क्या

Question

द्वारा निरूपित में कम से कम बाहर डिग्री जी , और द्वारा δ - ( जी ) में डिग्री के कम से कम।$\delta^+(G)$$G$$\delta^-(G)$

एक में संबंधित सवाल है, मैं की Ghouila-Houri विस्तार उल्लेख किया है Hamiltonian चक्र पर डिराक की प्रमेय है, जो पता चलता है कि अगर तो जी हैमिल्टनियन हैं।$\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

अपनी टिप्पणी में, सईद ने एक अलग विस्तार पर टिप्पणी की है जो मजबूत लगता है, सिवाय इसके कि ग्राफ को दृढ़ता से जुड़ा होना आवश्यक है।

पहली बार प्रकाशित होने के लगभग 30 साल बाद घोइला-हाउरी प्रमेय के लिए मजबूत कनेक्टिविटी बेमानी साबित हुई थी, और मैं सोच रहा था कि क्या वही विस्तार सईद के लिए है।

तो सवाल यह है:

1. कौन साबित कर दिया (कर सकते हैं किसी को भी संदर्भ लगता है) कि तात्पर्य जी Hamiltonian है, यह देखते हुए कि जी दृढ़ता से जुड़ा हुआ है?$\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$$G$$G$

2. मजबूत कनेक्टिविटी अनावश्यक यहाँ भी, यानी करता है मतलब मजबूत कनेक्टिविटी?$\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

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(ध्यान दें कि जबकि स्पष्ट रूप से ग्राफ को हैमिल्टनियन होने के लिए दृढ़ता से जुड़ा होना चाहिए, मैं पूछ रहा हूं कि क्या यह शर्त डिग्री शर्तों से निहित है)।

Answer 1

मैंने जो भिन्नता सुझाई वह वास्तव में वुडल प्रमेय की थोड़ी भिन्नता थी । शायद मैंने इसे बैंग-जेन्सेन और गुतिन की किताब में देखा था। उस समय जब मैंने एक टिप्पणी लिखी थी मैंने शुद्धता के लिए पुस्तक की जांच नहीं की थी। इसलिए यह सुनिश्चित करने के लिए कि मैंने लिखा है कि ग्राफ को दृढ़ता से जोड़ा जाना चाहिए। बीटीडब्लू, यह कथन मानता है क्योंकि वुडल प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में व्याख्या की जा सकती है। इसके अलावा दृढ़ता से कनेक्टिविटी की आवश्यकता नहीं है।

यह बैंग-जेन्सेन और गुतिन की किताब से प्रमेय 6.4.6 है :

चलो आदेश की एक संयुक्ताक्षर हो n ≥ 2 । यदि vert + ( x ) + δ - ( y ) vert n सभी युग्मों के लिए x और y ऐसा है कि x से कोई चाप नहीं है$D$$n\ge 2$$\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$$x$$y$$x$ के लिए , तो डी Hamiltonian है।$y$$D$

इसका मतलब है कि आपके प्रश्न के दूसरे भाग का उत्तर भी हां है।

इस बारे में संदेह था कि क्या एक तंग बाउंड है या नहीं। यहां मैं इसका जवाब देने की कोशिश करता हूं। हम कम से कम n से k < n की आवश्यकता को कम नहीं कर सकते , निम्नलिखित ग्राफ पर विचार करें। a , b , c द्विदिश त्रिकोण बना रहे हैं, और e , d एक द्विदिश k 2 बना रहे हैं । यदि हैमिल्टनियन चक्र ई पर शुरू होता है , तो यह अगली चाल में d तक नहीं जा सकता क्योंकि d के लिए एकमात्र तरीका b का उपयोग कर रहा है । दूसरी ओर ई के बाद हैमिल्टनियन चक्र c पर नहीं जा सकता है$n$$n$$k<n$$a,b,c$$e,d$$k_2$$e$$d$$d$$b$ , लेकिन , e से वापस जाने का एकमात्र तरीका है$b$$e$$e$$c$क्योंकि उसके बाद ही वापस करने के लिए जिस तरह से सीधे जा रहा है घ उपयोग करने के लिए ख अगले चाल में है, लेकिन फिर हम पिछले स्थिति में हैं। इसके अलावा तस्वीर से यह स्पष्ट है कि हर शीर्ष पर कम से कम 2 डिग्री है । तो हर दो मनमानी राशि का योग कम से कम 4 = 5 - 1 = n - $e,d$$d$$b$$2$$4=5-1 = n-1$ । हम इस तरह के ग्राफ को मनमाने ढंग से तक बढ़ा सकते हैं ।$n$

P.S1: निश्चित रूप से उपर्युक्त प्रमेय सरल डिग्राफ के लिए है। यानी बिना लूप या समानांतर किनारों के डिग्राफ।

P.S2: मेरे पास अभी एक अच्छा टेक्स टूल नहीं है। इसलिए छवि अच्छी नहीं है।

Comments

जब केवल दो लेखक होते हैं, तो उन्हें "पहले एट अल" के बजाय "फर्स्ट और सेकंड" के रूप में संदर्भित करना बेहतर होता है, इसलिए वे उस क्रेडिट को प्राप्त करते हैं जिसके वे हकदार हैं। और अन्य। ("और अन्य") का उपयोग केवल तब किया जाना चाहिए जब पूर्ण लेखक सूची लंबे समय तक पर्याप्त हो कि इसे पुन: प्रस्तुत करना अजीब हो।

— डेविड रिचेर्बी

Answer 2

आपके दूसरे प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है:

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$$G$ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है

$G$$\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$$G$$S$$S$$T$$T$$S$$S$$\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$$\delta^-(G) \le |T|-1$

$$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$$

Comments

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving हाँ, ऐसा लगता है।

— मोबियस डंपलिंग

यह मुझे आश्चर्यचकित करता है कि क्या n-1 हैमिल्टनिटी के लिए पर्याप्त है।

— आरबी

@ आरबी, नहीं, यह पर्याप्त नहीं है।

— सईद

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

Answer 3

यह एक मजबूत दावा दिखाने के लिए @Mobius जवाब का एक विस्तार है:

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$$\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$ ।

सबूत:

$(u,v)\in E$ हम काम हो गया।

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$$A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$$|A\cup B|\leq n-2$ ।

$$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$$

$|A\cap B| \geq 1$$\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$$d(u,v)=2$

$\blacksquare$