पॉलिनोमिअल्स के साथ OR का प्रतिनिधित्व करना

Question

मुझे पता है कि वेरिएबल्स OR फ़ंक्शन को बहुपद द्वारा बिल्कुल दर्शाया जा सकता है जैसे: p (x_1, \ ldots, x_n) = 1- \ prod_ { i = 1} ^ n \ left (1-x_i \ right) , जो डिग्री n का है ।$n$$x_1,\ldots, x_n$पी ( एक्स 1 , ... , एक्स एन ) पी ( एक्स 1 , ... , x n ) = 1 - Π n मैं = 1 ( 1 - एक्स मैं )$p(x_1,\ldots,x_n)$$p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$$n$

लेकिन मैं कैसे दिखा सकता हूं, जो स्पष्ट प्रतीत होता है, कि यदि $p$ एक बहुपद है, जो OR फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है (so $\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ), तो $\deg(p) \ge n$ ?

Comments

क्या आप असली बहुपद के बारे में बात कर रहे हैं? या बहुपद modulo 2? यदि आप मॉडुलो 6 (या अन्य समग्र संख्या) के बारे में बात करना चाहते हैं, तो सवाल अधिक दिलचस्प हो जाता है।

— इगोर शिनकर

Answer 1

चलो $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ एक बूलियन फ़ंक्शन हो। यदि इसका एक बहुपद निरूपण $P$ तो इसमें बहुखंडीय बहुपद निरूपण $Q$ की डिग्री $\deg Q \leq \deg P$ : बस किसी भी शक्ति x_i ^ k को प्रतिस्थापित करें $x_i^k$, जहां $k \geq 2$ , x_i द्वारा $x_i$। इसलिए हम बहुपत्नी बहुपद पर अपना ध्यान सीमित कर सकते हैं।

दावा करें: बहुपद $\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$ , फ़ंक्शन $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ रूप में, अंतरिक्ष के लिए एक आधार बनाते हैं। सभी कार्यों के $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ ।

प्रमाण: हम पहली बार दिखाते हैं कि बहुपद रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। मान लीजिए कि $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$ सभी के लिए $(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ । हम (मजबूत) प्रेरण द्वारा साबित $|S|$वह $c_S = 0$ । मान लीजिए कि $c_T = 0$ सभी के लिए $|T| < k$ , और हमें कार्डिनलिटी k का सेट S दिया जाता है । सभी T \ subset S के लिए, हम इंडक्शन द्वारा जानते हैं कि c_T = 0 , और इसलिए 0 = f (1_S) = c_S , जहाँ 1_S इनपुट है जो S के निर्देशांक पर 1 है । ~ \ qquad \ वर्ग$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

दावा शो है कि एक समारोह के multilinear प्रतिनिधित्व अद्वितीय है (वास्तव में, भी होने की जरूरत नहीं है -valued) । OR का अद्वितीय बहु प्रतिनिधित्व , जिसमें डिग्री ।$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

Answer 2

चलो बहुपद ऐसा है कि के लिए सभी हो , । बहुपद के सममिति पर विचार करें : ध्यान दें कि, चूंकि OR फ़ंक्शन एक सममित बूलियन फ़ंक्शन है, इसलिए हमारे पास , , और । चूंकि एक गैर-शून्य बहुपद है, और इसमें कम से कम 0 है, तो इसके पास कम से कम होना चाहिए । इसलिए, में डिग्री भी होनी चाहिए ।$p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$

$$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$$ $k = 1, 2, \ldots, n$$q(k) = 1$$q(0) = 0$$q-1$$n$$n$$p$$n$

सममिति का उपयोग अक्सर बूलियन फ़ंक्शन और क्वांटम क्वेरी जटिलता की अनुमानित डिग्री के अध्ययन में किया जाता है। उदाहरण के लिए देखें, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf ।

Comments

यह मुझे लगता है कि आपके प्रमाण के लिए काम करने के लिए, आपको यह दिखाने की आवश्यकता है कि क्यू की डिग्री पी के अधिकांश डिग्री पर है। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। आप इसे कैसे दिखाते हैं?

— मैथ्यू

D = deg (p) दें। फिर q डिग्री d पॉलीओनियम्स का योग है, इसलिए q की डिग्री अधिकांश d पर है।

— हेनरी यूएन

Answer 3

युवल और हेनरी ने इस तथ्य के दो अलग-अलग प्रमाण दिए हैं। यहाँ एक तीसरा सबूत है।

सबसे पहले, युवल के उत्तर के रूप में हम बहुपत्नी बहुपद पर अपना ध्यान केंद्रित करते हैं। अब आप पहले से ही डिग्री एन मल्टीलाइनर बहुपद प्रदर्शित कर चुके हैं जो OR फ़ंक्शन के बराबर है। अब हमें केवल यह दिखाने की आवश्यकता है कि यह बहुपद अद्वितीय है, और इसलिए आपने एक बहुपद के रूप में ओआर और फ़ंक्शन के केवल एक को ही पाया है। नतीजतन, इसकी डिग्री n है ।$n$$n$

दावा: यदि हाइपरक्यूब पर दो बहुखंडीय बहुपद p और q बराबर हैं, तो वे हर जगह समान हैं।

प्रमाण: r (x) = p (x) - q (x), और हम जानते हैं कि r (x) = 0 सभी x के लिए { 0 , 1 } n में । हम यह दिखाना चाहते हैं कि r (x) समान रूप से शून्य है। एक विरोधाभास की ओर, यह मान लें कि यह नहीं है, और किसी गैर-गुणांक के साथ r में कोई भी मोनोमियल चुनें, जिसमें न्यूनतम डिग्री हो। इस मोनोमियल के बाहर के सभी वेरिएबल्स को 0 पर सेट करें और इस मोनोमियल के सभी वेरिएबल्स को इस इनपुट पर 1. r (x) नॉनज़रो है, लेकिन यह इनपुट बुलियन है, जो एक विरोधाभास है।$\{0,1\}^n$