ट्यूरिंग मशीनें जिनकी समाप्ति अप्राप्य है?

Question

मेरा एक भोला-भाला सवाल है: क्या कोई ट्यूरिंग मशीन मौजूद है जिसका समापन सत्य है, लेकिन किसी भी प्राकृतिक, सुसंगत और सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध सिद्धांत द्वारा अप्राप्य है? मैं एक विशिष्ट उदाहरण के बजाय मात्र अस्तित्व प्रमाण मांगता हूं।

यह क्रमिक विश्लेषण के साथ कुछ संबंध हो सकता है । दरअसल, ट्यूरिंग मशीन के लिए$M$, हम परिभाषित कर सकते हैं $O(M)$एक सुसंगत सिद्धांत के कम से कम अध्यादेश के रूप में इसकी समाप्ति साबित हुई (या इन अध्यादेशों के असीम)। इसलिए मुझे लगता है कि यह पूछना बराबर होगा कि क्या मौजूद है$M$ ऐसा है कि $O(M) \geq \omega_1^{CK}$?

Comments

क्या परिमाणीकरण दूसरे तरीके से काम नहीं करना चाहिए? टीएम एक्स हाल्ट में बस एक स्वयंसिद्ध के रूप में जोड़ना किसी भी एक्स के लिए सुसंगत होगा जो वास्तव में सभी इनपुटों पर होता है (और यदि आप इसे केवल टीएम के लिए करते हैं तो परिमित)। क्वांटिफ़ायर के साथ उलट, कैसे एक टीएम के बारे में जो इनपुट को अक्षीय प्रणाली के लिए स्थिरता का प्रमाण नहीं है और एक अनंत लूप में प्रवेश करता है, तो रुक जाता है।

— योनतन एन

आपका सुझाव दिलचस्प है, धन्यवाद। प्रश्न तैयार करते समय मैं आपकी चिंता से अवगत था, इसीलिए मैंने आवश्यकताओं में "प्राकृतिक" जोड़ा। बेशक, समस्या यह है कि क्या हम "प्राकृतिकता" की एक औपचारिक परिभाषा दे सकते हैं जो इस कृत्रिम निर्माण को नियंत्रित करेगा।

— सुपर

लगता है कि इसका उत्तर नहीं है क्योंकि यदि इसका ठहराव होता है, तो कोई बस मशीन चलाता है और यह एक सीमित संख्या में चरणों में रुकेगा, और यह एक प्रमाण है, और यह तथ्य किसी भी शक्तिशाली शक्तिशाली सबूत प्रणाली में परिवर्तित हो सकता है। दूसरी ओर, लगता है कि गैर-हॉल्टिंग मशीन में गॉडल की अनप्रोवेबल थम को एनकोड / कन्वर्ट / ट्रांसलेट करना संभव है, जिसके लिए नॉन-हॉल्टिंग अयोग्य है। यह प्रश्न समान है, क्या कोई टीएम है जो सभी इनपुट पर रुकता है लेकिन संपत्ति सिद्ध नहीं है

— vzn

आप ट्यूरिंग मशीन का निर्माण कर सकते हैं $M$गुडस्टीन के अनुक्रम की गणना करता है $G(n)$ इनपुट का $n$ और जब यह पहुंचता है तो रुक जाता है $0$। का पड़ाव $M$पीनो अंकगणित में साबित नहीं किया जा सकता है; अर्थात् गुइस्टेन के प्रमेय अंकगणित के पीनो स्वयंसिद्धों का उपयोग करने योग्य नहीं है। लॉरी किर्बी, जेफ पेरिस, पीनो अंकगणित (1982) के लिए सुलभ स्वतंत्रता परिणाम

— Marzio De Biasi

धन्यवाद, मैं उन प्रविष्टियों को नहीं जानता था। हालांकि मैं जो पूछ रहा हूं वह अधिक मजबूत है, मैं किसी भी उचित सिद्धांत (बल्कि पीए जैसे विशिष्ट सिद्धांत) की तुलना में अप्रतिस्पर्धा करना चाहता हूं । मुझे यकीन नहीं है कि सवाल का एक निश्चित जवाब है।

— सुपर 8

Answer 1

एक ट्यूरिंग मशीन की समाप्ति (एक निश्चित इनपुट पर) एक है $\Sigma^0_1$ वाक्य और सभी सामान्य प्रथम-क्रम अंकगणितीय सिद्धांत पूर्ण होते हैं $\Sigma^0_1$ वाक्य, यानी सब सच $\Sigma^0_1$ इन सिद्धांतों में कथन सिद्ध होते हैं।

यदि आप रुकने के स्थान पर समग्रता को देखते हैं , अर्थात सभी सूचनाओं पर एक टीएम पड़ाव है, तो यह एक है$\Pi^0_2$- अपूर्ण वाक्य और किसी भी कम्प्यूटेशनल रूप से स्वयंसिद्ध संगत सिद्धांत के लिए जो काफी मजबूत है (उदाहरण के लिए रॉबिन्सन कहते हैं $Q$ सिद्धांत) एक टीएम है जिसकी समग्रता उस सिद्धांत में सिद्ध नहीं की जा सकती है।

Comments

हां, मैं समग्रता की तलाश में था, क्योंकि निश्चित रूप से समस्या एक निश्चित इनपुट के लिए तुच्छ है। मैं आपके दावे के बारे में सोचूंगा और इसे कैसे साबित कर सकता हूं, लेकिन इस बिंदु पर मैं यह नहीं देखता कि "कम्प्यूटेशनल रूप से स्वयंसिद्ध" सिद्धांतों पर विचार करना उपरोक्त समस्या को कैसे नियंत्रित करता है? इसके अलावा, आपके कथन में TM विचार किए गए सिद्धांत पर निर्भर करता है, क्या हम किसी तरह के विकर्णीकरण द्वारा अपना मजबूत बयान प्राप्त कर सकते हैं?

— सुपर 8

यहां एक आसान तरीका है: इस तरह के एक सिद्धांत के साबित कुल कम्प्यूटेशनल कार्यों का सेट सीई है, कुल कम्प्यूटेशनल कार्यों का सेट सीई नहीं है, या वैकल्पिक रूप से आप सिद्धांत के कुल कार्यों के खिलाफ विकर्ण कर सकते हैं।

— केव

दूसरे विचार पर, मैं सुझाव देता हूं कि समस्या का प्रतिबंध इस प्रकार है। एक क्रमिक अंकन प्रणाली को देखते हुए$\sigma$ एक क्रम का प्रतिनिधित्व करना $\alpha$, हम एक "प्राथमिक सिद्धांत" को परिभाषित कर सकते हैं $\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ यह ट्रांसफ़ैक्शन को अप करने की अनुमति देता है $\alpha$। एक टीएम दिया$M$, हम तब परिभाषित करेंगे $O(M)$ सबसे छोटे क्रम के रूप में $\alpha$ इस तरह की समाप्ति $M$ एक सिद्धांत द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$(यानी संकेतन प्रणाली को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है)। क्या यह परिभाषा समझ में आती है?

— सुपर 8

@ सुपर 8, मुझे यकीन नहीं है। आम तौर पर सिद्धांतों के लिए अध्यादेशों का संघ विहित नहीं है, इसे करने के लिए विभिन्न तरीके हैं। आप पीआरए जैसे कमजोर सिद्धांत के साथ शुरू कर सकते हैं और अच्छे मौलिक अनुक्रमों के साथ गणना योग्य अध्यादेशों पर प्रेरण जोड़ सकते हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि आप ऐसा क्यों करना चाहते हैं।

— केव

ठीक है, मुझे इस समस्या का आभास नहीं था, मैं अपने आप ही एक बेहतर परिभाषा खोजने की कोशिश करूंगा।

— सुपर 8

Answer 2

मैं एक तर्क विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मेरा मानना ​​है कि उत्तर नहीं है । यदि ट्यूरिंग मशीन रुक जाती है, और सिस्टम काफी मजबूत है, तो आपको इसके इनपुट पर ट्यूरिंग मशीन के पूर्ण गणना इतिहास को लिखने में सक्षम होना चाहिए। जब कोई यह पुष्टि करता है कि गणना का परिणाम परिवर्तनों का एक समाप्ति क्रम है, तो कोई यह देख सकता है कि मशीन रुक जाती है। भले ही आप अपने सिद्धांत में ट्यूरिंग मशीनों को औपचारिक रूप देते हैं, आपको किसी भी उचित सिद्धांत में यह दिखाने में सक्षम होना चाहिए कि एक मशीन जो वास्तव में रुकती है। सादृश्य के माध्यम से, यह साबित करने की कोशिश करने के बारे में सोचें कि एक परिमित राशि क्या इसके बराबर है; उदाहरण के लिए, साबित करें कि 5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42, या 5 + 5 + 5 = 15। जिस तरह यह हमेशा संभव है जब तक कि चरणों की संख्या परिमित है, इसलिए भी एक परिमित गणना का परिणाम साबित हो रहा है।

बस एक अतिरिक्त स्पष्ट बिंदु के रूप में - भले ही आपका सिद्धांत असंगत है, फिर भी आप यह दिखा सकते हैं कि मशीन रुक जाती है, वास्तव में भले ही ऐसा न हो, क्योंकि आप असंगत सिद्धांत में किसी भी wff को साबित कर सकते हैं, भले ही वह हो या न हो। वास्तव में सच है।

Comments

मैं आपके पहले बिंदु से सहमत हूं, नीचे मेरा उत्तर देखें। आपके दूसरे बिंदु के बारे में, एक असंगत सिद्धांत भी (वास्तव में गैर-विनाशकारी) टीएम की समाप्ति को साबित करेगा, सुसंगत सिद्धांतों पर प्रतिबंध लगाता है।

— सुपर 8

मुझे लगता है कि हम एक ही बात कह रहे हैं; मैंने अभी देखा कि आपने प्रश्न में "सुसंगत" कहा था, इस बात के लिए खेद है कि गायब है। मुझे लगता है कि केव का जवाब सभी चीजों को शामिल करता है और वैसे भी अधिक सुरुचिपूर्ण ढंग से लिखा गया है।

— फिलिप व्हाइट