एक सकर्मक पूर्णता / पथ अस्तित्व का परिकलन करना

Question

यहाँ सकर्मक पूर्णता के बारे में कुछ प्रश्न ( १ , २ , ३ ) हुए हैं जिससे मुझे लगता है कि यदि ऐसा कुछ संभव है तो:

मान लें कि हमें एक इनपुट निर्देशित ग्राफ और आप " ?" प्रकार के प्रश्नों का उत्तर देना चाहेंगे , अर्थात यह पूछें कि क्या ग्राफ़ के सकर्मक समापन में दो कोने के बीच कोई बढ़त मौजूद है ? (समान रूप से, " में से तक एक रास्ता है ?")।$G$$(u,v)\in G^+$$G$$u$$v$$G$

दिए गए बाद मान लें कि आपको समय में प्रीप्रोसेसिंग चलाने की अनुमति है और फिर समय में प्रश्नों का उत्तर देने की आवश्यकता है ।$G$$f(n,m)$$g(n,m)$

जाहिर है, अगर (यानी कोई प्रीप्रोसेसिंग की अनुमति नहीं है), तो आप जो सबसे अच्छा कर सकते हैं वह है समय में एक प्रश्न का उत्तर देना । ( से तक डीएफएस चलाएं और यदि कोई रास्ता मौजूद है तो वापस लौटें)।$f=0$$g(n)=\Omega(n+m)$$u$$v$

एक और तुच्छ परिणाम यह है कि अगर , आप सकर्मक बंद गणना कर सकता है और उसके बाद में प्रश्नों का जवाब ।$f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$$O(1)$

क्या बीच में कुछ है? यदि आपको अनुमति है, तो प्रीप्रोसेसिंग समय, क्या आप तुलना में तेज़ी से प्रश्नों का उत्तर दे सकते हैं ? शायद इसे ?$f=n^2$$O(m+n)$$O(n)$

एक और भिन्नता है: मान लें कि आपके पास प्रीप्रोसेसिंग समय है, लेकिन केवल स्थान है, तो क्या आप से अधिक कुशल प्रश्नों का उत्तर देने के लिए प्रीप्रोसेसिंग का उपयोग कर सकते हैं ?$poly(n,m)$$o(n^2)$$O(n+m)$

क्या हम सामान्य रूप से ट्रेडऑफ के बारे में कुछ भी कह सकते हैं जो इस तरह के प्रश्नों का उत्तर देने की अनुमति देता है?$f,g$

जीपीएस सिस्टम में कुछ इसी तरह की ट्रेडऑफ़ संरचना पर विचार किया जाता है, जहाँ स्थानों के बीच सभी जोड़ीदार दूरियों की एक पूर्ण मार्ग तालिका को रखना संभव है, इसलिए यह दूरी के विचार का उपयोग कर रहा है जो एक आंशिक तालिका संग्रहीत करता है लेकिन संपूर्ण दूरी की गणना करने पर महत्वपूर्ण क्वेरी गति की अनुमति देता है ग्राफ (आमतौर पर केवल अंकों के बीच की दूरी तय करता है)।

Comments

दो नोड्स और बीच हैमिंग की दूरी hops तक पहुँच सकती है और अधिक जानकारीपूर्ण मीट्रिक हो सकती है। $i$$j$$t$

— चाड ब्रूबैकर

Answer 1

योजनाकार रेखांकन के लिए कॉम्पैक्ट पुनरावर्तन ऑरेकल मौजूद हैं,

मिकेल थोरुप: प्लांटर डिग्रेक्ट्स में पुनराचार्यता और अनुमानित दूरी के लिए कॉम्पैक्ट ऑरेकल । जे। एसीएम 51 (6): 993-1024 (2004)

लेकिन सामान्य रेखांकन के लिए "कठिन" हैं (यहां तक ​​कि विरल रेखांकन)

Mihai Patrascu: सेल-प्रोब लोअर बाउंड्स के लैंडस्केप का एकीकरण । स्याम जे। Comput। 40 (3): 827-847 (2011)

फिर भी, एक एल्गोरिथ्म है जो एक क्लोज-टू-इष्टतम रीचचबिलिटी लेबलिंग की गणना कर सकता है

एडिथ कोहेन, एरण हैपरिन, हैम कापलान, उरी ज़्विक: रीचैबिलिटी और डिस्टेंस क्वेरीज़ 2-हॉप लेबल्स के माध्यम से । स्याम जे। Comput। 32 (5): 1338-1355 (2003)

मैक्सिम ए। बबेंको, एंड्रयू वी। गोल्डबर्ग, अनुपम गुप्ता, विश्वनाथ नागराजन: एल्गोरिथम हब लेबल अनुकूलन के लिए । ICALP 2013: 69-80

कोहेन एट अल के काम पर बिल्डिंग। और अन्य, काफी हद तक लागू अनुसंधान (डेटाबेस समुदाय) उदाहरण देखें

Ruoming जिन, गुआन वांग: सरल, तेज, और स्केलेबल रीचबिलिटी ओरेकल । PVLDB 6 (14): 1978-1989 (2013)

Yosuke Yano, Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Yuichi Yoshida: लैंडस्केप और रास्तों के साथ छंटाई लेबल द्वारा ग्राफ पर तेज और स्केलेबल पुनरावृत्ति प्रश्न । CIKM 2013: 1601-1606

Answer 2

मैं आपके प्रश्न का आंशिक रूप से उत्तर दूंगा: ऐसा कुछ कारण प्रतीत होता है कि इस तरह के निर्माण को प्राप्त करना कठिन हो सकता है।

मान लीजिए कि किसी भी n-नोड m-edge निर्देशित ग्राफ़ को आप इसे T (m, n) समय में प्रीप्रोसेस कर सकते हैं ताकि q (m, n) समय में रीचैबिलिटी प्रश्नों का उत्तर दिया जा सके। फिर, उदाहरण के लिए, आप एन-नोड एम-एज ग्राफ में एक त्रिकोण पा सकते हैं$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$समय। इसलिये$T(m,n)=O(n^2)$ तथा $q(m,n)=O(n)$एक सफलता परिणाम होगा। त्रिकोण खोजने के लिए हमारे पास सबसे अच्छा एल्गोरिथ्म है जिसमें रन मिलते हैं$O(n^\omega)$ समय और यह स्पष्ट नहीं है कि क्या $\omega=2$।

कमी को देखने के लिए, मान लीजिए कि हम कुछ ग्राफ में एक त्रिकोण खोजना चाहते हैं $G$। के 4 सेट पर 4-लेयर ग्राफ बनाएं$n$ प्रत्येक नोड $X,Y,Z,W$ जहां प्रत्येक मूल नोड $v$ में $G$ प्रतियां हैं $v_X,v_Y,v_Z,v_W$। अब प्रत्येक किनारे के लिए$(u,v)$ में $G$ निर्देशित किनारों को जोड़ें $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$। यह ग्राफ को पूरा करता है। अब प्रीप्रोसेसिंग करें$T(O(m),O(n))$ समय, और प्रश्नों के बारे में पूछें $v_X,v_W$ प्रत्येक के लिए $v$।

संभवतः कुछ और कामों के साथ एक ग्राफ में त्रिकोणों को सूचीबद्ध करने के लिए कटौती को भी बदल सकते हैं (वर्तमान में यह केवल त्रिकोण में नोड्स को सूचीबद्ध करता है)। यदि कोई इसे कुशलता से कर सकता है, तो शायद 3SUM आवश्यकता के आधार पर कुछ सशर्त कम बाध्यता प्राप्त कर सकता है$n^{2+o(1)}$ समय के साथ-साथ, 2010 से पैट्रसक्यू के परिणाम का उपयोग करना।