क्या यह खेल समाप्त होता है?

Question

निम्नलिखित कार्ड गेम पर विचार करें (इटली में "कैवासेमिकिया" के रूप में जाना जाता है, जिसे "स्ट्रिप्सहर्ट" के रूप में अनुवादित किया जा सकता है):

दो खिलाड़ी बेतरतीब ढंग से दो डेक कार्ड के एक मानक डेक में विभाजित हैं। प्रत्येक खिलाड़ी को एक डेक मिलता है।

खिलाड़ी वैकल्पिक रूप से अपने डेक से अगले कार्ड को स्टैक में रखते हैं।

यदि कोई खिलाड़ी (A) एक विशेष कार्ड, यानी I, II, या III रखता है, तो दूसरे खिलाड़ी (B) को कार्ड की संगत संख्या को लगातार नीचे रखना होगा।

• यदि ऐसा करने में बी एक विशेष कार्ड को नीचे रखता है, तो कार्रवाई उलट जाती है, और इसी तरह; अन्यथा, यदि बी कार्डों की संख्या को कम करता है, लेकिन कोई विशेष कार्ड नहीं है, तो ए उन सभी कार्डों को इकट्ठा करता है जिन्हें नीचे रखा गया था और उन्हें अपने डेक में जोड़ता है। तब एक कार्ड रखकर गेम को फिर से शुरू किया जाता है।

कार्ड से बाहर निकलने वाला पहला खिलाड़ी खेल खो देता है।

नोट: खेल का परिणाम विशेष रूप से डेक के प्रारंभिक विभाजन पर निर्भर करता है। (जो इस खेल को थोड़ा व्यर्थ लग सकता है ;-)

प्रश्न: क्या यह खेल हमेशा समाप्त होता है? क्या होगा यदि हम इस खेल को सामान्य करते हैं और प्रत्येक खिलाड़ी को कार्ड के दो क्रम देते हैं?

Comments

इसी तरह का खेल है बेगर-माय-नेबर ; 52 कार्ड (ए, जे, क्यू, के दंड का एक डेक के साथ खेला जाता है)। इसे स्ट्रिप जैक नेकेड या बीट योर नेबर आउट ऑफ डोर के रूप में भी जाना जाता है और विकिपीडिया के अनुसार यह एक खुली समस्या है कि एक गैर-समाप्ति वाला खेल मौजूद है या नहीं।

— मार्जियो डी बियासी

(चूँकि इसकी लंबी खुली आवाज़ मुझे tcs.se की तरह लगती है।) कॉनवे सुझाव देते हैं कि कंप्यूटर सर्च को आज़माने के लिए उस रेफरी के 1 पेज में। क्या किसी ने? ऐसा लगता है कि एक अच्छी रणनीति यह होगी कि छोटे डेकों की कोशिश की जाए और पूरी तरह से सवाल का जवाब दिया जाए और डेक का आकार बढ़ाया जाए। अगर छोटे डेक के लिए इसका हमेशा समापन होता है तो यह मनमाने आकार के डेक के लिए संभावित रूप से सही लगता है (और शायद एक प्रेरक प्रमाण इस तरह बनाया जा सकता है)। एक संबंधित प्रश्न, क्या कोई कार्ड गेम है जो कभी-कभी गैर-प्रमाणित साबित हुआ है? मुमकिन है कि वे काफी दुर्लभ हैं क्योंकि अधिकांश गेम किसी पर आधारित होते हैं जो अंततः जीतते हैं!

— vzn

@MarzioDeBiasi लिंक के लिए धन्यवाद, यह एक ही खेल है। मैं अनिर्णयता नहीं देखता क्योंकि दो परिमित डेक दिए गए हैं कि क्या खेल की समाप्ति स्पष्ट रूप से निर्णायक है।

— मनु

@EmanueleViola: यदि आप एक ही डेक विन्यास दो बार खेल कभी खत्म नहीं होगा प्रकट होता है, तो आप सही हैं! मैंने टिप्पणी को हटा दिया।

— मार्जियो डी बियासी

यह मिस्र का चूहा पेंच है, लेकिन थप्पड़ के बिना!

— अरेंजपेपर

Answer 1

भिखारी-मेरा-पड़ोसी के बारे में

पॉलहस (1, पी। 1564) ने 1999 में लिखा था:

$C$${D_{2}}^{'}(C)$

लेकिन कॉनवे एट अल। (2, p.892) 2006 में लिखा:

पट्टी-जैक-नेकेड, या भिखारी-मेरा-पड़ोसी ** 1

एक और समस्या जो इस पुराने बच्चों के खेल की चिंताओं को हल करने में लगभग 47 साल लग गए। दोनों में से प्रत्येक खिलाड़ी लगभग आधे कार्डों (फेस-डाउन) के साथ शुरू होता है, जिसे वे बारी-बारी से टेबल पर एक फेस-अप “स्टैक” में बदल देते हैं, जब तक कि उनमें से एक (जो अब कमांडर नहीं है) पहले सौदे करता है "कमांडिंग कार्ड" में से एक (जैक, क्वीन, किंग, या ऐस)।

इनमें से एक के निपटाए जाने के बाद, अन्य खिलाड़ी (अब "उत्तरदाता") कार्ड को लगातार खत्म कर देता है, जब तक कि एईईईईईआर नहीं आता। ** 2 एक नया कमांडिंग कार्ड दिखाई देता है (जब खिलाड़ी भूमिकाएं बदलते हैं ** 3) या क्रमशः 1, 2, 3, या 4 गैर-कमांडिंग कार्ड खत्म हो गए हैं। बाद के मामले में, कमांडर स्टैक पर मुड़ता है और इसे अपने हाथ के नीचे से जोड़ता है। उत्तरदाता फिर अपने अगले कार्ड को चालू करके एक नया स्टैक का निर्माण शुरू करता है, और पहले की तरह खेल जारी है।

एक खिलाड़ी जो सभी कार्ड प्राप्त करता है वह विजेता होता है और वास्तविक गेम में, ऐसा लगता है कि कोई हमेशा जीतता है। दिलचस्प गणितीय सवाल, हम में से एक ने कई साल पहले, "क्या यह सच है कि खेल हमेशा समाप्त होता है?" मार्क पॉलहस ने हाल ही में "नहीं!" होने का उत्तर पाया है। 150,000 खेलों में लगभग 1 (सामान्य 52 कार्ड के साथ खेला जाता है) हमेशा के लिए चलता है।

हमें पूरा विश्वास है कि किसी भी व्यक्ति ने उस समय की तरह कुछ भी नहीं खेला है, इसलिए जीवन भर के खेल में एक गैर-समाप्ति वाले खेल का अनुभव करने का मौका (यादृच्छिक फेरबदल के साथ) वास्तव में बहुत छोटा होना चाहिए।

हालांकि निश्चित रूप से, हालांकि, यह गेम दुनिया के ** 4 बच्चों द्वारा खेले जाने वाले कुल योगों में 150,000 से काफी बड़ा होना चाहिए, इसलिए उनमें से कई सैद्धांतिक रूप से गैर-समाप्ति वाले होंगे। हालांकि, हम कल्पना करते हैं कि वास्तव में उनमें से ज्यादातर ने वास्तव में समाप्त कर दिया क्योंकि किसी ने गलती की थी।

दुर्भाग्य से मैं पॉलहूस की खोज के संदर्भ में (2) में नहीं पाया गया ... मुझे कार्ड का एक क्रम देखना अच्छा लगेगा जो यह कहने के लिए एक गैर-समाप्ति वाला गेम देता है कि समस्या हल हो गई है।

2013 में, लक्ष्तनोव और अलेक्सेंको (3) ने लिखा:

भिखारी-मेरा-पड़ोसी प्रकार के ताश के खेल के लिए, हम खेल अवधि की गणितीय अपेक्षा की बारीकियों को साबित करते हैं, इस शर्त के तहत कि पहला कार्ड खेलने के लिए एक खिलाड़ी को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और ढेर में कार्ड को रखने से पहले फेरबदल किया जाता है। डेक। परिणाम खेल के नियमों के सामान्य प्रकार के संशोधनों के लिए भी मान्य है। दूसरे शब्दों में, हम दिखाते हैं कि भिखारी-मेरा-पड़ोसी खेल के लिए मार्कोव श्रृंखला का ग्राफ अवशोषित हो रहा है; यानी, किसी भी शीर्ष से कम से कम एक रास्ता खेल के अंत तक जाता है।

लेकिन उनके नियम वे नहीं हैं जिनका मैंने पालन किया जब मैंने एक बच्चा होने पर खेल खेला ;-)

मेरी जानकारी के अनुसार करने के लिए सबसे लंबे समय तक भिखारी-मेरी-पड़ोसी खेल से 2014 में मिला था विलियम Rucklidge साथ 7960 कार्ड :

1: -J------Q------AAA-----QQ-
2: K----JA-----------KQ-K-JJK

कैवासेमिकिया के बारे में

मैंने आमतौर पर इसे 40 कार्ड डेक के साथ खेला था, आधे डेक (केवल 20 कार्ड) के साथ सिमुलेशन कुल 3.448.400 खेलों में 16 गैर-समाप्ति वाले गेम देता है ।

ग्रन्थसूची

(1) पॉल, मार्क एम। मेरा पड़ोसी। अमेरिकी गणितीय मासिक , 1999, 162-165। http://www.jstor.org/stable/2589054

(२) बेर्लेम्प, एल्विन आर।; कॉनवे, जॉन एच।; GUY, रिचर्ड के। विनिंग मैथ्स फॉर योर मैथमेटिकल प्ले, वॉल्यूम 4. एएमसी, 2003, 10: 12. http://www.maa.org/publications/maa-reviews/winning-ways-for-your-mathematical-plays -volume -4

(३) लाकेशोअन, एवगेनी लियोनिदोविच; ALEKSENKO, अलीना इलिन्चन्ना। भिखारी-मेरा-पड़ोसी कार्ड खेल में सुंदरता। सूचना प्रसारण की समस्याएं , 2013, 49.2: 163-166। http://dx.doi.org/10.1134/S0032946013020051