विभाजन का एक और प्रकार

मुझे एक निश्चित समय-निर्धारण समस्या के लिए निम्नलिखित विभाजन समस्या में कमी मिली है:

इनपुट: गैर-घटते क्रम में सकारात्मक पूर्णांकों की सूची । $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

प्रश्न: क्या कोई सदिश इस तरह मौजूद है $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

दूसरी शर्त के बिना यह सिर्फ विभाजन है, इसलिए एनपी-हार्ड। लेकिन दूसरी स्थिति बहुत सी अतिरिक्त जानकारी प्रदान करती है। मैं सोच रहा था कि क्या इस प्रकार का निर्णय लेने का एक कुशल तरीका है। या यह अभी भी कठिन है?

— थॉमस कालिनोवस्की
स्रोत

इस समस्या के लिए पार्टीशन से कमी है। आज्ञा दें कि एक उदाहरण है। मान लें कि । $(a_1,\dots, a_n)$ $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

चलो एक "बहुत बड़ी संख्या में", जैसे होना । उदाहरण पर विचार करें हमारी समस्या का। $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

यदि कोई समाधान से PARTITION है तो हमारी समस्या का समाधान है। $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
यदि हमारी समस्या के उदाहरण के लिए कोई समाधान है (जो हमने विभाजन का एक उदाहरण घटा दिया है), तो । इस प्रकार अर्थात, का समाधान है। $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— यूरी
स्रोत

धन्यवाद यूरी मेरे आवेदन में यह आवश्यक है कि इनपुट सूची को गैर-क्रमिक रूप से आदेश दिया गया है, और आपकी कमी में इनपुट नहीं है। आदेश की आवश्यकता को और अधिक स्पष्ट करने के लिए मैं प्रश्न को संशोधित करूंगा।

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— थॉमस कलिनोवस्की

@thomas: मैंने उस पर ध्यान नहीं दिया। अब मैंने अपना समाधान अपडेट किया।

— यूरी