एनपी में निर्विवाद सदस्यता

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क्या कोई ऐसी भाषा का उदाहरण है जो $NP$ , लेकिन जहां हम इस तथ्य को सीधे-सीधे यह दिखा कर साबित नहीं कर सकते कि इस भाषा में सदस्यता के लिए एक बहुपद साक्षी मौजूद है?

इसके बजाय, यह तथ्य कि भाषा में है, $NP$ इसे में किसी अन्य भाषा में कम करके साबित किया जाएगा $NP$ , जहां दोनों के बीच लिंक तुच्छ नहीं है और सावधानीपूर्वक विश्लेषण की आवश्यकता है।

आमतौर पर, में समस्याओं के कुछ दिलचस्प उदाहरण हैं $NP$ ताकि यह देखना मुश्किल हो कि वे $NP$ ?

एक अर्ध-जवाब समता खेलों में विजेता तय करने की समस्या होगा: पता चलता है कि उस में है (यहां तक कि ), हम की जरूरत है स्थितीय determinacy प्रमेय जो गहरी और गैर तुच्छ है। हालांकि यह उत्तर आदर्श नहीं है, क्योंकि यह अभी भी इस सटीक समस्या (स्थिति संबंधी रणनीति) के लिए एक बहुपद साक्षी के अस्तित्व को उबालता है, और एक और अलग -प्रोब्लेम को कम नहीं करता है । $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

एक और एक AKS primality एल्गोरिथम होगा: यह तय करना कि क्या एक संख्या बहुपद है, जबकि इस तथ्य के लिए कोई छोटा सा गवाह नहीं है। मान लें कि हम "आश्चर्यचकित बहुपद एल्गोरिथम" को नियंत्रित करते हैं, क्योंकि उनमें से कई ऊपर दिए गए विवरण को फिट करेंगे। मुझे आश्चर्यजनक $NP$ एल्गोरिदम में अधिक दिलचस्पी है जो नियतात्मक नहीं हैं।

reductions np

— डेनिस
स्रोत

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हम जानते थे कि AKS से पहले एनपी में primes था क्योंकि

अभाज्य है अगर

ऐसा है कि और , सभी प्राइम डिविजर्स q के लिए। ।

n > 2

$n > 2$

1 < r < n

$1<r<n$

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— Artem Kaznatcheev

दिलचस्प है, मैं primality प्रमाणपत्र के बारे में नहीं सोचा था।

— डेनिस

6

एनपी में nontrivial सदस्यता के उदाहरणों के लिए एक अच्छा पूल उन समस्याओं से आ सकता है जिनके लिए यह कुछ समय के लिए खुला है कि क्या वे भी दुर्जेय थे। मेरी टोपी के ऊपर से दो समस्याएं: स्ट्रिंग ग्राफ मान्यता और नॉटन पहचान (और अधिक सामान्य गाँठ जीन)। हालांकि दोनों मामलों में, एक बहुपद गवाह (अर्थात् सामान्य घटता / सतह) मौजूद है - उन्हें खोजने में मुश्किल हुई है। गाँठ भी एनपी में है, और यह भी गैर-तुच्छ है: एक प्रमाण पत्र मौजूद है लेकिन किसी को अपने आकार पर एक बहुपद बाध्य करने के लिए सामान्यीकृत रीमैन हाइपोथीसिस की आवश्यकता होती है।

— अरनौद

'ऑर्बिट प्रॉब्लम' को भी लंबे समय तक निर्णायक नहीं माना जाता था। यह अंततः पी। प्रो। लिप्टन के पास इस समस्या के इतिहास के बारे में उनके ब्लॉग पर एक उत्कृष्ट लेख है: rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/the-orbit-problem

— जगदीश

3

एक और उदाहरण: एक ग्राफ को देखते हुए, यह तय करें कि क्या यह सही है। समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है, लेकिन यह साबित करने में थोड़ा समय लगा कि यह एनपी में है।

— जगदीश

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पूर्णांक प्रोग्रामिंग ।

यह दिखाते हुए कि यदि पूर्णांक समाधान है तो बहुपद आकार पूर्णांक समाधान है जो काफी शामिल है। देख

क्रिस्टोस पापादिमित्रिउ, " ऑन द कॉम्पलेक्सिटी ऑफ इंटेगर प्रोग्रामिंग ", जेएसीएम, 1981।

— कावेह
स्रोत

4

क्राइस्टोस पापादिमित्रिउ, इंटेगर प्रोग्रामिंग की जटिलता पर , जेएसीएम 28 765-768। dx.doi.org/10.1145/322276.322287 (यह पढ़ने लायक है, और केवल चार पृष्ठ लंबा है)।

— एंड्रस सलामोन

1

यदि आपके पास ACM DL तक पहुंच नहीं है, तो आप यहाँ से Papadimitriou का पेपर प्राप्त कर सकते हैं ।

— केवह

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जबकि समस्या "अधिकांश पर एक ग्राफ की क्रॉसिंग संख्या है ?" एनपी में तुच्छ रूप से है, रेक्टिलाइनर क्रॉसिंग नंबर और जोड़ी क्रॉसिंग नंबर के लिए संबंधित समस्याओं की एनपी-सदस्यता अत्यधिक स्पष्ट नहीं है; सीएफ बिएनस्टॉक, कुछ शायद कठिन पार संख्या समस्याएं, असतत कम्प्यूट। ज्यामिति 6 (1991) 443-459, और शेफर एट अल।, एनपी, जे। कंपुत में स्ट्रिंग रेखांकन को पहचानना। प्रणाली विज्ञान। 67 (2003) 365-380। $k$

— user13136
स्रोत

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मेरा पसंदीदा उदाहरण अशोक चंद्र और फिलिप मर्लिन का क्लासिक 1977 का परिणाम है । उन्होंने दिखाया कि प्रश्नवाचक प्रश्नों के लिए क्वेरी समसामयिक समस्या निर्णायक थी। दो इनपुट प्रश्नों के बीच एक समरूपता है या नहीं, यह तय करने के लिए संयुक् त प्रश्न युक्त समसामयिक समस्या समाप्‍त होती है। यह एक शब्दार्थ समस्या को हल करता है, जिसमें एक अनंत सेट पर मात्रात्मकता शामिल होती है, एक सिंटैक्टिक में, संभव होमोमोर्फिज्म की एक सीमित संख्या की जांच करने की आवश्यकता होती है। समरूपता प्रमाणपत्र केवल रैखिक आकार का है और इसलिए समस्या एनपी में है।

यह प्रमेय डेटाबेस क्वेरी ऑप्टिमाइज़ेशन के सिद्धांत की नींव प्रदान करता है। विचार एक क्वेरी को दूसरे में बदलने का है, तेजी से। हालाँकि, एक आश्वासन चाहता है कि ऑप्टिमाइज़ेशन प्रक्रिया एक नई क्वेरी नहीं बनाती है जो कुछ डेटाबेस पर उत्तर देने में विफल रहती है जहाँ मूल क्वेरी ने परिणाम नहीं दिए थे।

औपचारिक रूप से, एक डेटाबेस क्वेरी फॉर्म की अभिव्यक्ति है , जहां मुक्त चर, एक सूची है बाध्य चर की एक सूची है, और एक प्रथम-क्रम सूत्र है जिसमें चर और का संबंध प्रतीकों वाली भाषा है। क्वेरी में अस्तित्वपरक और सार्वभौमिक क्वांटिफ़ायर हो सकते हैं, सूत्र में संबंधपरक परमाणुओं का संयोजन और विस्थापन हो सकता है, और नकारात्मकता भी दिखाई दे सकती है। एक क्वेरी डेटाबेस उदाहरण लागू होती है , जो संबंधों का एक समूह है। परिणाम ट्यूपल्स का एक सेट है; जब टपल $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ $\mathbf{t}$ परिणाम में को लिए प्रतिस्थापित किया जाता है तब सूत्र संतुष्ट हो सकता है। एक तो दो प्रश्नों की तुलना कर सकता है: में यदि जब भी ने एक मनमाना डेटाबेस उदाहरण पर लागू किया , तो कुछ परिणाम उत्पन्न करता , तो उसी उदाहरण पर लागू होता है जो कुछ परिणाम भी प्रस्तुत करता । (यह ठीक है यदि परिणाम नहीं है लेकिन करता है, लेकिन निहितार्थ के लिए निहितार्थ हर संभव उदाहरण के लिए होना चाहिए।) क्वेरी समस्या समस्या पूछती है: दो डेटाबेस प्रश्न दिए गए $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ और , है में निहित ? $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

चंद्रा-मर्लिन के समक्ष यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं था कि समस्या विकट थी। केवल परिभाषा का उपयोग करके, किसी को सभी संभव डेटाबेस के अनंत सेट पर परिमाणित करना होगा। प्रश्नों रोक नहीं हैं, हैं, तो समस्या है, वास्तव में, अनिर्णनीय: चलो एक सूत्र हमेशा सच है कि हो सकता है, तो में निहित है iff मान्य है। (यह 1936 में चर्च और ट्यूरिंग द्वारा अनिर्दिष्ट दिखाया गया है। $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

अनिश्चयता से बचने के लिए, एक संयुग्मित क्वेरी का एक सीमित रूप होता है: केवल अस्तित्ववादी मात्रात्मक होते हैं, और नकार और विस्थापन की अनुमति नहीं होती है। तो एक सकारात्मक अस्तित्वगत सूत्र है जिसमें केवल संबंधपरक परमाणुओं का संयोजन होता है। यह तर्क का एक छोटा सा टुकड़ा है, लेकिन यह उपयोगी डेटाबेस प्रश्नों के एक बड़े अनुपात को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है। एसक्यूएल में क्लासिक स्टेटमेंट शंकालु प्रश्नों को व्यक्त करता है; ज्यादातर सर्च इंजन क्वेरिज कंजर्वेटिव क्वेश्चन हैं। $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

एक सीधे तरीके से प्रश्नों के बीच समरूपता को परिभाषित कर सकता है (कुछ अतिरिक्त बहीखाता पद्धति के साथ ग्राफ होमोर्फिज्म के समान)। चंद्र-मर्लिन प्रमेय का कहना है: दिए गए दो संयोजक प्रश्नों और , में निहित है iff वहाँ से एक प्रश्न समरूपता है को । यह एनपी में सदस्यता स्थापित करता है, और यह स्पष्ट है कि यह एनपी-हार्ड भी है। $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

अशोक के। चंद्रा और फिलिप एम। मर्लिन, रिलेशनल डेटा बेस में कंजंक्टिव क्वेरीज़ का ऑप्टिमल इंप्लीमेंटेशन, STOC '77 77-90। doi: 10.1145 / 800105.803397

क्वेरी के नियमन की निर्णायकता बाद में संयुग्मक प्रश्नों के संघों तक बढ़ा दी गई थी (अस्तित्व में सकारात्मक प्रश्न जहाँ अप्रसन्नता की अनुमति है), हालाँकि अनुमति न देने से जटिलता बढ़ जाती है । निर्णय की संख्या में गणना करते समय होने वाली गणनाओं को शामिल करते समय, या प्रोबायलिस्टिक डेटाबेस में प्रश्नों के परिणामों के संयोजन के दौरान घटित होने वाले मूल्यांकन को शामिल करते हुए क्वेरी समनुदेशन के एक अधिक सामान्य रूप के लिए निर्णयक्षमता और अनिश्चयता परिणाम भी स्थापित किए गए हैं । $\Pi^P_2$

— आंद्रस सलामन
स्रोत

4

द्विघात डायोफैंटाइन समीकरणों के बारे में कुछ कागजात पढ़ते हुए मुझे एक अच्छा उम्मीदवार मिला:

जेसी लैगरियास, द्विआधारी द्विघात समीकरणों के समाधानों के लिए सक्सेज सर्टिफिकेट (2006)

सार से: ... Let द्विआधारी द्विघात Diophantine समीकरण के द्विआधारी कूटबन्धन की लंबाई निरूपित द्वारा दिए गए । मान लीजिए कि एक ऐसा समीकरण है जिसमें एक गैर-पूर्णांक पूर्णांक समाधान होता है। यह कागज दिखाता है कि एक सबूत है (यानी, "प्रमाण पत्र") कि में ऐसा समाधान है जिसे बिट में चेक किया जा सकता है संचालन। इस परिणाम का एक परिणाम यह है कि सेट जटिलता वर्ग एनपी में है ... $L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... लेकिन - ईमानदार होने के लिए - केवल प्रमाण है कि मेरे पास है कि यह nontrivial है कागज के पन्नों की संख्या ... 62! :-)

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

4

जब सहिष्णुता ग्राफ की मान्यता की मान्यता खुली थी, तो निम्न पेपर से पता चला कि यह एनपी में है:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(बाद में, सहिष्णुता ग्राफ मान्यता को एनपी पूर्ण दिखाया गया: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

— JimN
स्रोत

3

विभिन्न प्रकार की अनंत-राज्य प्रणालियों के लिए पुन: संयम का निर्णय लेना कभी-कभी निर्णायक होता है, अक्सर नहीं। कुछ दिलचस्प विशेष मामलों के लिए एक छोटी सी पर्याप्त और कुशलता से जांच योग्य प्रमाण पत्र हमेशा मौजूद होता है, जो इस तरह की समस्याओं को एनपी में डाल देता है। यहां एक-काउंटर पैरामीट्रिक ऑटोमेटा के लिए एक साफ इलाज है:

क्रिस्टोफ़ हासे, स्टेफ़न क्रेटज़र, जोएल ऑकनेइन, जेम्स वॉरेल, सक्सेस और पैरामीट्रिक वन-काउंटर ऑटोमेटा में प्रतिक्रियाशीलता, CONCUR 2009, LNCS 5710 369-383। doi: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( विस्तारित संस्करण )

— आंद्रस सलामन
स्रोत

3

यहां एक उदाहरण है (हालांकि माना जाता है कि कृत्रिम) जब यह तय करना बहुत मुश्किल है कि कोई समस्या या नहीं। चलो दो भाषाओं, साथ हो , और । अब निम्नानुसार भाषा परिभाषित करें : $NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} if the twin prime conjecture is true, and L = L_{2} otherwise

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

तब ठीक है अगर जुड़वां प्राइम अनुमान सही है। चूंकि अनुमान या तो सच है या नहीं, यह वास्तव में अच्छी तरह से परिभाषित है कि या नहीं। हालांकि, यह तय करना कि मामला क्या है, जो कि, में सदस्यता तय करना , प्रसिद्ध ट्विन प्राइम अनुमान को हल करने के लिए राशियाँ हैं, इसलिए यह निश्चित रूप से nontrivial है ... $L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— आंद्रा फरगो
स्रोत

5

यह केवल कृत्रिम नहीं है, बल्कि एक तरह से बनावटी तरीके से कृत्रिम है: आपने एक टीएम नहीं दिया है जो एल तय करता है, बल्कि इससे भी अधिक "यदि" ट्विन प्राइम अनुमान], तो टीएम ए है, और अन्यथा यह बी है। " आप एक समान कृत्रिम उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन इस "funniness" के बिना निम्नानुसार है:जुड़वां अभाज्य संख्या अनुमान का उल्लंघन। हम एक एकल पॉली-टाइम नॉन्डेटर्मिनिस्टिक टीएम लिख सकते हैं जो इस भाषा को तय करता है (दो संभावित टीएम का वर्णन करने के लिए एक सशर्त बयान के बजाय)। परिणामी भाषा या तो या परिमित है।

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— जोशुआ ग्रूचो