वास्तविक पर एनपी पूर्णता

Question

मैं हाल ही में गणना के बीएसएस मॉडल का अध्ययन कर रहा हूं (उदाहरण के लिए जटिलता और वास्तविक संगणना; ब्लम, कुकर, शुब, स्मेल।)

Reals के लिए , यह दिखाया गया है कि, बहुआयामी पद की एक प्रणाली दिया , शून्य का अस्तित्व -Complete। हालांकि, मैं सोच रहा हूँ, अगर उन के बहुआयामी पद केवल पूर्णांक गुणांक, यानी, कर रहे हैं , अभी भी समस्या है -हार्ड? (यह स्पष्ट रूप से )।$R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$NP_R$

मुझे हां में संदेह है, लेकिन क्या एक सरल प्रमाण है?

Answer 1

मुझे लगता है कि इसका उत्तर नहीं है , (मेरा मानना ​​है कि मैं नीचे एक प्रमाण देता हूं, लेकिन पर्याप्त संभावना है यहाँ मैं निश्चित रूप से अपने दावों को लेकर सतर्क हूं।$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

प्रमाण है कि उत्तर$\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ । वास्तव में, मेरा मानना ​​है कि निम्नलिखित मजबूत कथन को मानते हैं:

Lemma: किसी भी BSS निर्णय समस्या के लिए over , यदि पॉली- BSS पूर्णांक इनपुट पर समस्या को कम करता है, तो ।$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

लेम्मा का सबूत : मान लीजिए एक बहुपद समय बीएसएस वहाँ थे से कमी पूर्णांक आदानों पर एक समस्या के लिए, एक मशीन द्वारा दिए गए । से मिलकर आदानों के लिए वास्तविक मापदंडों की गणना उतारना एक बीजीय गणना पेड़ में। केवल बहुत सारे पत्ते हैं, और प्रत्येक पत्ती पर परिणाम इनपुट मापदंडों में एक एकल तर्कसंगत कार्य है। हमेशा पूर्णांक मान को आउटपुट करने के लिए वास्तविक इनपुट के तर्कसंगत कार्य के लिए, यह एक स्थिर फ़ंक्शन होना चाहिए, और इसलिए इनपुट पर निर्भर नहीं होता है। हालांकि, प्रत्येक पत्ती पर कौन सा निरंतर कार्य किया जाता है, निश्चित रूप से, शाखाओं पर निर्भर करता है। हालांकि, चूंकि एक समान मशीन है, इसलिए केवल वही हो सकता है$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$ आउटपुट नोड्स, और इस प्रकार केवल आउटपुट मान। इस प्रकार को तुच्छ रूप से संशोधित किया जा सकता है वास्तव में बहुपद में का निर्णय लेते हैं । QED$O(1)$$M$$L$

अब, को वास्तविक बहुपद की वास्तविक व्यवहार्यता के लिए लें। यदि , तो , और द्वारा Lemma पूर्णांक इनपुट पर किसी भी समस्या के लिए से कोई कमी नहीं है (विशेष रूप से, पूर्णांक बहुपद की वास्तविक व्यवहार्यता के लिए )।$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

समस्या का वादा? : आपके प्रश्न के साथ एक और संभावित मुद्दा यह है कि पूर्णांक बहुपद की वास्तविक व्यवहार्यता में नहीं हो सकती है , लेकिन केवल इसके वादा संस्करण में है। यहाँ मुद्दा यह है कि यह सत्यापित करने के लिए कि एक इनपुट (जैसे कि बहुपद का गुणांक ) एक पूर्णांक है जो के परिमाण पर निर्भर करता है , जबकि उदाहरणों के सेट (सभी उदाहरणों के लिए, केवल हां-इंस्टेंस के लिए नहीं) निर्णय समस्या में डिसाइडेबल होना चाहिए , बाद अर्थ है कि उस में बहुपद समय लगता है पैरामीटर की संख्या$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$, और उनके परिमाण नहीं। यह, मेरा मानना ​​है, इस तथ्य से निकटता से संबंधित है कि पूर्णांक वास्तविकताओं के भीतर पहले-क्रम के लिए निश्चित नहीं हैं। (अनिवार्य रूप से सबसे अच्छा एक BSS -machine यह जांचने के लिए कर सकता है कि क्या इनपुट एक पूर्णांक है शक्तियों की गणना करके के पूर्णांक भाग की गणना करना और "द्विआधारी खोज" करना ... एक बार जब यह गणना की जाती है। का पूर्णांक वाला भाग , यह जाँचता है कि क्या यह बराबर है ।) तो मुझे लगता है कि पूर्णांक समीकरणों की वास्तविक व्यवहार्यता की संभाव्यता लेकिन संभवत: में नहीं है (या कम से कम यह साबित करने के लिए कि यह अंदर है, यह साबित होता है$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$ )।