दिया गया

Question

यहां जुंटा सीखने के समान स्वाद के साथ एक समस्या है:

इनपुट: एक फंक्शन $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ , एक सदस्यता ओरेकल द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, यानी एक ओरेकल जो दिया गया है $x$, रिटर्न $f(x)$ ।

लक्ष्य: एक subcube खोजें के { 0 , 1 } n मात्रा के साथ | एस | = 2 एन - के ऐसे | ई x ∈ S च ( x ) | ≥ 0.1 । हम मान लेते हैं कि ऐसा उपकुंजी मौजूद है।$S$$\{0,1\}^n$$|S|=2^{n-k}$$\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$

यह एक एल्गोरिथ्म पाने के लिए आसान है कि कुछ ही समय में रन रिटर्न संभावना के साथ एक सही जवाब और ≥ 0.99 सब कोशिश कर रहा द्वारा ( 2 n ) कश्मीर हर एक में औसत एक subcube का चयन करने के तरीके और नमूना।$n^{O(k)}$$\ge 0.99$$(2n)^k$

मैं एक एल्गोरिथ्म खोजने में दिलचस्प हूं जो समय में चलता है । वैकल्पिक रूप से, एक निचली सीमा महान होगी। समस्या में जुंटा सीखने के समान स्वाद है, लेकिन मैं उनकी कम्प्यूटेशनल कठिनाई के बीच एक वास्तविक संबंध नहीं देखता हूं।$poly(n,2^k)$

अपडेट: @ थोमस नीचे साबित करता है कि इस समस्या का नमूना जटिलता । दिलचस्प मुद्दा, अभी भी, समस्या की कम्प्यूटेशनल जटिलता है।$poly(2^k,\log n)$

संपादित करें: आप सादगी के लिए मान सकते हैं कि एक उपकुंजी मौजूद है (नोटिस की खाई: हम साथ औसत एक subcube के लिए देख रहे ≥ 0.1 ।) मैं यकीन है कि अंतराल के साथ समस्या के लिए किसी भी समाधान भी अंतराल के बिना समस्या का समाधान होगा हूँ।$\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$$\ge 0.1$

Answer 1

यहाँ नमूना जटिलता पर एक बेहतर बाध्य है। (हालांकि कम्प्यूटेशनल जटिलता अभी भी ।)$n^k$

प्रमेय। मान लें एक subcube वहां मौजूद आकार के 2 n - कश्मीर ऐसा है कि | ई एक्स ∈ एस [ च ( एक्स ) ] | ≥ 0.12 । साथ हे ( 2 कश्मीर ⋅ कश्मीर ⋅ लॉग इन करें n ) नमूने हम कर सकते हैं, उच्च संभावना के साथ, एक subcube की पहचान एस ' के आकार 2 n - कश्मीर ऐसा है कि | इ x ∈ स ′ [ $S$$2^{n-k}$$|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$$O(2^k \cdot k \cdot \log n)$$S'$$2^{n-k}$ ।$|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

मापदंडों में छोटे नुकसान पर ध्यान दें ( इष्टतम बनाम 0.1 की गारंटी है )।$0.12$$0.1$

सबूत। उठाओ अंक पी ⊂ { 0 , 1 } एन समान रूप से यादृच्छिक और क्वेरी में च प्रत्येक में एक्स ∈ पी ।$m$$P \subset \{0,1\}^n$$f$$x \in P$

2 n - k आकार के एक सबकुब को ठीक करें । हमारे पास E [ | एस ∩ पी | ] = एम 2 - के । एक चेर्नॉफ़ बाउंड द्वारा, पी [ | एस ∩ पी | < मीटर 2 - कश्मीर - 1 ] ≤ 2 - Ω ( मीटर 2 - कश्मीर ) । इसके अलावा पी [ | ई एक्स ∈ एस $S$$2^{n-k}$$\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

$$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$$ $$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$$

सभी पर एक संघ द्वारा बाध्य के विकल्पएस, हमपी[∀एस| ईएक्स∈एस∩पी[च(एक्स)]-ईएक्स∈एस[च(एक्स)]| ≤ε]≥1- (${n \choose k}2^k$$S$तो उठा द्वारामीटर=हे(2कश्मीर/ε2⋅कश्मीरलॉग इन करेंn), हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं, संभावना के साथ कम से कम0.99, हम अनुमान लगा सकतेईएक्स∈एस[च(एक्स)]के भीतरεसभी subcubes के लिएएसके आकार2एन-

$$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$$ $m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$$0.99$$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$$\varepsilon$$S$$2^{n-k}$।

स्थापना , हम प्रमेय साबित: सबसे बड़ा साथ subcube उठा | ई एक्स ∈ एस ∩ पी [ च ( एक्स ) ] | उच्च संभावना के साथ, आवश्यकताओं को पूरा करेगा। QED$\varepsilon=0.01$$| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

Comments

ओह, whow, कैसे मुझे मूर्ख: हाँ, मूल विचार यह है कि अगर आप नमूना अंक है, तो एक उम्मीद सी उनमें से इतनी का एक मामूली मूल्य के साथ, प्रत्येक subcube में हो जाएगा सी है कि एक बड़ा पर्याप्त नमूना देता है समस्या को हल करने के लिए आकार, सभी n k चेरनॉफ सीमा पर संघ-बद्ध होने के बाद भी । इसके अलावा, मुझे पूरा यकीन है कि किसी भी समाधान को 0.1 और 0.12 के बीच के अंतर को खत्म करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, इसलिए मैं इसे केवल एक टिप्पणी के रूप में जोड़ूंगा। धन्यवाद!! $C \cdot 2^k$$C$$C$$n^k$

— मोबियस डंपलिंग

इसे देखने का एक और तरीका यह है कि आपके द्वारा वर्णित रेंज स्पेस ने बिखरने वाले आयाम को बाध्य किया है और इसलिए वीसी आयाम को बाध्य किया है, और फिर आप इस पर एप्स-सन्निकटन प्रमेय को फेंकते हैं।

— सुरेश वेंकट