Integers पर 3SUM समस्या के लिए दो एल्गोरिदम की तुलना करना

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इल्या डीरन, एरिक डी। डेमन, मिहाई पतरास्कु द्वारा पेपर "सबकुड्रैटिक एल्गोरिदम 3SUM" के लिए, निम्नलिखित जटिलताएं हैं

3SUM समस्या: एक सूची दी $L$ के पूर्णांकों अगर देखते हैं ऐसी है कि $n$ $x,y,z \in L$ $x+y=z.$

वे कहते हैं, " बिट शब्दों के साथ एक मानक शब्द रैम पर , हम रनिंग टाइम प्राप्त करते हैं । एक अमानक ऑपरेशन के साथ सर्किट रैम में , हम । बाह्य मेमोरी में, हम मानक धारणा के तहत करते हैं। डेटा इंडिविसिबिलिटी। कैश-गुमनामी से, हम एक रनिंग टाइम प्राप्त करते हैं । सभी मामलों में, "स्पीडिज्म" में हमारा स्पीडअप लगभग द्विगुणित होता है, मॉडल एक ऑर्डिनैट कर सकता है, जो सबसे अच्छा हो सकता है संभव है। बारां, डिमाइन, पैट्रसकु पेपर यहां देखें । $w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

हाल ही में, ग्रोनडलंड और पेटी द्वारा एक पेपर "थ्रीसम, डीजेनरेट्स, एंड लव त्रिकोण" ने साबित कर दिया है कि "3SUM का निर्णय ट्री जटिलता $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ , और यह है कि $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ समय में चलने वाला एक यादृच्छिक 3SUM एल्गोरिथ्म , और $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$ समय।

ये परिणाम 3SUM अनुमान के सबसे मजबूत संस्करण का खंडन करते हैं, अर्थात् इसका निर्णय वृक्ष (और एल्गोरिथम) जटिलता $Ω(n^2)$ । "

यह दूसरा पेपर यहां देखें ।

जाहिर है, दोनों महत्वपूर्ण कागजात हैं। इस क्षेत्र के विशेषज्ञ नहीं होने के नाते, मेरा सवाल अलग जटिलता मॉडल को देखते हुए, दोनों के प्रभाव और महत्व की तुलना कैसे करें। इस समस्या के बारे में कोई अन्य व्यावहारिक टिप्पणी भी स्वागत योग्य है। उदाहरण के लिए पहले पेपर में पहले से ही $\Omega(n^2)$ बंधी हुई थी?

cc.complexity-theory ds.algorithms

— kodlu
स्रोत

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यहां कुछ बिंदु दिए गए हैं जो नए परिणामों को परिप्रेक्ष्य देने में मदद करते हैं।

निर्णय ट्री जटिलता परिणाम बड़ा है। हमले की एक पंक्ति (और जेफ एरिकसन इस पर और अधिक कह सकते हैं) समस्या की निर्णय जटिलता (यानी समस्या को हल करने के लिए आवश्यक तुलनाओं की संख्या) को देखते हुए 3SUM को कम करने की कोशिश करना था। उम्मीद यह थी कि कुछ करीब प्राप्य था। $\Omega(n^2)$

यह परिणाम निर्णायक रूप से एक साथ तर्क को बाध्य करता है। ध्यान दें कि यह समस्या की वास्तविक जटिलता के बारे में कुछ नहीं कहता है। यह कहता है कि एक निर्णय ट्री लोअर बाउंड नहीं होने वाला है। और वह (अन्य सबूतों के साथ) मूल आधार पर संदेह करता है कि 3SUM "नैतिक रूप से" करीब है । $O(n^{3/2})$ $n^2$

एल्गोरिदमिक परिणाम अवचेतन रूप से बिना शर्त (यानी एक शब्द-समानांतर मॉडल में नहीं है)। यह एक बड़ी बात है, हालांकि मुझे लगता है कि कोई इस तथ्य के बारे में सोच सकता है कि यह कुछ निरंतर लिए । $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

जैसा कि @domotorp कहता है, यह बहुत ही नए परिणामों की श्रृंखला की शुरुआत हो सकती है। यह कहना वास्तव में कठिन है। वर्तमान ऊपरी सीमा टिमोथी चान से कुछ जादुई चालों के साथ निर्णय ट्री एल्गोरिदम को "फिर से लागू करने" से आती है। यह बोधगम्य है कि इसे और आगे बढ़ाया जा सकता है।

— सुरेश वेंकट
स्रोत

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जेफ एरिकसन इस पर और अधिक कह सकते हैं - वास्तव में कहने के लिए और अधिक नहीं। मैंने साबित किया कि एक प्राकृतिक निर्णय ट्री मॉडल में गहराई से आवश्यकता होती है ; नए कागज से पता चलता है कि बहुत मामूली मजबूत मॉडल के साथ, गहराई पर्याप्त है। रेट्रोस्पेक्ट में, यह परिणाम आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए, फ्रेडमैन के प्रकाश में और एक्स + वाई और सबसे छोटे रास्तों को छाँटने पर चान के परिणाम। लेकिन यह पूरी तरह से हमले की एक प्राकृतिक रेखा को बंद कर देता है। जैसा कि मैंने सेठ को बताया, मैं एक साथ अविश्वसनीय रूप से राहत और अविश्वसनीय रूप से ईर्ष्या कर रहा हूं।

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

— जेफ

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अगर हम जानते हैं कि हर इनपुट संख्या है पहले कागज अनिवार्य रूप से एक subquadratic एल्गोरिथ्म देता बिट और हम दो जोड़ सकते हैं एक कदम में बिट नंबर। यह एक बहुत ही आश्चर्यजनक परिणाम नहीं था और इसने एक बाध्य नहीं किया। $w$ $w$ $\Omega(n^2)$

दूसरा पेपर ऐसी किसी भी धारणा का उपयोग नहीं करता है और निर्णय पेड़ों के लिए के घातांक में सुधार करता है , जो एक आश्चर्य की बात है, हालांकि सभी एल्गोरिदम के लिए उतना बड़ा नहीं होगा, जिसके लिए उन्होंने केवल थोड़ा सुधार किया है (इस प्रकार सबसे मजबूत अनुमान को खारिज कर दिया है) । मुझे लगता है कि जल्द ही और अधिक परिणाम का पालन होगा। $n$

— domotorp
स्रोत

मैं दोनों उत्तरों से खुश हूं, लेकिन केवल एक को स्वीकार कर सकता हूं, इसलिए मैंने अधिक विस्तृत एक को स्वीकार किया।

— कोडुला