प्राकृतिक सिद्धांत केवल "उच्च संभावना" के लिए सिद्ध हुए?

Question

ऐसी बहुत सी परिस्थितियाँ हैं जहाँ एक यादृच्छिक "प्रमाण" एक निर्धारक प्रमाण की तुलना में बहुत आसान है, विहित उदाहरण बहुपद पहचान परीक्षण है।

प्रश्न : क्या कोई प्राकृतिक गणितीय "प्रमेय" है जहां एक यादृच्छिक प्रमाण ज्ञात है लेकिन एक निर्धारक प्रमाण नहीं है?

के एक बयान के "यादृच्छिक प्रमाण" से $P$मेरा मतलब है कि

1. वहाँ एक यादृच्छिक एल्गोरिथ्म है कि एक इनपुट लेता है $n > 0$ और अगर $P$ गलत है की एक नियतात्मक सबूत का उत्पादन $\neg P$ संभावना कम से कम के साथ $1-2^{-n}$ ।

2. किसी ने एल्गोरिथ्म चलाया है, कहते हैं, $n = 100$ , और प्रमेय को अस्वीकृत नहीं किया।

यह गैर-प्राकृतिक बयानों को उत्पन्न करने के लिए आसान है जो फिट होते हैं: बस किसी भी समस्या का एक बड़ा उदाहरण चुनें जहां केवल एक कुशल यादृच्छिक एल्गोरिदम जाना जाता है। हालांकि, हालांकि "बहुत सारे संख्यात्मक प्रमाण" के साथ बहुत सारे गणितीय प्रमेय हैं, जैसे कि रीमैन परिकल्पना, मुझे उपरोक्त फॉर्म के कठोर यादृच्छिक सबूतों के साथ किसी का भी पता नहीं है।

Comments

@ केव: श्रेणी सुधार के लिए धन्यवाद। मुझे यकीन नहीं था कि इसके तहत क्या रखा जाए।

— जेफ्री इरविंग

एक और दिशा, "व्युत्पन्नता" साहित्य का अध्ययन (अच्छे सर्वेक्षण की तलाश में)। अपेक्षाकृत हाल ही में (पुरस्कार जीतने वाले) रेनॉल्ड प्रमेय भी इस का एक मामला है (फिर से सबूत से पहले)?

— vzn

ईआरएच (जैसे प्राइम्स हुआ करता था) पर नियत प्रमाण के साथ किसी भी समस्या के साथ यह संपत्ति होगी

— सुरेश वेंकट

मुझे कहने के लिए खेद है लेकिन मुझे नहीं लगता कि आपका प्रश्न समझ में आता है, क्योंकि इस तरह के कोई बयान प्राकृतिक या नहीं हो सकते हैं। आप लिखते हैं कि N एक प्रमुख उदाहरण है जिसका उपयोग एक अच्छा उदाहरण है, लेकिन (निश्चित रूप से) हमेशा से कुछ समय के लिए प्राणिमात्र के लिए एक निर्धारक प्रमाण रहा है। मैं यह भी नहीं सोच सकता कि आप एक एल्गोरिथ्म की सफलता की संभावना को कैसे परिभाषित करेंगे जो कि एक फिक्स स्टेटमेंट को बाधित करना है। हो सकता है कि आप समस्याओं के एक वर्ग के लिए एक कुशल सबूत के लिए पूछना चाहते हैं (यानी, इनपुट P और n होगा और कथन P (n)) लेकिन फिर हम जटिलता सिद्धांत और BPP की परिभाषा पर पहुंचेंगे।

— डोमोटर

डोमोटर: यह सच है कि (एल्गोरिथ्म यादृच्छिक संख्याओं की एक सीमित संख्या का उपयोग करता है) किसी भी ऐसे यादृच्छिक प्रमाण को कुछ प्रदर्शन लागत के साथ व्युत्पन्न किया जा सकता है। हालांकि, मैं उन उदाहरणों के बारे में पूछ रहा हूं जहां प्रदर्शन लागत काफी अधिक है कि नियतात्मक प्रमाण आज तक नहीं चला है, जबकि यादृच्छिक प्रमाण है। मेरा मानना ​​है कि परिभाषाएँ इस संदर्भ में समझ में आती हैं।

— ज्योफ्री इरविंग

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ यह इस बात का उदाहरण नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं, बल्कि यह बताता है कि इस तरह का उदाहरण कैसे आ सकता है। कुछ दहनशील पहचानों को एनकोडेड बहुपद के बारे में पहचान के रूप में एन्कोड किया जा सकता है । यदि बहुपद असमान हैं, तो पहचान साबित करने के लिए यह d + 1 अंक पर सत्यापित करने के लिए पर्याप्त है । हालाँकि, यदि बहुपद बहुपद हैं, और डिग्री कम से कम बड़ी है, तो पहचान को सत्यापित करने के लिए Scwartz-Zippel लेम्मा एकमात्र व्यावहारिक तरीका हो सकता है।$d$$d+1$

एकतरफा मामले के उदाहरण के लिए, ज़िलबर्गर द्वारा इस लेख की जाँच करें , नथुने के एक प्रश्न का समाधान। वह क्रमपरिवर्तन के आँकड़ों के बारे में एक कथन सिद्ध करता है। क्रमपरिवर्तन के लिए , चलो निवेश संबंधी निर्णय निर्माताओं ( π ) नंबर हो | { ( मैं , जे ) : मैं < j , π ( मैं ) > π ( जे ) } | के व्युत्क्रम का π , और प्रमुख सूचकांक मेजर ( π ) की$\pi \in S_n$$\inv(\pi)$$|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$$\pi$$\maj(\pi)$ सेट में सभी पूर्णांकों का योग { मैं : π ( मैं + 1 ) < π ( मैं ) } । Zeilberger साबित करता है कि, सभी n के लिए , दो आंकड़ों का सहसंयोजक है$\pi$$\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$$n$

जहां सभी अपेक्षाओं एक समान रूप से यादृच्छिक पर हैंπमेंएसएन। Zeilberger के सबूत के लिए सिर्फ एक कंप्यूटर सत्यापन हैn∈{1,2,3,4,5}, और बयान है कि एक अवलोकन में बहुआयामी पद के बीच एक पहचान के बराबर हैnज्यादा से ज्यादा डिग्री के4।

$$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$$ $\pi$$S_n$$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$$n$$4$

Comments

धन्यवाद, यह एक प्यारा लेख है। मुझे नैतिक बहुत पसंद हैं।

— जेफ्री इरविंग