विधेय के यूजीसी कठोरता

Question

पृष्ठभूमि :

सुभाष खोत के मूल यूजीसी पेपर ( पीडीएफ ) में, वह यह तय करने की यूजी-कठोरता साबित करता है कि क्या किसी दिए गए सीएसपी उदाहरण के साथ सभी प्रकार की बाधाओं के साथ-साथ एक त्रैमासिक वर्णमाला से अधिक नहीं (ए, बी, सी) एक असाइनमेंट को संतुष्ट करता है 1 - $\epsilon$ बाधाओं की या कि क्या वहाँ satisying कोई असाइनमेंट मौजूद $\frac{8}{9}+\epsilon$बाधाओं के कारण, मनमाने ढंग से छोटे के लिए$\epsilon > 0$।

क्या यह परिणाम के किसी भी संयोजन के लिए सामान्यीकृत किया गया है मैं उत्सुक हूँ के लिए -ary बाधाओं ℓ ≥ 3 और आकार के अस्थिर प्रभाव क्षेत्र कश्मीर ≥ 3 जहां ℓ ≠ कश्मीर ≠ 3 । अर्थात्,$\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

प्रश्न :

वहाँ विधेय के लिए सन्निकटन परिणामों के किसी भी ज्ञात कठोरता हैं के लिए एक्स मैं ∈ जी एफ ( कश्मीर ) के लिए ℓ , कश्मीर ≥ 3 और ℓ ≠ कश्मीर ≠ 3 ? $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

मुझे विशेष रूप से मूल्यों के संयोजन में दिलचस्पी है ; जैसे, विधेय नहीं सभी-बराबर ( एक्स 1 , ... , एक्स कश्मीर ) के लिए एक्स 1 ... , एक्स कश्मीर ∈ जी एफ ( कश्मीर ) ।$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

Comments

कृपया केस संदर्भ देखें ? $k=3$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ टर्कीस्टनी ने, मेरे प्रश्न को और अधिक देखने के बाद, मैंने उप-प्रश्न को हटाने का फैसला किया (क्योंकि मैं एक ही बार में बहुत अधिक रास्ता पूछ रहा था!)। मूल रूप से जिस पेपर का मैं जिक्र कर रहा था, वह यह था ।

— डैनियल अपॉन

यदि आप बुलटोव के कागज के बारे में एक प्रश्न पोस्ट करते हैं, तो ध्यान दें कि पिछले दशक में दृष्टिकोण का महत्वपूर्ण सरलीकरण हुआ है। कई एल्गोरिदम को सरल और विलय कर दिया गया है, बार्टो और कोज़िक द्वारा हाल ही के एलआईसी पेपर को अवलोकन के लिए देखें।

— एन्द्रस सलामोन

@Andras: मुझे लगता है तुम्हारा मतलब यह ? यह दिलचस्प लग रहा है; मैं निश्चित रूप से इसे पढ़ूंगा, धन्यवाद! किसी भी मामले में, मैं शायद पिछले उप-प्रश्न को एक नए प्रश्न के रूप में जल्द ही फिर से पूछूंगा, यह मानते हुए कि मैं अपने लिए इसका जवाब नहीं देता हूं (इसके अलावा, मैं यह सुनिश्चित करने के लिए समय पर छोटा हूं कि मैं इसे ठीक से बताता हूं) ।

— डैनियल अपॉन

हाँ, यह एक है। इसमें दिए गए संदर्भ बाद के इतिहास के माध्यम से एक त्वरित दौरा प्रदान करते हैं।

— एंड्रस सलामन

Answer 1

मुझे एहसास हुआ कि मैंने ऊपर जो दावा किया है वह वास्तव में ज्ञात है।

के लिए और मनमाने ढंग से कश्मीर ≥ 3 , इस "3-संभाव्य 3-वर्दी hypergraphs रंग की कठोरता" खोट के FOCS 2002 अखबार में है (कागज वास्तव में सामान्य के बारे में बात कश्मीर , हालांकि शीर्षक केवल 3-संभाव्य मामले के बारे में बात) ।$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

के लिए और कश्मीर ≥ 2 , वास्तव में एक मजबूत कठोरता जाना जाता है। यहां तक कि अगर वास्तव में चर करने के लिए सिर्फ दो मानों का एक काम है कि सभी NAE की कमी (दूसरे शब्दों में संतुष्ट नहीं है ℓ -uniform hypergraph किसी भी एक रंग hyperedge बिना 2 रंग का उपयोग रंगा जा सकता है), यह अभी भी एनपी कठिन एक को मिल रहा है एक डोमेन आकार से काम कश्मीर जो संतुष्ट कम से कम 1 - 1 / कश्मीर ℓ - 1 + ε मनमाने ढंग से लगातार के लिए NAE की कमी ( ε > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$)। यह इस तथ्य से आसानी से अनुसरण करता है कि हाइपरग्राफ 2-रंग के लिए ज्ञात अनुचितता परिणाम ध्वनि की स्थिति में एक मजबूत घनत्व बयान देता है। अली सिनोप के साथ मेरे सोडा 2011 के पेपर में औपचारिक बयान दिखाई देता है "कम वर्णक्रमीय संख्या के बाउंड डिग्री (हाइपर) ग्राफ़ में स्वतंत्र सेट खोजने की जटिलता" (सोडा अंतिम संस्करण में लेम्मा 2.3, और ईसीसीसी पर उपलब्ध पुराने संस्करण में लेम्मा 2.8। http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ )।

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जो कि काफी खूबसूरत है। मैं शायद निकट भविष्य में इसका इस्तेमाल करूँगा। धन्यवाद!

— डैनियल अपॉन

Answer 2

मैं NAE-3SAT के बारे में खोज से इस पृष्ठ पर उतरा।

मैं कर रहा हूँ यकीन है कि है कि समस्या के लिए आप पूछ रहे हैं, यह होना चाहिए एनपी कठिन है, तो उदाहरण संतुष्टि योग्य है बताने के लिए, या अधिक से अधिक है, तो की कमी के अंश संतुष्ट किया जा सकता है। यह है, एक तंग कठोरता परिणाम (मिलान क्या बस एक यादृच्छिक काम लेने होगा), संतोषजनक उदाहरणों के लिए, और UGC के लिए कोई ज़रूरत नहीं है।$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

के लिए और ℓ ≥ 4 , इस Hastad के कारक 7/8 + एप्सिलॉन inapproximability 4-सेट बंटवारे (जो तब के लिए k-सेट बंटवारे को कम किया जा सकता है के लिए परिणाम से इस प्रकार कश्मीर > 4 )। Negations ठीक कर रहे हैं, एक भी मैक्स (के लिए अपने तंग कठोरता परिणाम का उपयोग कर सकते ℓ - 1 -SAT)।$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

के लिए , खोट यह एक FOCS 2002 अखबार में "कठोरता 3-संभाव्य 3-वर्दी hypergraphs रंग की।" साबित कर दिया (यही है, उन्होंने मूल यूजीसी धारणा को हटा दिया।)$k=\ell=3$

के लिए और मनमाने ढंग से कश्मीर ≥ 3 , Engebretsen और मैं "?।: 150-178 (2004) दो चर से अधिक बाधा संतुष्टि हमेशा आसान रैंडम Struct एल्गोरिदम 25 (2) है" में इस तरह के एक परिणाम साबित कर दिया। हालांकि, मुझे लगता है कि हमारे परिणाम को "तह" की आवश्यकता है, यानी, बाधाएं वास्तव में कुछ स्थिरांक ए , बी के लिए फॉर्म NAE ( x i + a , x j + b , x k ) के रूप में होंगी । (यह बूलियन चरों की नकारों को अनुमति देने का एनालॉग है।)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

सामान्य मामले के लिए, मुझे नहीं पता कि क्या यह कहीं भी नीचे लिखा गया है। लेकिन अगर आपको वास्तव में इसकी आवश्यकता है, तो मैं शायद कुछ पा सकता हूं या दावे की जांच कर सकता हूं।

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$\ell = 4$$k$

Answer 3

अपने STOC'08 बेस्ट पेपर में प्रसाद राघवेंद्र ने अनोखे खेलों के अनुमान को सही साबित करते हुए कहा कि एक साधारण अर्ध-प्रोग्रामिंग प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम किसी भी बाधा संतुष्टि की समस्या (NAE सहित) के लिए सबसे अच्छी संख्या में प्रत्येक चर के साथ और निरंतर वर्णमाला के साथ बाधाओं को देता है। वास्तव में यह जानने के लिए कि NAE के लिए कठोरता कारक क्या है, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि इसके लिए सरल एल्गोरिथ्म कितनी अच्छी तरह से करता है, अर्थात, कार्यक्रम के लिए एक अभिन्न अंतर साबित होता है। मुझे नहीं पता कि किसी ने पहले से ही एनएई के लिए अपनी पूरी व्यापकता में ऐसा किया है या नहीं।

Comments

ओह अच्छा! मैंने राघवेंद्र की एसटीओसी पेपर के कुछ अन्य संस्करणों को पढ़ने में कुछ खर्च किया है। मुझे यह संबंध बनाना चाहिए था! मुझे नहीं पता कि NAE मानों की गणना विशेष रूप से की गई है या नहीं, लेकिन वे निश्चित रूप से मुझे रुचि देंगे!

— डैनियल एपोन