मनमाने ढंग से सममित कार्यों को पूरा करना

एक वितरण को -fool a function कहा जाता है। यदि । और यह कहा जाता है कि यदि यह उस कक्षा में प्रत्येक फ़ंक्शन को मूर्ख बनाता है, तो यह फ़ंक्शन के एक वर्ग को बेवकूफ बनाने के लिए है। यह ज्ञात है कि -biased रिक्त स्थान उप-वर्ग में समता के वर्ग को मूर्ख बनाते हैं। ( ऐसे रिक्त स्थान के कुछ अच्छे निर्माण के लिए अलोन-गोदरिख-हस्तद-पेराल्टा देखें )। जो प्रश्न मैं पूछना चाहता हूं, वह सममित कार्यों के लिए इसका सामान्यीकरण है। $\mathcal{D}$ $\epsilon$ $f$ $|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

प्रश्न: मान लीजिए कि हम कुछ उपसमूह पर मनमाने सममित कार्यों का वर्ग लेते हैं, तो क्या हमारे पास इस वर्ग को मूर्ख बनाने वाले (छोटे समर्थन के साथ) वितरण है?

कुछ छोटे अवलोकन:

यह सटीक थ्रेसहोल्ड को मूर्ख बनाने के लिए पर्याप्त है ( 1 है और केवल अगर में के सूचकांकों के बीच बिल्कुल हैं )। कोई भी वितरण जो -fools इन सटीक थ्रेसहोल्ड बिट्स पर सभी सममित कार्यों को बेवकूफ बना देगा । (ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक सममित समारोह को इन सटीक थ्रेसहोल्ड के वास्तविक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जहां संयोजन में गुणांक या तो 0 या 1. अपेक्षा की रैखिकता है, फिर हमें वह देता है जो हम चाहते हैं) एक समान तर्क सामान्य तह के लिए भी काम करता है। 1 है और यदि केवल में कम से कम $\text{ETh}^S_k(x)$ $x$ $k$ $S$ $\epsilon$ $n\epsilon$ $n$

$\text{Th}^S_k(x)$ $x$ $k$ में सूचकांक के बीच वाले ) $S$
निस्पैन के लिए निसान के PRG के माध्यम से समर्थन साथ वितरण का एक स्पष्ट निर्माण है । $n^{O(\log n)}$
मनमाना -बाइस्ड स्पेस काम नहीं करेगा। उदाहरण के लिए यदि सब का सेट है इस तरह के एक्स में लोगों की संख्या गैर शून्य आधुनिक 3, यह वास्तव में है कि बहुत छोटे के लिए -biased (एक से Arkadev Chattopadyay का परिणाम )। लेकिन स्पष्ट रूप से यह MOD3 फ़ंक्शन को बेवकूफ नहीं बनाता है। $\epsilon$ $S$ $x$ $\epsilon$ $\epsilon$

एक दिलचस्प उपप्रकार निम्नलिखित हो सकता है: मान लें कि हम सभी n सूचकांकों पर सममित कार्य करना चाहते हैं , क्या हमारे पास एक अच्छा स्थान है? उपरोक्त टिप्पणियों के द्वारा, हमें बस -बिट्स पर थ्रेशोल्ड फ़ंक्शंस को मूर्ख बनाने की आवश्यकता है , जो कि फ़ंक्शन का एक परिवार है । इस प्रकार एक जानवर-बल द्वारा वितरण का चयन किया जा सकता है। लेकिन क्या ऐसे स्थानों के अच्छे उदाहरण हैं जो हर लिए मूर्ख ? $n$ $n+1$ $\text{Th}^{[n]}_k$ $k$

— रामप्रसाद
स्रोत

शायद यह टिप्पणी मदद कर सकती है। लिनियल और निसान के अनुमान को हाल ही में मार्क ब्रेवरमैन द्वारा निपटाया गया है। पेपर का शीर्षक "पॉलीग्लारिथमिक इंडिपेंडेंस मूर्ख एसी ^ 0 सर्किट" है। cs.toronto.edu/~mbraverm/Papers/FoolAC0v7.pdf

— मिरमोज़ाता ग़रीबी

हां, इस समस्या का एक सामान्य समाधान हाल ही में परीक्षित गोपालन, रघु मीका, ओमेर रींगोल्ड और डेविड ज़ुकरमैन द्वारा दिया गया है, कॉम्बिनेटरियल शेप के लिए स्यूडोरैंड्रैम जेनरेटर देखें ।

वह कागज एक और भी सामान्य सेटिंग को संभालता है, जहां जनरेटर -बिट ब्लॉक को आउटपुट करता है, जो तब मनमाने ढंग से बूलियन फ़ंक्शंस को खिलाया जाता है, जिनके आउटपुट को फिर बूलियन सिमिट्रिक फ़ंक्शन में खिलाया जाता है। $n$ $\log m$ $n$

विभिन्न उप-मामलों को पहले से ही जाना जाता था; उदाहरण के लिए देखें Pseudorandom Bit Generators कि Fool Modular Sums , बाउंडेड इंडिपेंडेंस Fools हाफस्पेस और Polynomial थ्रेशोल्ड फ़ंक्शंस के लिए Pseudorandom Generators । पहला हैंडल sums modulo । दूसरा और तीसरा हैंडल आपके द्वारा उल्लिखित दहलीज परीक्षणों को सटीक रूप से संभालता है, हालांकि हर सममित फ़ंक्शन के लिए परिणाम प्राप्त करने के लिए आपके तर्क को लागू करने के लिए त्रुटि काफी अच्छी नहीं है। $p$

— मनु
स्रोत

लेकिन गोपालन-मेका-रीडिंगोल्ड-ज़ुकरमैन उलटे बहुपद त्रुटि के लिए एक इष्टतम पीआरजी नहीं देते हैं? एक स्थिर

, हालांकि यह इष्टतम है। फिर भी, पॉइंटर के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद।

ε

$\varepsilon$

— रामप्रसाद

ϵ

$\epsilon$