाई ' पी एन पी ⊆ पी / पी ओ एल वाई $\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$