क्या "छोटे" ट्यूरिंग मशीनों / एनएफए के अस्तित्व के गैर-रचनात्मक प्रमाण हैं?

संबंधित प्रश्न को पढ़ने के बाद , एल्गोरिदम के गैर-रचनात्मक अस्तित्व के प्रमाणों के बारे में, मैं सोच रहा था कि क्या वास्तव में इसका निर्माण किए बिना "छोटे" (कहते हैं, राज्य-वार) कम्प्यूटेशन मशीनों के अस्तित्व को दिखाने के तरीके हैं।

औपचारिक रूप से:

मान लें कि हमें कुछ भाषा और कुछ गणना मॉडल (NFAs / ट्यूरिंग मशीन / आदि) को ठीक करें। $L\subseteq \Sigma^*$

क्या कोई गैर-रचनात्मक अस्तित्व परिणाम है जो लिए एक -स्टेट मशीन दिखा रहा है, लेकिन बिना खोजने की क्षमता ( समय) में मौजूद है? $n$ $L$ $poly(n,|\Sigma|)$

उदाहरण के लिए, क्या कोई नियमित भाषा है जिसके लिए हम दिखा सकते हैं, लेकिन हम नहीं जानते कि कैसे एक -ate automaton का निर्माण किया जाए? $L$ $nsc(L)\leq n$ $n$

( के गैर नियतात्मक राज्य जटिलता है , यानी कम से कम NFA में राज्यों की संख्या है कि स्वीकार )। $nsc(L)$ $L$ $L$

संपादित करें: मार्जियो के साथ कुछ चर्चा के बाद (धन्यवाद!) मुझे लगता है कि मैं इस प्रश्न को बेहतर रूप में तैयार कर सकता हूं:

क्या कोई भाषा और एक संगणना मॉडल है, जिसके लिए निम्नलिखित है: $L$

हम जानते हैं कि गणना करने वाली एक मशीन का निर्माण कैसे किया जाता है जिसमें राज्य होते हैं। $L$ $m$

हमारे पास एक प्रमाण है कि लिए -states मशीन मौजूद है (जहाँ ), लेकिन या तो हम इसे बिल्कुल नहीं पा सकते हैं या इसे कम्प्यूट करने के लिए घातीय समय लगेगा। $n$ $L$ $n << m$

cc.complexity-theory automata-theory turing-machines

— आरबी
स्रोत

nsc (L) क्या है? सवाल संपीड़न से संबंधित लगता है / Kolmogorov जटिलता जो स्ट्रिंग्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए छोटी (स्था) मशीनों को खोजने के लिए कहती है ...

— vzn

nsc (L) L की गैर निर्धारक राज्य जटिलता है (सबसे छोटे NFA में राज्यों की संख्या जो L को स्वीकार करती है)।

— आरबी

एक अन्य विचार / कोण, शायद कुछ "छोटे" सर्किट वर्ग (एक अन्य गणना मॉडल) हैं, जिसके लिए यह साबित होता है कि वे कुछ कार्यों की गणना कर सकते हैं लेकिन वास्तविक निर्माण मुश्किल है? एसजे ने हाल ही में बैरिंगटन thm का उल्लेख किया है कि चौड़ाई 5 शाखाओं में बँट सकते हैं?

— vzn

@vzn बैरिंगटन के प्रमेय का प्रमाण सूत्र को ब्रांचिंग कार्यक्रमों में बदलने की एक आसान प्रक्रिया देता है।

— सैशो निकोलेव

@ आरबी: ठीक है, आप संसाधन बद्ध कोलमोगोरोव जटिलता (विशेष रूप से समयबद्ध जटिलता) से अधिक दिलचस्प उदाहरण पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए एक स्ट्रिंग , छोटी से छोटी मशीन है कि कुछ ही समय में रन क्या है कि प्रिंट ? इस स्थिति में हम आसानी से एक TM का निर्माण कर सकते हैं जो प्रिंट करता है , लेकिन सबसे छोटे को खोजने के लिए सभी TM को स्कैन करना पड़ता है(समय बद्ध इसे कम्प्यूटेबल बनाता है)। जब मेरे पास अधिक समय होगा, तो मैं अपने उत्तर का विस्तार करूंगा।

x

$x$

O (2^{n})

$O(2^n)$

x

$x$

x

$x$

| M | < | x |

$|M|<|x|$

— Marzio De Biasi

जवाबों:

एक तुच्छ उदाहरण के साथ केवल एक विस्तारित टिप्पणी; आप एक-तत्व की भाषा चुन सकते हैं:

L_{k} = {M ∣ σ (M) = Σ (k)}

$L_k = \{ M \mid \sigma(M) = \Sigma(k) \}$

यानी पहले (lexicographical क्रम में) शामिल हैं ऊदबिलाव व्यस्त आकार के ट्यूरिंग मशीन (आकार के ट्यूरिंग मशीन कि पा लेता है हॉल्टिंग के बाद अपने टेप पर +1 की संख्या सबसे अधिक)। $L_k$ $k$ $k$

हर लिए भाषा नियमित है ... लेकिन हमें इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि छोटे DFA का निर्माण कैसे करें जो इसे पहचानता है (हालांकि इसमें केवल राज्यों) :-) $k$ $L_k$ $\leq 2*k(\log k+2)$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

जबकि मैं मानता हूं कि यह काम करता है, मैं स्पष्ट रूप से दी गई भाषा के लिए तकनीक दिखाने वाले अस्तित्व की तलाश में था।

— आरबी

"स्पष्ट रूप से दी गई भाषा" क्या है?

— जेफ

भाषा (कुछ अभाज्य संख्या ) को -स्टेट बाउंड-एरर क्वांटम फाइनेंस ऑटोमेटा द्वारा पहचाना जा सकता है QFA) लेकिन प्रमाण गैर-रचनात्मक है। $\mathtt{MOD_p} = \{a^{ip} \mid i \geq 0\}$ $p$ $O(\log p)$

राज्यों की सबसे अच्छी ज्ञात रचनात्मक रूप से प्राप्त संख्या जो बाउंड-एरर QFAs के लिए मान्यता । $O(\log^{2+o(1)}p)$ $\mathtt{MOD_p}$

आरईएफ : (एंबैनिस और याकरिलमिल्म, 2015) की धारा 4.2 ।

— अबूज़र यकरिल्मज़
स्रोत

एक और उपाय है कि हिग्मन के लेम्मा का उपयोग करें :

उप पासवर्ड के तहत बंद एक भाषा नियमित है।

साथ के एक subword हम प्राप्त कर सकते हैं में कुछ पत्र निकाल कर । $u$ $v$ $u$ $v$

इसलिए किसी भी भाषा L को लें, उसका सब-क्लोज़र नियमित है लेकिन L के मनमाने होने के कारण वह बिल्कुल भी रचनात्मक नहीं है।

— सी.पी.
स्रोत